1.3.1 单调性与最大（小）值第一课时 课件（人教A版必修1）

(共34张PPT)
1.3.1 单调性与最大（小）值
1.3 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性
1．理解单调性的定义．
2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
1．定义域为I的函数f(x)的增减性：
自学导引
2．如果函数y＝f(x)在区间D上是_______或_______ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有______________ ，区间D叫做y＝f(x)的________ ．
3．判断(证明)函数的单调性
判断(证明)函数单调性的步骤
自主探究
增函数
减函数
(严格的)单调性
单调区间
1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？
答：不能．如图所示
虽然f(－1)自主探究
2．如果函数在两个区间上都是单调的，在这两个区间的并集上是不是一定单调呢？
1．函数y＝－x2的单调减区间是 (　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．
答案：A
预习测评
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数
答案：C
3．函数f(x)＝|x|的减区间是________．
解析：画出f(x)＝|x|的图象，可知此函数的减区间是(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调增区间为________．
解析：观察图象可知．函数y＝f(x)的图象在[1,4)和[4,6]上是上升的．故单调增区间为[1,4)和[4,6]．
答案：[1,4)和[4,6]
一、函数单调性的理解
1．如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义证明．
2．定义中的x1、x2有三个特征：(1)“任意”性，不能由两个特殊值代替；(2)二者有大小，通常规定x13．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)是增函数．
要点阐释
(2)这个区间也可以是定义域的真子集，如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)不具备单调性，但在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)是增函数．
4．区间端点的写法
对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题．因此写单调区间时，如果端点在定义域内，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
5．求函数的单调区间，就是求函数保持同一单调性不变的最大区间．
二、函数单调性的判断与证明
1．函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．
2．函数单调性的证明方法：
依据定义进行证明．其步骤如下：
①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1②作差变形：即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以分情况讨论；
④判定：依据定义得出结论．
题型一　利用图象求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|；
(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.
典例剖析
f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
(2)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是(－3，－1)，(1，＋∞)；
函数的递减区间是(－∞，－3]，(－1,1]．
点评：函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
1．求下列函数的单调区间
(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．
(2)∵f(x)＝－x2＋2|x|＋3
图象如图所示．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为(－∞，－1]，(0,1]，递减区间为(－1,0]，(1，＋∞)．
题型二　利用定义判定及证明函数单调性
点评：证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为：(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．
题型三　由函数的单调性求参数的取值范围
【例3】 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．
解：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间
[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪ [2，＋∞)．
点评：已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．
3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间 (－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
误区解密　因对“单调区间”和“区间上单调”
两个概念混淆而出错
【例4】 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是______．
错解：函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.
错因分析：错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
正解：因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
答案：a＝－3
纠错心得：单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
课堂总结
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．