1.3.2 奇偶性第二课时 课件（人教A版必修1）

(共22张PPT)
第2课时 奇偶性的应用
1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用．
2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题．
1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__.
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且有__________.
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是_______．
自学导引
0
最小值－M
增函数
增
奇函数的图象一定过原点吗？
自主探究
1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于 (　　)
A．0 B．－1 C．3 D．－3
解析：由题知f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3.
答案：D
预习测评
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 (　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
解析：根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.
答案：D
函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.
答案：1
1．由奇函数和偶函数的性质，可得单调性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．即
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
要点阐释
2．几个基本函数的奇偶性：
(2)y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数又不是偶函数；
(3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数又不是偶函数．
题型一　利用奇偶性求函数解析式
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．
解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
典例剖析
(3)函数f(x)在R上的解析式为
点评：首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
1．已知f(x)是偶函数，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，试求函数f(x)在x∈[－1,1]上的表达式．
解：任取x∈(0,1]，
则－x∈[－1,0)，f(－x)＝－x＋1.
又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x＋1.
题型二　函数奇偶性与单调性的综合应用
【例2】 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
解：∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0 f(1－x)<－f(1－3x)
f(1－x)又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，
点评：函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性，解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)解：∵g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，
且在[0,2]上单调递减，∴g(x)在[－2,0]上单调递增，
又∵g(1－m)误区解密　利用奇偶性求函数解析式时因
忽略定义域而出错
【例3】 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
错解：当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1，
错因分析：错解中忽略了定义域为R的条件，漏掉了x＝0的情况．
正解：同错解得：当x<0时，f(x)＝2x＋1.
∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
纠错心得：定义域是函数的灵魂，尤其是解决奇、偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数f(x)为奇函数，且函数在原点有定义，则有f(0)＝0，此点是条件中的隐含结论，不可忽略．
奇偶函数的主要性质
1．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，故可直接根据函数图象的对称性来判断函数的奇偶性．画函数图象时首先判断奇偶性，作图比较方便．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
课堂总结
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．