湘教版数学九年级上册同步训练《2.3 一元二次方程根的判别式》
一、单选题
1．（2021·河南）若方程 没有实数根，则 的值可以是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
2．（2021·张家界）对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如 ，则方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．（2021·邵阳）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
4．（2021·广安）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
5．（2021·烟台）已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（2020·雅安）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
7．（2021·荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： .若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
8．（2021·通辽）关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9．（2021·凉山）函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
10．（2021·荆门）抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点 ， （ ），下列结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．（2021·吉林）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
12．（2021·广州）一元二次方程 有两个相等的实数根，点 、 是反比例函数 上的两个点，若 ，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）．
13．（2021·黄冈）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是 .（写出一个即可）
14．（2020·咸宁）若关于x的一元二次方程 有实数根，则n的取值范围是 .
15．（2021·大庆模拟）若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
16．（2021九上·玄武期末）关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
三、解答题
17．（2021九上·舞钢期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围.
18．（2021九上·安定期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程 有两个相等的实数根.请你判断△ABC的形状.
19．（2020九上·南平期中）已知关于 的方程 ，求证：不论 取何值，这个方程都有两个实数根．
20．（2019·花都模拟）已知：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）
（1）化简A；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+ m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．
21．（2019·赤峰模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
22．（2020九上·渠县期末）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为最大的整数时，解这个一元二次方程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意由方程 得：
整理得：
根据根的判别式 可知该方程有两个不相等实数根.
故答案为：D.
【分析】由新定义及，可得，利用根的判别式进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线 不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ，
∵m＜0，
∴-4m＞0，
∴1-4m＞1＞0，
∴△＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】由于直线 不经过第一象限，可得m=0或m＜0，分两种情况判断方程根的情况即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ 且a≠-2，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于a的不等式；求出b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于a的不等式，解不等式组即可求解.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由数轴可知， 且 ，则 ，
∵△= ， ，
∴△＞0，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，判断得到根的情况即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴ .
整理得， .
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 .
由 得， ，
解得， .
∴k的取值范围是 且 .
故答案为：C
【分析】根据新定义的运算得出：k(x2 +1) +(5- 2k)x= 0，将其整理为一元二次方程的一般式，然后根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得k≠0且△= (5- 2k)2- 4k2≥0，再解不等式求出k的范围即可.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△=[-（k-3）]2-4（-k+1）
=k2-6k+9+4k-4
=（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴（k-1）2+4≥4，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】先计算判别式，再配方得到判别式，再根据非负数的性质得到，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0.
在方程 中，
△= ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】由直线所在的象限可知k＜0，b＜0；然后计算关于x的一元二次方程的b2-4ac的值，由平方的非负性可知b2-4ac＞0，再根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线开口向下
把 ， 代入 得
① ，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③正确；；
④若方程 有两个不相等的实数根，
即
，故④正确，即正确结论的个数是4，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的开口方向，可得，把 ， 代入 得，结合已知可求出，，c=-a-b，，从而求出，将c=-a-b分别代入①②中，可得，据此判断①②；将代入③得，据此判断③； 由方程 有两个不相等的实数根 ，可得△＞0，先将方程化为一般式，由△＞0求出结论，然后判断④即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
12．【答案】＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴点 、 是反比例函数 上的两个点，
又∵ ，
∴ ，
故填：>．
【分析】先求出 ，再根据反比例函数的性质和 ，求解即可。
13．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式 ，
解得 ，
则 的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）.
【分析】先计算b2-4ac，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可求得m的范围，写出范围内的一个m的值即可.
14．【答案】n≥0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
而 ，
∴n≥0，
故答案为：n≥0.
【分析】根据平方的非负性可得结果.
15．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；
当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意．
故答案为：3．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
【分析】 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得，从而得出，根据偶次方的非负性，可得，据此可得.
17．【答案】解：∵关于x的一元二次方程（m 1）x2＋2mx＋m 3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m 1≠0，即 且m≠1，
解得m＞ 且m≠1，
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为：m＞ 且m≠1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式的值应该大于0，从而得到关于m的不等式，可求得m的取值范围.
18．【答案】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
整理，得 ，
∴△ABC为直角三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由方程 有两个相等的实数根可得 =0，整理后得 ，即可作出判断.
19．【答案】证明： .
∵ ，即 ，
∴不论 取何值，这个方程都有两个实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式证明即可。
20．【答案】（1）解：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）
＝m2﹣1﹣（m2﹣m﹣6），
＝m2﹣1﹣m2+m+6，
＝m+5，
（2）解：∵一元二次方程x2+（m+2）x+ m2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即△＝（m+2）2﹣4× m2＝0，
解得m＝﹣1．
当m＝﹣1时，A＝m+5＝﹣1+5＝4．
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式和多项式的乘法先分别计算出
（m+1）（m﹣1）和（m+2）（m﹣3），再合并同类项即可；
（2）一元二次方程由两个相等的实数根，故△＝0，可求得m，代入A即可求值。
21．【答案】（1）解：将x＝﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2＝0，
解得：m＝2．
当m＝2时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程的另一个根为2
（2）解：∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0有两个不同的实数根， ∴ ，
解得：m＞ 且m≠1，
∴当m＞ 且m≠1时，方程有两个不同的实数根
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
22．【答案】（1）解：由题意得
∴m< 且m≠0；
（2）解：∵m为最大的整数，
∴m＝－1，
∴原方程为：－x2－x＋1＝0，
即x2＋x－1＝0，
∴ ， ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）直接根据一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可；（2）由（1）得m的最大整数值，然后代入一元二次方程求解即可．
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《2.3 一元二次方程根的判别式》
一、单选题
1．（2021·河南）若方程 没有实数根，则 的值可以是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.
