两个平面垂直的判定和性质
图片预览
文档简介
两个平面垂直的判定和性质
一、内容提要
1. 二面角
(1) 两个平面平行时，可以用它们的距离来表达这两个平面的位置关系．两个平面相交时，和空间直线所成角的概念类似，要将“空间”转化为“平面”，用平面的角来反映空间两个相交平面的位置关系．
(2) 为了能用一个确定的平面的角来表示一个二面角的大小，引进了二面角的平面角这一概念．二面角的平面角的顶点必须在二面角的棱上；二面角的平面角的两边必须既分别在两个半平面内，又必须和二面角的棱垂直．
(3) 二面角及它的平面角的画法根据其棱方向的不同，通常有以下三种画法：
画二面角的平面角时，其两边应当和表示半平面的平行四边形的一条边平行．
2. 两个平面垂直的定义及判定
两个平面垂直是以它们相交形成的二面角来定义的．
判定两个平面垂直的方法有两种：①根据定义，两个平面相交，它们所形成的二面角是直二面角，通常先作出二面角的平面角，再证明二面角的平面角是直角；②根据判定定理，证明一个平面过另一个平面的一条垂线，即把面面垂直问题化归为线面垂直问题．这个定理可简记为"线面垂直，面面垂直
3. 两个平面垂直的性质
两个平面互相垂直时有下面两个性质：①在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
1．二面角的概念是平面几何中的角的概念的扩展，学习时可对照平面几何中的角去理解。
平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的
2．二面角的平面角，则是用来刻划二面角大小的一个概念。它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为平面内两条相交直线所成的角来表示。但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内。而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关。
3．计算二面角大小的方法
（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。
作二面角的平面角常用下列三种方法：
① 用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。
② 用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。
③ 用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。
（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。
总之，二面角是立体几何中的一个重要概念，二面角的大小用它的平面角来度量。求二个平面所成的二面角，就要利用转化的思想，进行降维，合理、恰当地选择上述三种方法之一构造二面角的平面角，然后利用余弦定理、正弦定理、勾股定理、三角知识，求二面角的平面角
4．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况。若两个相交平面所成二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。它和平面几何中两条直线互相垂直的概念类似。
5．证明平面与平面垂直的方法：
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；
（2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。
6．平面与平面垂直的性质：
（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。
（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用
7．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。
8．两条异面直线上任意两点间的距离公式：。它在推导过程中解决了下列三个问题：
（1）两条异面直线的公垂线的存在性；
（2）证明了两条异面直线的距离是异面直线上任意两点的距离中最小者；
（3）两条异面直线，总分别存在于两个互相垂直的平面内。
应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两个面内两点的距离问题，以及求二面角的大小问题。此公式不必记忆。
三、例题分析
[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，
[例2]在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．
分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
[例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA＝AB=a
(2)过P作PQ ∥AB，则PQ平面PAB，
∵AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ平面PCD
∴平面PAB∩平面PCD于PQ
∵PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)
∵PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．
∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．
[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。
求证：平面ABC⊥平面BSC。
证法一： 作AD⊥平面BSC，D为垂足。
∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，
∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°，
∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内。
∴平面ABC⊥平面BSC。
证法二： 取BC的中点D，连接AD、SD，易证AD⊥BC，又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，
∴BD=SD ∴AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，
∴AD⊥平面BSC。又AD 平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BSC。
评注 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。
[例2]已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数。
解法一 由SB=BC，SE=EC，得SC⊥BE。
又SC⊥DE，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC。
由题设SA⊥平面ABC，得BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，
∴BD⊥DC，BD⊥DE，∴∠EDC是二面角E－BD－C的平面角。
设SA=a，则AB=a，SB=BC=，∴AC=。
在Rt△SAC中，，∴∠ACS=30°，∠EDC=60°。
∴所求的二面角为60°。
解法二 易证BD⊥平面SAC，即平面SAC是棱BD的垂面，它与平面BDE和平面BDC的交线分别是DE和CE，则∠EDC是二面角E－BD－C的平面角，以下同解法一。
解法三 由解法一证明BD⊥SC后，因为SA⊥平面ABC，所以AC是SC在底面ABC上的射影，根据三垂线定理的逆定理得BD⊥AC。因为DE在平面ABC上的射影在AC上，由三垂线定理得BD⊥DE，所以∠EDC是所求二面角的平面角，以下同解法一。
评注 三种解法的共同特点是找到二面角的平面角，然后化归到三角形中求解。解法一是用定义法，证二面角的平面角，解法二是用垂面法证二面角的平面角，解法三是用三垂线法证二面角的平面角。这些方法是求二面角的常用方法，但也可以不必作出二面角的平面角，用其他方法间接地求解。如可用射影面积公式，求出二面角θ。因此，又△BDE≌△ABD，因此有，即θ=60°。
[例3]已知：如图，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A BE的位置，使A C=A D。
（1）求证：平面A BE⊥平面BCDE；
（2）求A C和平面BCD所成角的大小。
评注
将平面图形按某种要求翻折成空间图形时，原来平面图形中的某些点、线位置关系将发生相应变化。研究这种变化不但可以提高综合运用知识的能力，而且有助于发展空间想象能力。对于翻折问题，不仅要注意分析翻折前后哪些元素的数量及位置关系发生了变化，更要注意哪些没有变化。因为凡不变量都可在原平面图形中求得。如此例中的MN、MC的长都可在矩形ABCD中求得。
