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第2课时 奇偶性的应用
1.巩固函数奇偶性的性质,并能熟练应用.
2.能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题.
1.定义在R上的奇函数,必有f(0)=__.
2.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是___函数,且有__________.
3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有f(x)在(0,+∞)上是_______.
自学导引
0
最小值-M
增函数
增
奇函数的图象一定过原点吗?
自主探究
1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于 ( )
A.0 B.-1 C.3 D.-3
解析:由题知f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.
答案:D
预习测评
2.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 ( )
A.4 B.2 C.1 D.0
解析:根据偶函数图象关于y轴对称知,四个交点的横坐标是两对互为相反数的数,因此它们的和为0.
答案:D
函数f(x)=-x在区间[-1,1]上为减函数,当x取区间左端点的值时,函数取得最大值1.
答案:1
1.由奇函数和偶函数的性质,可得单调性与奇偶性的联系:奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.即
(1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性;
(2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.
要点阐释
2.几个基本函数的奇偶性:
(2)y=kx+b(k≠0),当b=0时是奇函数,当b≠0时既不是奇函数又不是偶函数;
(3)y=ax2+bx+c(a≠0),当b=0时是偶函数,当b≠0时既不是奇函数又不是偶函数.
题型一 利用奇偶性求函数解析式
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:
(1)f(0);
(2)当x<0时,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
典例剖析
(3)函数f(x)在R上的解析式为
点评:首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.
1.已知f(x)是偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x+1,试求函数f(x)在x∈[-1,1]上的表达式.
解:任取x∈(0,1],
则-x∈[-1,0),f(-x)=-x+1.
又f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x+1.
题型二 函数奇偶性与单调性的综合应用
【例2】 已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.
解:∵y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(1-x)+f(1-3x)<0 f(1-x)<-f(1-3x)
f(1-x)又∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数,
点评:函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性,解答这类题的思路是:先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.
2.设定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)解:∵g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,
且在[0,2]上单调递减,∴g(x)在[-2,0]上单调递增,
又∵g(1-m)误区解密 利用奇偶性求函数解析式时因
忽略定义域而出错
【例3】 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,求函数f(x)的解析式.
错解:当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=2x+1,
错因分析:错解中忽略了定义域为R的条件,漏掉了x=0的情况.
正解:同错解得:当x<0时,f(x)=2x+1.
∵f(x)(x∈R)是奇函数,∴f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.
纠错心得:定义域是函数的灵魂,尤其是解决奇、偶函数的问题首先要考虑定义域,若函数f(x)为奇函数,且函数在原点有定义,则有f(0)=0,此点是条件中的隐含结论,不可忽略.
奇偶函数的主要性质
1.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,故可直接根据函数图象的对称性来判断函数的奇偶性.画函数图象时首先判断奇偶性,作图比较方便.
2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
课堂总结
(2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论.
3.具有奇偶性的函数的单调性的特点:
(1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.