2．（2021·张家界）对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如 ，则方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意由方程 得：
整理得：
根据根的判别式 可知该方程有两个不相等实数根.
故答案为：D.
【分析】由新定义及，可得，利用根的判别式进行判断即可.
3．（2021·邵阳）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线 不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ，
∵m＜0，
∴-4m＞0，
∴1-4m＞1＞0，
∴△＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】由于直线 不经过第一象限，可得m=0或m＜0，分两种情况判断方程根的情况即可.
4．（2021·广安）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ 且a≠-2，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于a的不等式；求出b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于a的不等式，解不等式组即可求解.
5．（2021·烟台）已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由数轴可知， 且 ，则 ，
∵△= ， ，
∴△＞0，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，判断得到根的情况即可。
6．（2020·雅安）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
7．（2021·荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： .若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴ .
整理得， .
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 .
由 得， ，
解得， .
∴k的取值范围是 且 .
故答案为：C
【分析】根据新定义的运算得出：k(x2 +1) +(5- 2k)x= 0，将其整理为一元二次方程的一般式，然后根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得k≠0且△= (5- 2k)2- 4k2≥0，再解不等式求出k的范围即可.
8．（2021·通辽）关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△=[-（k-3）]2-4（-k+1）
=k2-6k+9+4k-4
=（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴（k-1）2+4≥4，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】先计算判别式，再配方得到判别式，再根据非负数的性质得到，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根。
9．（2021·凉山）函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0.
在方程 中，
△= ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】由直线所在的象限可知k＜0，b＜0；然后计算关于x的一元二次方程的b2-4ac的值，由平方的非负性可知b2-4ac＞0，再根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解.
10．（2021·荆门）抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点 ， （ ），下列结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 抛物线开口向下
把 ， 代入 得
① ，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③正确；；
④若方程 有两个不相等的实数根，
即
，故④正确，即正确结论的个数是4，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的开口方向，可得，把 ， 代入 得，结合已知可求出，，c=-a-b，，从而求出，将c=-a-b分别代入①②中，可得，据此判断①②；将代入③得，据此判断③； 由方程 有两个不相等的实数根 ，可得△＞0，先将方程化为一般式，由△＞0求出结论，然后判断④即可.
二、填空题
11．（2021·吉林）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
12．（2021·广州）一元二次方程 有两个相等的实数根，点 、 是反比例函数 上的两个点，若 ，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴点 、 是反比例函数 上的两个点，
又∵ ，
∴ ，
故填：>．
【分析】先求出 ，再根据反比例函数的性质和 ，求解即可。
13．（2021·黄冈）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式 ，
解得 ，
则 的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）.
【分析】先计算b2-4ac，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可求得m的范围，写出范围内的一个m的值即可.
14．（2020·咸宁）若关于x的一元二次方程 有实数根，则n的取值范围是 .
【答案】n≥0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
而 ，
∴n≥0，
故答案为：n≥0.
【分析】根据平方的非负性可得结果.
15．（2021·大庆模拟）若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；
当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意．
故答案为：3．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。
16．（2021九上·玄武期末）关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
【分析】 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得，从而得出，根据偶次方的非负性，可得，据此可得.
三、解答题
17．（2021九上·舞钢期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程（m 1）x2＋2mx＋m 3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m 1≠0，即 且m≠1，
解得m＞ 且m≠1，
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为：m＞ 且m≠1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式的值应该大于0，从而得到关于m的不等式，可求得m的取值范围.
18．（2021九上·安定期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程 有两个相等的实数根.请你判断△ABC的形状.
【答案】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
整理，得 ，
∴△ABC为直角三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由方程 有两个相等的实数根可得 =0，整理后得 ，即可作出判断.
19．（2020九上·南平期中）已知关于 的方程 ，求证：不论 取何值，这个方程都有两个实数根．
【答案】证明： .
∵ ，即 ，
∴不论 取何值，这个方程都有两个实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式证明即可。
20．（2019·花都模拟）已知：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）
（1）化简A；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+ m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．
【答案】（1）解：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）
＝m2﹣1﹣（m2﹣m﹣6），
＝m2﹣1﹣m2+m+6，
＝m+5，
（2）解：∵一元二次方程x2+（m+2）x+ m2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即△＝（m+2）2﹣4× m2＝0，
解得m＝﹣1．
当m＝﹣1时，A＝m+5＝﹣1+5＝4．
【知识点】整式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式和多项式的乘法先分别计算出
（m+1）（m﹣1）和（m+2）（m﹣3），再合并同类项即可；
（2）一元二次方程由两个相等的实数根，故△＝0，可求得m，代入A即可求值。
21．（2019·赤峰模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
【答案】（1）解：将x＝﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2＝0，
解得：m＝2．
当m＝2时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程的另一个根为2
（2）解：∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0有两个不同的实数根， ∴ ，
解得：m＞ 且m≠1，
∴当m＞ 且m≠1时，方程有两个不同的实数根
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
22．（2020九上·渠县期末）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为最大的整数时，解这个一元二次方程．
【答案】（1）解：由题意得
∴m< 且m≠0；
（2）解：∵m为最大的整数，
∴m＝－1，
∴原方程为：－x2－x＋1＝0，
即x2＋x－1＝0，
∴ ， ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）直接根据一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可；（2）由（1）得m的最大整数值，然后代入一元二次方程求解即可．
1 / 1