一、内容提要
1. 二面角
(1) 两个平面平行时，可以用它们的距离来表达这两个平面的位置关系．两个平面相交时，和空间直线所成角的概念类似，要将“空间”转化为“平面”，用平面的角来反映空间两个相交平面的位置关系．
(2) 为了能用一个确定的平面的角来表示一个二面角的大小，引进了二面角的平面角这一概念．二面角的平面角的顶点必须在二面角的棱上；二面角的平面角的两边必须既分别在两个半平面内，又必须和二面角的棱垂直．
(3) 二面角及它的平面角的画法根据其棱方向的不同，通常有以下三种画法：
画二面角的平面角时，其两边应当和表示半平面的平行四边形的一条边平行．
2. 两个平面垂直的定义及判定
两个平面垂直是以它们相交形成的二面角来定义的．
判定两个平面垂直的方法有两种：①根据定义，两个平面相交，它们所形成的二面角是直二面角，通常先作出二面角的平面角，再证明二面角的平面角是直角；②根据判定定理，证明一个平面过另一个平面的一条垂线，即把面面垂直问题化归为线面垂直问题．这个定理可简记为"线面垂直，面面垂直
3. 两个平面垂直的性质
两个平面互相垂直时有下面两个性质：①在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
1．二面角的概念是平面几何中的角的概念的扩展，学习时可对照平面几何中的角去理解。
平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的
2．二面角的平面角，则是用来刻划二面角大小的一个概念。它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为平面内两条相交直线所成的角来表示。但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内。而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关。
3．计算二面角大小的方法
（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。
作二面角的平面角常用下列三种方法：
① 用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。
② 用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。
③ 用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。
（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。
总之，二面角是立体几何中的一个重要概念，二面角的大小用它的平面角来度量。求二个平面所成的二面角，就要利用转化的思想，进行降维，合理、恰当地选择上述三种方法之一构造二面角的平面角，然后利用余弦定理、正弦定理、勾股定理、三角知识，求二面角的平面角
4．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况。若两个相交平面所成二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。它和平面几何中两条直线互相垂直的概念类似。
5．证明平面与平面垂直的方法：
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；
（2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。
6．平面与平面垂直的性质：
（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。
（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用
7．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。
8．两条异面直线上任意两点间的距离公式：。它在推导过程中解决了下列三个问题：
（1）两条异面直线的公垂线的存在性；
（2）证明了两条异面直线的距离是异面直线上任意两点的距离中最小者；
（3）两条异面直线，总分别存在于两个互相垂直的平面内。
应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两个面内两点的距离问题，以及求二面角的大小问题。此公式不必记忆。
三、例题分析
[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，
[例2]在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．
分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
[例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA＝AB=a
(2)过P作PQ ∥AB，则PQ平面PAB，
∵AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ平面PCD
∴平面PAB∩平面PCD于PQ
∵PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)
∵PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．
∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．
[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。
求证：平面ABC⊥平面BSC。
证法一： 作AD⊥平面BSC，D为垂足。
∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，
∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°，
∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内。
∴平面ABC⊥平面BSC。
证法二： 取BC的中点D，连接AD、SD，易证AD⊥BC，又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，
∴BD=SD ∴AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，
∴AD⊥平面BSC。又AD 平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BSC。
评注 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。
[例2]已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数。
解法一 由SB=BC，SE=EC，得SC⊥BE。
又SC⊥DE，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC。
由题设SA⊥平面ABC，得BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，
∴BD⊥DC，BD⊥DE，∴∠EDC是二面角E－BD－C的平面角。
设SA=a，则AB=a，SB=BC=，∴AC=。
在Rt△SAC中，，∴∠ACS=30°，∠EDC=60°。
∴所求的二面角为60°。
解法二 易证BD⊥平面SAC，即平面SAC是棱BD的垂面，它与平面BDE和平面BDC的交线分别是DE和CE，则∠EDC是二面角E－BD－C的平面角，以下同解法一。
解法三 由解法一证明BD⊥SC后，因为SA⊥平面ABC，所以AC是SC在底面ABC上的射影，根据三垂线定理的逆定理得BD⊥AC。因为DE在平面ABC上的射影在AC上，由三垂线定理得BD⊥DE，所以∠EDC是所求二面角的平面角，以下同解法一。
评注 三种解法的共同特点是找到二面角的平面角，然后化归到三角形中求解。解法一是用定义法，证二面角的平面角，解法二是用垂面法证二面角的平面角，解法三是用三垂线法证二面角的平面角。这些方法是求二面角的常用方法，但也可以不必作出二面角的平面角，用其他方法间接地求解。如可用射影面积公式，求出二面角θ。因此，又△BDE≌△ABD，因此有，即θ=60°。
[例3]已知：如图，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A BE的位置，使A C=A D。
（1）求证：平面A BE⊥平面BCDE；
（2）求A C和平面BCD所成角的大小。
评注
将平面图形按某种要求翻折成空间图形时，原来平面图形中的某些点、线位置关系将发生相应变化。研究这种变化不但可以提高综合运用知识的能力，而且有助于发展空间想象能力。对于翻折问题，不仅要注意分析翻折前后哪些元素的数量及位置关系发生了变化，更要注意哪些没有变化。因为凡不变量都可在原平面图形中求得。如此例中的MN、MC的长都可在矩形ABCD中求得。