高一数学_直线与平面垂直的判定及性质【经典整理含答案】

直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定与证明方法：
①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.
②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.
③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.
④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.
⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.
⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.
线面垂直的判定
如图，直角所在平面外一点，且，点为斜边的中点．
求证：平面；
若，求证：面．
答案：证明：（１），
为的中点，．
连结．
在中，则．
，．
又，面．
（２），为的中点，
．
又由（１）知面， ．
于是垂直于平面内的两条相交直线．
面．
如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.
【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.
证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC. ①
∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC平面PBC，PA⊥BC， ②
由①②知，BC⊥PH，
同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.
二面角的求解
已知四边形PABC为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC是边长为的正三角形，PC=2，D、E分别是PA、AC的中点，BD=.试判断直线AC与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B的大小.
解：∵D、E分别是PA、AC的中点，
∴DE∥PC且DE=PC=1.
∵∠PCA=90°,∴AC⊥DE.
∵△ABC是边长为的正三角形，并且E是AC的中点，
∴AC⊥BE，并且BE=3.
∵DE∩BE=E，∴直线AC与平面DEB垂直.
∴∠DEB为二面角P-AC-B的平面角.
在△BDE中，由DE=1，BE=3，BD=得DE2+BE2=BD2，∴∠DEB=90°.
综上所述，直线AC与平面BDE垂直，二面角P-AC-B的大小为90°.
【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.
已知△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的正切值.
【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.
解：取AC的中点M，连结BM，作MN⊥PC于N，连结BN.
∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.易证BM⊥AC，AC=平面PAC∩平面ABC.
∴BM⊥平面PAC(面面垂直的性质).
∵MN⊥PC，∴NB⊥PC.∴∠MNB是二面角A-PC-B的平面角.
易知MN=，BM=.∴tan∠MNB=.∴二面角的正切值为
【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.
如图，已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，求以为棱，以面与面为面的二面角的大小。
思维导引：①图中有现成的二面角的平面角吗？交线是，
怎么作出二面角的平面角来？
②底面是什么三角形？哪条线垂直交线？
③侧面是什么三角形？它和底面全等，对应边的大小
关系是怎样的？侧面中哪条线垂直交线？
④找到二面角的平面角之后需要求的长度，侧面也和
底面全等，对应边的大小关系是怎样的？吗？
规范解答：设为的中点，连结
因为，所以，同理，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，又，
侧面与底面全等，所以，所以，所以为等边三角形，所以，即二面角为
正三棱柱中，，分别是侧棱上的点，且，过作一截面，求截面与底面所成的角
规范解答：延长ED交CB延长线于F，
，
∴ ，.
∵，
∴ 为截面与底面所成二面角的平面角.
在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
如图，四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角O-AB-C的平面角，并求它的度数.
解：如图，∵四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面为正方形，∴顶点O在底面上的射影是正方形中心O′，取AB中点E，连结OE，∵OA=OB，
∴OE⊥AB.同理,O′E⊥AB.
∴∠OEO′是二面角OABC的平面角.
连结OO′,在Rt△OO′E中，OE′=1，OE=2，
∴∠OEO′=60°，故二面角的平面角度数为60°.
2.两个平面互相垂直的判定
常用的判定方法有：
(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；
(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.
面面垂直的判定
如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
【探究】 本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).
证法一：作AD⊥平面BSC，D为垂足.
∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，
∴D为△BSC的外心.又∠BSC=90°，
∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内.
∴平面ABC⊥平面BSC.
证法二：取BC的中点D，连结AD、SD，易证AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2.
由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，∴AD⊥平面BSC.
又AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.
【规律总结】 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.
如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：①DE=DA;②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.
证明：①取EC的中点F，连结DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF=CE=DB,DF=BC=AB,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=AD.
②取AC的中点N，连结MN、BN，则MNCF.
∵BDCF，∴MNBD，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.
又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.
③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，在这里应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系.
如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：（1）BC⊥PC；（2）平面PAC⊥平面PBC.
证明：(1)∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC.
又∵PA垂直于⊙O所在的平面，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥PC.(2)由(1)知BC⊥平面PAC,
又BC在平面PBC内，∴平面PAC⊥平面PBC.
已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.
思维导引：①这是由平面图形折叠成立体图形的问题，折叠前后哪些关系不变？哪些关系会改变？
②点是怎么来的？共点的三条棱之间是什么关系？两两垂直吗？和面垂直吗？
③如何得到面面垂直？平面是过直线的面吗？
规范解答：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，
∴ PA⊥平面PEF. ∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.
又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面.
规范解答：为AC中点，所以.
同理可证 ∴ 面BGD.
又易知EF//AC，则面BGD.
又因为面BEF，所以平面平面.
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