三角与向量解答题专项练习

三角与向量专项练习
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解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
1．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．
1．解：（1）依题意，，，，．
在△中，由余弦定理，得
．
解得．所以渔船甲的速度为海里/小时．
答：渔船甲的速度为海里/小时．
（2）方法1：在△中，因为，，， ，
由正弦定理，得．即．
答：的值为．
方法2：在△中，因为，，，，
由余弦定理，得．即．
为锐角所以．答：的值为．
2．在中，，．
（1）求的值；
（2）设，求的面积．
2．解：（1）由，得，
由，得．所以．
（2）由正弦定理得．
所以的面积．
3．在中，角所对的边分别是，又.
（1）求的值；
（2）若，的面积，求的值.
3．解：（1）
=
（2）
由余弦定理 ∴
4．已知向量，函数，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域.
4．解（1）
令，解得，.
故函数的单调递增区间为
，
， 即的值域为.
综上所述，的值域为.
5．已知函数，
（1）求的最大值；
（2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．
5．解：（1）
．（注：也可以化为）
所以的最大值为．
（2）因为，由（1）和正弦定理，得．
又，所以，即，
而是三角形的内角，所以，故，，
所以，，．
6．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值。
6．解：由条件得
为锐角，
（1）
（2）
为锐角，
7．已知函数(R).
当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;
若为锐角，且，求的值.
7．(1) 解:
∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为.
(2)解法1:∵, ∴. ∴.
∵为锐角，即, ∴. ∴.
∴. ∴.
∴. ∴.
∴ 或(不合题意,舍去) ∴.
解法2: ∵, ∴. ∴.
∴. ∵为锐角，即
∴.
解法3:∵, ∴.
∴. ∵为锐角，即, ∴.
∴.
8．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求在R上的单调区间.
8．解：（1）
所以函数的最小正周期为，最大值为
（2）由得
由得
所以，单调增区间;单调减区间
9．已知函数的图象的一部分如下图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求函数
的最大值与最小值及相应的的值.
9．解:(1)由图像知,,
∴,得.
由对应点得当时,.∴; (2)
=, ∵, ∴,
∴当,即时,的最大值为;
当,即时,的最小值
10．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
10．解：（1）
． 所以的最小正周期为．
（2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
．
时，，
当，即时，，取得最大值2．
当，即时，，取得最小值．
11．已知向量与，其中
（1）若，求和的值；
（2）若，求的值域。
11．解：（1） 求得
又 ，
（注：本问也可以结合或利用来求解）
（2）
又，，
，即函数的值域为
12．设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）设函数对任意，有，且当时， ；求函数在上的解析式。
12.
（1）函数的最小正周期
（2）当时，
当时，
当时，
得：函数在上的解析式为
A
B
C
东
南
西
北
x
y
O
A
B