4.2.2 等差数列的前n项和公式（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章
数列
4.2.2
等差数列的前n项和公式
教学设计
一、教学目标
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题.
3.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究的最值.
4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题.
5.掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用.
二、教学重难点
1、教学重点
等差数列的前n项和公式及应用、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系、.
2、教学难点
等差数列的前n项和公式及应用.
三、教学过程
1、新课导入
上节课我们已经学习了等差数列的概念和通项公式，这节课我们就来学习一下等差数列的求和问题.
2、探索新知
对于数列，设，
当n是偶数时，有，
于是有
.
当n是奇数时，有
.
所以，对任意正整数n，都有.
对公式作变形，可得，它相当于两个相加，而结果变成n个相加.
可以得到，，
将两式相加，可得
所以.
可以发现，上述方法将“倒序”为，再将两式相加，得到n个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.
对于等差数列，因为，由上述方法，用两种方式表示：
，①
.②
①+②，得
由此得到等差数列的前n项和公式.
对于等差数列，利用公式，只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前n项和.
另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以也可以用和来表示.
把等差数列的通项公式代入公式，可得.
例1
已知数列是等差数列.
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，，求.
解：（1）因为，，
根据公式，可得.
（2）因为，，所以.
根据公式，可得.
（3）把，，代入，
得.
整理，得，解得或（舍去）.
所以.
例2
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.
由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
解：由题意，知，.
把它们代入公式，得，解得.
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
例3
某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.
问第1排应安排多少个座位.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为.
根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且.
由，可得，
因此，第1排应安排21个座位.
例4
已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解法1：由，得，所以是递减数列.
又由，可知：
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
也就是说，当或6时，最大.
因为，所以的最大值为30.
解法2：因为，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.
3、课堂练习
1.已知等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差为(
)
A.
B.2
C.
D.3
答案：B
解析：设等差数列的公差为d，由，，解得，故选B.
2.设等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，则(
)
A.8
B.52
C.45
D.72
答案：B
解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得，
则，故选B.
9.已知数列是等差数列.若，，且数列的前n项和有最大值，则取得最大正值时n等于(
)
A.20
B.17
C.19
D.21
答案：C
解析：由等差数列的性质可得，又且有最大值，可得，，则有，而，进而可得取得最大正值时n等于19.
12.设数列的前n项和为，点均在函数的图像上，则数列的通项公式_____________.
答案：
解析：依题意得，即，所以数列为等差数列，且，，设其公差为d，则，所以.
4、小结作业
小结：本节课学习了等差数列的前n项和公式及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.2.2
等差数列的前n项和公式
1.等差数列的前n项和公式为可以写成.