(共14张PPT)
2.1平面向量的实际背景及基本概念
第二章 平面向量
2.1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示
问题提出
1.在物理中，位移与距离是同一个概
念吗？为什么？
2.现实世界中有各种各样的量，如年
龄、身高、体重、力、速度、面积、体
积、温度等，在数学上，为了正确理解、
区分这些量，我们引进向量的概念.
探究（一）：向量的物理背景与概念
思考1：在物理中，怎样区分作用于同一
点的两个力？
力的大小和力的方向
思考2：物体受到的重力、物体在液体中
受到的浮力的方向分别如何？
G
质量
浸在液体中的体积
受力的大小分别与哪些因素有关？
F
思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？
思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称这种既有大小，又有方向的量为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？
弹簧拉长或压缩的长度
【与向量有关的概念】
数量----把只有大小，没有方向的量称为数量.
向量----数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量.
思考5：年龄、身高、长度、面积、体积、温度、
时间、路程、质量等是向量吗？
向量与数量的联系和区别：
联系：向量与数量都是有大小的量；
区别：向量有方向且不能比较大小，
数量无方向且能比较大小.
有向线段----具有方向的线段就叫做有向线段.
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
有向线段的图示与代数记法:在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向,以A为起点、B为终点的有向线段,记作 ,
A(起点)
B
(起点)
线段AB的长度叫做有向线段
知道了有向线段的三要素，它的终点就唯一确定
起点写在终点的前面.
的长度.
由于实数与数轴上的点一一对应，所
以数量常常用数轴上的点表示，而且不
同的点表示不同的数量.
对于一个角的正弦、余弦和正切，
可以用三角函数线表示，…
数学中有许多量都可以用几何方式
表示，对于向量，我们又如何用几何方
式表示呢？
探究（二）：向量的几何表示
思考1：如何表示向量？
①用有向线段表示；
③用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示，例如 ， .
②用字母ａ、ｂ、 c…等表示.（印刷用黑体，书写用 ）
向量用带有箭头的线段来表示，线段
按一定的比例(标度)画出，它的长短
表示向量的大小，箭头的指向表示向
量的方向.
思考2：向量的表示方法？
A(起点)
B(起点)
思考3：向量与有向线段的区别？
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无
关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同
的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起
点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向
线段.
思考4：由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？
用表示向量的有向线段的长度表示.
向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)
A(起点)
B(起点)
【零向量】长度为0的向量叫零向量;
记作0.
规定：零向量0的方向是任意的.
注意：零向量0与实数0的含义、书写区别.
【单位向量】长度为1个单位长度的向量，叫单
位向量.
〖说明〗零向量、单位向量的定义都只是
限制了大小.
思考5：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数.
为了研究的需要，我们引入以下概念.
【平行向量】
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量
如图:用有向线段表示的两个平行向量a、b.
向量a、b平行，记作 a ∥b
②规定：零向量与任一向量平行.
即对于任意向量a，都有 0∥a
〖说明〗（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，如左图
记作ａ∥ｂ∥ｃ.
a
b
理论迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方
向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏
东30°方向飞行2000km到达C地，再从C
地按西南方向飞行1000 km到达D地.
（1）画图表示向量
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应
的向量的模和方向.
B
A
东
北
C
D
例2 如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量 平行的所有向量.
A
B
C
D
E
归纳与整理
1.向量是为了表示、刻画既有大小，
又有方向的量而产生的，物理中有许多
相关背景材料，数学中的向量是物理中
矢量的提升和拓展，它有一系列的理论
和方法，是沟通代数、几何、三角的一
种工具，有着广泛的实际应用.
2.由于有向线段具有长度和方向双
重特征，所以向量可以用有向线段表
示，但向量不是有向线段，二者只是一
种对应关系.
3.零向量是一个特殊向量，其模为
0，方向是不确定的.引入零向量将为以
后的研究带来许多方便.
作业：
P77 习题2.1
A组 T1，2(1∶10000).
3、回答下列问题：
①平行向量是否一定方向相同？
②与任意向量都平行的向量是什么向量？
③若两个向量在同一直线上，则这两个向量
一定是平行向量吗？(共13张PPT)
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1.3 相等向量与共线向量
复习提问
1.向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
联系：向量与数量都是有大小的量；
区别：向量有方向且不能比较大小，
数量无方向且能比较大小.
表示：向量可以用有向线段表示，
也可以用字母符号表示.
2.什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？
向量的模：表示向量的有向线段的长度.
零向量：模为0的向量.
单位向量：模为1个单位长度的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量.
3.引进向量概念后，我们就要建立相关
的理论体系，为了研究的需要，我们必须对
向量中的某些现象作出合理的约定或解释，
特别是两个向量的相互关系.对此，我们将作
些研究.
探究（一）：相等向量
思考1：因为向量完全由它的方向和模确定.对于两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
模相等, 方向相同;
模相等, 方向不相同;
模不相等, 方向相同;
模不相等, 方向不相同;
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一
条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模等与不等，方向同与不同的区别,你认为如何规定两个向量相等？
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
【相等向量】
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
思考3：对于非零向量 ，如果 ，
通过平移使起点A与C重合，
那么终点B与D的位置
关系如何？
D
C
B
A
B
A
（4）在平面上，两个长度相等且指向一致的
有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它
的方向和模确定.
a
b
A
B
(5)向量或有向线段平移,不会改变其长度和
方向
思考4：用有向线段表示非零向量
如果 ，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？
A
B
C
D
A
B
C
D
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
思考2：我们知道方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？
方向相同或相反
思考3：零向量0与向量a平行吗？
零向量与任一向量平行.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 那么点A、B、C的位置关系如何？
O
l
a
b
c
思考5：如果非零向量 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？
B
A
C
点A、B、C在同一条直线上
上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
平行向量也叫做共线向量
思考7：对于向量a、b、c，若a // b，
b // c，那么a // c吗？
思考8：对于向量a、b、c，若a =b，
b =c，那么a = c吗？
思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等吗？反之，若向量 a与b相等，则向量a与b平行（或共线）吗？
例1 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与 相等的向量.
A
B
C
D
E
F
O
理论迁移
例2 判断下列命题是否正确：
①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（ ）
②不相等的两个向量一定不共线 （ ）
③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（ ）
④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行
四边形的四顶点（ ）
⑤向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量（ ）
⑥有相同起点的两个非零向量不平行（ ）
√
归纳与整理
1.相等向量--长度相等且方向相同的向量.
平行向量与共线向量是同一概念，
相等向量与平行向量是包含概念.
2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条
有向线段表示,并且与有向线段的起点无关.
3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、
共线是不同的概念，平行向量（共线向量）
对应的有向线段既可以平行也可以共线.
4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量
和相等向量都具有传递性.
作业：
P77～78习题2.1
A组：3，4.
B组：1，2.
