北京市11学校2022届高三上学期8月学习检测数学试题 Word版含答案

北京市十一学校2022届高三学习检测
数学20210812
满分：150分
时间：120分钟
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．设集合，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知为第二象限角，且，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
4．最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在中，D，E，F分别为线段，，的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数值为（
）
A．1
B．
C．1或
D．-1或
7．若a，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值
范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示人类能听到的声强范围，其中能听见的1000声音的声强（约）为标准声强，记作，声强I与标准声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即，声强级L的单位名称为贝（尔），符号为B，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）．简称分贝（）．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140．一个士兵大喝一声的响度为90，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数为（
）
A．1万
B．2万
C．5万
D．10万
10．已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为F函数．给出下列函数：①；②；③；④是定义在上的奇函数，且满足对一切实数，均有．其中是F函数的序号为（
）
A．②④
B．①③
C．③④
D．①②
二.填空题（共7个小题，每小题5分，共35分；15-16-17题前一空3分，后一空2分）
11．已知（a，）是的共轭复数，则______.
12．已知幂函数的图象经过点，则______.
13．若扇形的周长是8，面积24，则扇形的圆心角为______．
14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为________．
15．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则a与b满足的关系式为________，的最小值为________．
16.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．则的值为________；的值为________．
17.已知函数．
（1）若函数在有且只有一个极值点，则实数a的取值范围____________；
（2）若函数的最大值为1，则_______．
三．解答题（共5小题，75分）
18.（14分）．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）（6分）求函数的解析式；
（2）（8分）求函数的单调递增区间．
19.（16分）．设向量，，记．
（1）（4分）求函数的最小正周期；
（2）（4分）五点法画出函数在区间的简图（需要列表）；
（3）（4分）该函数的图象可由（）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（从以下①、②
中选一种作答）
①将函数的图象向_____平移_____个单位得到函数_______________的图象，再保持纵坐标不变，横坐标_______为原来的_______，得到函数_______________的图象，再向_____平移_____个单位就可得到函数的图象．
②将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标________为原来的_______，得到函数_____________的图象，再向_____平移_____个单位得到函数_______________的图象，再向_____平移_____个单位得到函数的图象.
（4）（4分）若时，函数的最小值为2，试求出函数的最大值并指出取何值时，函数取得最大值．
20.（15分）．已知：函数（）．
（1）（4分）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）（5分）求函数的单调区间；
（3）（6分）函数在区间上满足，求a的取值范围．
21.（15分）．已知函数，（）．
（1）（5分）若时，求函数的最小值；
（2）（5分）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）（5分）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
22.（15分）已知集合（），对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．
（1）（4分）若，试写出所有可能的A，B；
（2）（4分），证明：；
（3）（7分），，，三个数中是否一定有偶数？证明你的结论．
北京市十一学校2022届高三学习检测答案
数学20210812
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．解：集合B中的不等式，变形得：，
解得：，∴，∵，∴，
∵集合，∴．故选：D．
2．解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p：，，则为，．故选：A．
3．解：∵为第二象限角，，∴，∴，则．故选：D．
4．解：由于函数的最小正周期为，故排除A；
由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除B；
由于函数的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图象关于直线对称，故C正确；
由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除D，
故选：C．
5．解：∵，
故选：D．
6．解：据题意向量，不共线，且，，若与反向，
存在m（）使得，即，
∵，不共线，∴，∴.故选：B．
7．解：方法1：，又与同号，，∴“”是“”的充要条件．
方法2：，，当且仅当时取等号．
∴，“”．
∴“”是“”的充要条件．故选：C．
8．解：当时，，
同理，当时，，……，
所以函数的图象如图所示，
当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有且只有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．解：由题意得，解得张飞大喝一声的声强为：（），
每一个士兵大喝一声的声强为：（），
∵，
∴如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数为10万．故选：D．
10．解：对于①，，显然不成立，故其不是F函数；
对于②，，由于时，不成立，故不是F函数；
对于③，，，故对任意的，都有，故其是F函数；
对于④，是定义在上的奇函数，且满足对一切实数，均有，令，，由奇函数的性质知，，故有．显然是F函数
故选：C．
二、填空题（共7个小题，每小题5分，共35分；15-16-17前一空3分，后一空2分）
11．1
解：，∴，∴，，∴，
12．
解：设，因为幂函数图象过，则有，∴，即，
∴.
