人教版（五四学制）八年级数学上册20.3《等腰三角形的性质》课件 (共31张PPT)

(共30张PPT)
数学
9号
学习目标：
1.探索并证明等腰三角形的两个性质。
2.能利用等腰三角形的性质证明两个角相
等或两条线段相等。
3.结合等腰三角形的性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
用一张长方形纸片，每个人的长方形的大小和形状可以不一样，你能制作出一个等腰三角形吗?
你发现了什么?
探索:
1、等腰三角形是轴对称图形。
2、等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
做一做：
动手做一做
A
C
B
△ABC有什么特点?
看一看
两腰
对折
观察这个等腰三角形，有哪些相等的线段
和相等的角呢?
　　
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
等腰三角形是轴对称图形吗？
等腰三角形是轴对称图形，
对称轴是顶角平分线所在的直线。
重合的线段
重合的角
　
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B
＝
∠C.
∠BAD
＝
∠CAD
∠ADB
＝
∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现它的角有什么性质吗?
大胆猜想
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“等边对等角”）
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=?C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵
AC=AB（
已知）
∴
∠B=∠C
（等边对等角）
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是
；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是
。
10
cm
10
cm
或
11
cm
19
cm
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为:
75°,
30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
小试牛刀
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为:
3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为:
①
顶角+2×底角=180°
②
顶角=180°－2×底角
③
底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
如何构造两个全等的三角形?
A
B
C
则有∠1＝∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明:
作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴
△ABD≌
△ACD
（SAS）
∴
∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有
BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明:
作△ABC
的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴
△ABD≌
△ACD
（SSS）
∴
∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有
∠ADB＝∠ADC
＝90?
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明:
作△ABC
的高线AD
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴
Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴
∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
第三个发现：
∠ADB=∠ADC=90°
AD为底边上的高
BD=CD,
AD为底边上的中线
∠BAD=∠CAD,
AD为顶角的平分线
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
性质2：等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线和底边上的高
互相重合，简称“三线合一”
1
2
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____。
C
A
B
1
2
D
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
1
2
BD
CD
1
2
AD
BC
AD
BC
BD
CD
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
性质2
(等腰三角形三线合一)
是真是假
性质2可分解成下面三个方面来理解：
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上
的中线，又是底边上的高。
应用格式：∵AB＝AC
∠1＝∠2（已知）
∴BD＝DC
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是
顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC
BD＝DC
（已知）
∴AD⊥BC
∠1＝∠2
（等腰三角形三线合一）
3、等腰三角形的底边上的高，既是底
边上的中线，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC
AD⊥BC
（已知）
∴BD＝DC
∠1＝∠2
（等腰三角形三线合一）
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高
例1、如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
x
x
2x
2x
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
(等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,
于是在△ABC中，
有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中，
∠A=36°，ABC=∠C=72°
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以。
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重
合。
5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角
（X）
（X）
（√）
（X）
（√）
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
∵
AB=AC，D是BC边上的中点
∠ADC＝
90。
∵
∠BAC=180。-30。-30。=120
。
（三线合一）
课堂练习：
趣味数学：
如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上，
∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠
MEF的度数。
A
B
C
D
E
F
M
N
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
A
B
C
D
E
F
课后思考
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合
一”
学习的数学思想及方法:
分类讨论和一题多解。
解决等腰三角形问题时常用的辅助线