人教版（五四制）初中数学八年级上册-23.3 海伦—秦九韶公式(二次根式的加减） 教案

课题
阅读与思考：海伦—秦九韶公式
教材版本：人教五·四学制2011课标版八年级上册第二十三章第23.3节阅读与思考
教学目标
知识与技能：会证明海伦—秦九韶公式，理解秦九韶公式与海伦公式本质相同；会用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系的简单问题。过程与方法：经历证明海伦公式和将秦九韶公式变形为海伦公式的过程，培养严谨的数学逻辑思维；通过公式的推导，向学生进一步渗透“特殊”到“一般”的数学思想；提高应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。情感、态度与价值观：体会数学的简洁美；提高学生文化修养，进行爱国主义教育。
教学重点
秦九韶公式的证明及变形为海伦公式的过程。
教学难点
秦九韶公式的证明及海伦—秦九韶公式的本质。
学情分析
本节课的主要对象为数学学习程度较好的学生——在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，学生已经学习过三角形面积公式，平方差公式，完全平方公式和二次根式等。为了让学生能够充分理解海伦-秦九韶公式，本节课的内容调整到勾股定理之后学习。
教学方法和教学手段
1.教学方式：创设情境－主体探究－合作交流－应用提高2.教学手段：多媒体辅助教学3.教学准备：多媒体课件、彩色粉笔等
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
新课引入
1.研究问题当三角形的三条边长确定后，三角形的形状、大小是否唯一确定？既然三角形的形状、大小确定，那面积是否确定？面积怎么求？引出本节课研究问题：已知三角形三边长，求三角形面积。2.复习三角形面积公式。3.求三角形的面积：（1）三边长为3，4，5的三角形；（2）三边长为5，5，6的等腰三角形；（3）三边长为2，3，4的三角形
教师用PPT演示，提问。学生思考，回答问题。教师以特殊的三角形引入，一步步引导学生在一般的三角形中作高，从三角形最基本的面积计算公式入手，运用勾股定理计算三角形的面积。
从学生已经学过的知识入手，直接引出研究问题。明确探究方向，激发探究欲望。通过列举特殊的三角形，一步步引导学生求面积。为探究一般三角形的面积做铺垫。
探究新知
（一）秦九韶公式及其证明1.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，求△ABC的面积。由数字抽象成字母，类比三边长为2，3，4三角形的面积的计算，推导出秦九韶公式。2.秦九韶人物介绍3.秦九韶公式问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答案：“三百十五顷。”算法：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”用现代公式表示即为：（二）秦九韶公式的变形1.分析秦九韶公式的特征发现秦九韶公式不够简洁。让学生阅读材料的前两段，引出海伦公式。观察海伦公式的特征。2.秦九韶公式变形为海伦公式学生阅读材料，写出将秦九韶公式变形为海伦公式的每步的算理。小组交流。通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一致的。体会海伦公式简洁的魅力。
3.海伦公式介绍（三）公式的应用在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，请你用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积。
教师演示推导过程。学生仔细思考。学生观看视频，了解数学家秦九韶。提高学生数学文化修养，进行爱国主义教育。教师演示PPT，学生阅读史料，了解秦九韶公式。教师引导学生发现秦九韶公式不够简洁。学生阅读材料，小组交流。学生代表说出将秦九韶公式变形为海伦公式的每步的算理，教师补充。学生练习。
由数字抽象成字母，体会由特殊到一般的数学思想。通过观看数学家秦九韶的生平事迹，使学生了解他所取得的伟大数学成就，提高数学文化修养，激发学生的民族自尊心和自信心，立志为国家和民族振兴而努力学习。从数学史角度看，世界上每一个民族都有自己的数学史，用自己本民族的语言叙述同一数学问题能够拉近学生的心理距离，同时让学生了解本民族的数学名词，增强对本民族数学文化的认同感。通过等式变形，让学生学会知识间的融会贯通，感受数学变中不变的美感。让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映。东西方数学家为数学的发展都作出应有的贡献，不同的表达方式，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美。海伦—秦九韶公式的直接应用。让学生在实践过程中体会：运用海伦公式解决“已知三角形三边长求面积”问题的简便性。
课堂小结
这节课你有什么收获？
教师引导，学生思考后回答、整理。
通过小结，使学生梳理本节课所学知识要点和思想方法，掌握本节课的核心：探究“已知三角形三边长求面积”问题的探索思路及海伦—秦九韶公式的本质。并进行爱国主义教育。