13．2
解：设扇形的圆心角为，半径为R，则．故答案为：2．
14．
解：根据题意，设与的夹角为，，则，
若，则，
变形可得：，又由，则，故答案为：．
15．，
解：由，得，因此曲线在切点处的切线的斜率等于2，
∴，即，此时．则切点为，
相应的切线方程为，
则，∴．
又，，∴．
当且仅当时上式等号成立．
故答案为：；．
16.7，
解：已知，，，
则，则，
，则，
则，则，
∵t，∴，∵，∴，
则，则．
故答案为：7，．
17.（1）
（2）-2
解：（1）时，，，若在有且只有一个极值点，则在上有解，故；
（2）时，的对称轴是，
①即时，在递增，，函数无最大值
②即时，在递增，在递减，
故，解得：或（舍）；
时，，
综上，
故答案为：，-2．
三、解答题（共5小题，75分）
18（14分）．解：（1）由图可知，可得，则，则；
…………2’
又图象经过，故有，，得；
又，取．
…………4’
过点，所以，可得．
得．
…………6’
（2）
…………2’
…………4’
，
…………5’
由，，
…………6’
得，，
所以的单调递增区间为，．
…………8’
注：1.单调区间不是区间形式的答案，减1分；忽略，减1分；化简到后，没有求单调区间的过程，只有最后单调区间答案的减2分；
2.考查三角函数的单调区间，一定是化成的形式，结合正弦函数的单调区间求得；不必采用导数的办法；
19（16分）．解：（1）由题意可得：
…………2’（两个二倍角公式各1分）
…………3’
所以最小正周期．
…………4’
（2）表2分
x
0
（3）①左，，，缩短，，，，
②缩短，，，左，，，
从第一个空开始算，对一个空0.5分，总分向下取整。（如出现实质性错误，从该空及后面的空均不给分，如平移方向、单位个数错误）。
（4）方法一：
由，可得，所以，进而可得．
又因为函数的最小值为2，所以．
…………2’
所以
当时，即时，函数取得最大值．…………4’（等号成立的条件及由来、最值各1分）
方法二：
因为在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以的最小值为m，所以．
…………6’
所以
当时，即时，函数取得最大值．………8’（等号成立的条件及由来、最值各1分）
20.解：（1）若，则，，
…………1’
所以，即切线的斜率等于—2；
…………2’
又，切点为；
…………3’
所以曲线在点处的切线方程为，即；…………4’
（2）的定义域为，
…………1’
（），
…………2’
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在单调递增；
…………4’（列表和文字说明均可）
所以的递减区间为，；递增区间为；…………5’
（3）方法一：①当，即时，在上单调递增，，
解得，因此；
…………1’
②当，即时，在上单调递减，上单调递增，
，解得，因此；
…………3’
③当，与矛盾，因此无解；
…………4’
注：或者由于在要有定义，排除情况也可以；但写不给分
④当，在上单调递减，
，与矛盾，因此无解；
…………5’
综上所述，a的取值范围为．
…………6’
方法二：，（）恒成立（）恒成立，
①当时，，由，得，
令（），则，
故在区间上单调递增，，
所以，即，于是；
…………2’
②当时，，由得，
即，与矛盾；
…………4’
③当时，恒成立，符号不确定，故不符合题意；…………5’
综上所述，a的取值范围为．
…………6’
方法三：∵，（）恒成立，，
所以，有，所以．
…………2’
所以，（）恒成立恒成立，
所以
…………3’
令（），则，
故在区间上单调递增，，
所以，即，于是；
…………5’
所以a的取值范围为．
…………6’
方法四：∵，（）恒成立，
因此，即，所以．
…………2’
当，即时，
由（2）知，在上单调递减，上单调递增，
恒成立，
因此符合题意；
…………4’
当时，由（2）知，在上单调递增，恒成立，
因此符合题意；
…………5’
综上所述，a的取值范围为．
…………6’
21.解：（1）当时，，∴（）．………1’
令，得，
…………2’
当时，；当时，，
…………3’
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
…………4’
∴当时，有最小值；
…………5’
注：有的同学只写导数的正负，不写单调性，扣1分，这里还是建议画表格，导数符号和单调性都有了
（2）证明：由，得（），…………1’
∴当时，，函数在上单调递减，
…………2’
∴当时，在上最多有一个零点．
又当时，，
…………3’
，
…………4’
∴当时，函数在上有零点．…………5’
综上，当时，函数有且只有一个零点；
注：有的同学只说函数单调递减，没有分别找出函数值大于0和小于0的自变量，这是不可以的，因为不符合零点存在定理的条件，这样扣2分，找其他的能确认正负的值都可以得分；还有的同学用到了极限，扣1分
（3）方法一：令，（），
所以（），设（）；
…………1’
函数有两个零点，必须函数与的图象有两个交点.
，设，显然与的符号相同，
又在上单调递减，且；
所以当时，，，在上单调递增；
…………2’
当时，，，在上单调递减；
…………3’
∴函数的极大值为，又，
当时，，且当时，，
…………4’
所以，函数有两个零点，必须.
…………5’
注：有的同学看到（2）（3）两问都是关于函数零点的问题，因此就都用的参变分离的方法，这是极好的，极大地降低了难度
方法二：由（2）知，当时，在上单调递减，最多有一个零点．
∵有两个零点，∴．
由，得（）．令，
∵，，∴在上只有一个零点，设这个零点为（其中），
…………1’
当时，，，函数在上单调递减；
…………2’
当时，，，函数在上单调递增．
…………3’
要使函数在上有两个零点，必须函数的极小值，即．
∵2，∴，
又∵在上是减函数，且，
∴，即，解得；…………4’
此时，当时，；
∵，∴，
当时，，∴；
所以当时，函数有两个零点．
…………5’
或者下面这样说明：
当时，，，∴．
∵，且，∴函数在上有一个零点．
又∵，∴，
且，在上有一个零点．
∴当时，函数在内有两个零点．
综上，实数a的取值范围是．
22.解：（1），；
…………1’
，；
…………2’
，；
…………3’
，．
…………4’
（2）令，，，对，2，…，n，
；
…………1’
方法一：
显然当时，；当时，；
当时，有；
…………2’
当时，有．
…………3’
所以
………4’
方法二：
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
由表可知
…………3’
所以
………4’
（3），，，三个数中一定有偶数．
…………1’
理由如下：
方法一：
由于，，只能取0或1，所以，，中至少有两个相等，不妨设，此时
为偶数，
…………4’
故，，为偶数，
所以，，三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中一定有偶数．
…………7’
方法二：
因为，
且与奇偶性相同．…………3’
所以为偶数，
故为偶数，…………5’
所以，，三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中一定有偶数．…………7’
方法三：
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
2
2
2
2
0
2
2
由表可知必为偶数，
…………4’
则
必为偶数
…………5’
所以，，三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中一定有偶数．
…………7’
方法四：
两整数x、y，与奇偶性相同
则与||+奇偶性相同，
与奇偶性相同，
即与奇偶性相同
…………3’
由（2）可知
…………4’
所以与奇偶性相同，必为偶数
…………5’
所以，，三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中一定有偶数．
…………7’