鲁教版（五四制）八上5.3.1三角形的中位线 教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）八上5.3.1三角形的中位线 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-31 14:46:30 | ||
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文档简介
5.3
三角形的中位线(1)
教学设计
【学习目标】
1．经历探索三角形中位线定理等重要命题的过程，发展合情推理能力．
2．证明三角形中位线定理等重要命题，发展演绎推理能力．
3．运用三角形中位线定理解决简单的问题．
【教学重难点】
重点：三角形中位线定理的证明及其应用.
难点：三角形中位线定理的探索与证明.
【材料准备】小剪刀；四个全等的不等边三角形硬纸片；任意四边形纸片.
【教学过程设计】
一、温故求新，合情发现
1．创设问题情境，引入课题
师：先来看一道大家非常熟悉的问题：
如图1，已知点A是线段BC上任意一点，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．线段DE与BC有何关系？
生：DE=BC．
师：（几何画板动态演示）当点A移动到线段AB的两侧时，你认为上述结论还会成立吗？你发现它们还具有什么位置关系？为什么呢？
如图2，当点A运动到线段BC上方时，结论还成立吗？你还发现它们有何关系？
生：感觉成立；平行；…（原因茫然）
师：带着这个问题开始我们本节课的学习之旅！（板书课题）
明确一下学习目标（多媒体课件出示，学生认知），需要指出的是这节课内容数学思维含量很高，希望大家积极参与，不容错过哦！
（设计意图：以学生熟知的简单几何问题切入，使之迎合本节几何推理的内容，通过动态变化自然引申到本节课题内容，一是初步领略数学的奥妙，借以激发学生的求知欲，二是先给学生创建了一个直观认识本节新知的情境，为本节的知识探究做了铺垫．）
2．动手操作，合情发现
（1）探究活动一：用四个全等的不等边三角形纸板，你能拼出三角形和平行四边形吗？与同伴交流．
方式：寻找两组同学在黑板展示拼出的三角形与四边形，为后续观察与猜想结论搭建好平台.
观察思考：①你能拼接出一个三角形吗？为什么说它是一个三角形呢？从中你还能观察到它有哪些特征和结论？
生：∠1＋∠2＋∠3＝180°，点D，A，B共线，其他边也如此，因此△ABC是三角形．
四个小三角形的面积是△ABC的四分之一，有三个平行四边形，△DEG的周长是△ABC的一半，…
师：大家发现了这么多结论，特别是三个平行四边形的发现，让相关的面积，位置，长度关系一目了然的呈现出来．
②再看这组同学拼成的平行四边形，我们思考：怎样由前面拼接的三角形变化成与它面积相等的平行四边形呢？
生：（操作活动：在讲台动手操作把三角形纸片通过移动变换成一个平行四边形．）绕点E旋转180°即可．
（2）概念建构：
师：这条线段（DE）好神奇！咱就给它个称呼：三角形的中位线（板书：1．定义），如何用语言描述它的定义呢？
生：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（多媒体同时出示定义）．
师：掌握这个概念，首先要明确两点：三角形有几条中位线？它与中线一样吗？
生：三条；中线连接的是三角形的一个顶点与对边的中点．（多媒体同时出示示意图，教师提醒易错点．）
（3）合情发现：三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
生：根据刚才的拼图，三角形的中位线与第三边互相平行，并且等它的一半．
师：猜想的这个命题，只有经过严谨的证明，方可名正言顺的成为定理．（板书：2．定理及证明）
（设计意图：这里设置利用四个三角形拼图，学生易于接受完成，同时借助标示的角与线段，很容易发现拼图中蕴含的各种数量与位置关系，同时借助三角形向平行四边形的转换，为定理的合情发现与证明思路创造了良好的条件．）
二、演绎推理、得出定理
师：同学们根据图形，写出已知、求证，然后思考并用规范的推理语言证明，5分钟时间．（1名同学进行板演）
已知：
求证：
证明：
方式：师生一起反馈存在的问题，并交流多种证明方法，主要有三种：
方法1：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．
方法2：过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
方法3：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，DC，AF．
师：这样我们就得到了三角形的中位线定理：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（课件出示）
追问：以上这些方法，你们是怎样思考的呢？
生：刚才的拼图中思路很明显．
师：奥，受拼图形象思维的启发，然而并不是所有命题的证明都事先经过动手操作的，倘若直面这个命题，该如何进行思考呢？——一般可从结论入手，结合已知条件，联想相关的知识，寻求途径．大家发现了没有，其实刚才这些方法都是进行“补短”，象前面我们向右补，也可类似地向左补，还可以既往左又往右同时补，这需要我们把上面的三角形一分为二，那我们可尝试作垂直，大家不妨尝试一下！
生：方法4：分别作AH⊥DE，BM⊥DE，CN⊥DE，垂足分别为H，M，N．
师：能否“截长”呢？
生：取BC的中点F，连接DF，EF，……（思路受阻！）
师：其实“截长”并非这么生硬死板！为充分应用已有的知识，不妨过点E作过点F作MN∥AB，交BC于点E，过点A作AN∥BC（方法5）．
生：这样和前面类似，构造了平行四边形与全等三角形，而且是三个平行四边形！
师：的确，“截长”相对难度大了些，请同学们带着开眼界的心态来欣赏老师的这种方法：
方法6：作DF∥BC交AC于点F，作DM∥AC交BC于点M．显然四边形DMCF是平行四边形，易证△BDM≌△DAF，所以DM=AF=CE，点F是线段AC的中点，即点F与点E重合，可得结论．
“思维就是这么奇妙！”（板书：截长补短），显然“截长补短”是解决这一类问题的重要方法．重要的思想方法与规律往往会使发现成为可能，并指明正确探索的方向！大自然有规律，宇宙也存有奥妙，最近自然科学方面拍到了颇具影响力的“黑洞照片”，其实法国著名数学家、天文学家拉普拉斯是黑洞的首个预言者，他通过定量地逼近估算得到的太阳系是稳定的规律得出了“黑洞”存在的结论，同时后人根据这一方法“在笔尖下发现了海王星”．门捷列夫根据他的方法规律制成了元素周期表，并预测了几种新的元素存在，也被后人证实．（课件出示如下资料）
那么本节课三角形中位线定理在具体应用时要注意些什么？有什么规律方法可寻？咱们继续学习．
（设计意图：定理的演绎证明是本节课的重点与难点所在，通过剪纸拼图活动，学生容易得出前三种证明方法，为发挥本节课巨大的逻辑思维培养功能，特设计了利用“截长补短”法进行推理的另外三种方法，且并未对所有学生提出过高的要求，可以是开阔眼界的“欣赏”心态，并联系生活实际，走近科学，初步渗透重要数学思想方法的重要性，激发学生的学习与研究兴趣．需要说明的是这里强调的并非是偏怪“技巧”，而是倡导解决一般问题的“通法”．）
三、结论应用，绽放思维
1．几何符号语言：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC．
2．常见应用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线长，周长等．
3．证明方法与基本图形的几个启示：
（1）给你三个不在同一直线上的三个点，你能作出几个平行四边形？
（2）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
（3）三角形的一条中位线与第三边上的中线有什么关系？
4．例
在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，D为AB的中点，E为AC的中点，延长BC至F，使CF=BC，连接EF，∠B=∠F吗？
你有几种方法证明？
方式：学生交流展示，主要方法有：
（1）直接证明△ADE全等△EFC；
（2）连接DC，则易证四边形DEFC为平行四边形，又DE垂直平分线段AC，得DC=DA=DB，故∠B=∠DCB=∠F；
（3）作EM∥BC交BC于点M；
（4）取BC的中点M，连接EM（或DM）；
（5）作DM⊥BC（或DM∥AC）．
师：大家思维真活跃！在中位线定理的牵线搭桥下有这么多的方法，回顾了这么多的知识，这里可以点赞！事实上，熟记定理公式，良好第思考与分析问题的习惯，会使我们思维豁然开朗，解决一些问题游刃有余！
（设计意图：帮助学生掌握三角形中位线定理的基本图形直接能解决的几个问题，以及通过经典题目，训练学生灵活应用中位线定理解决问题的思路方法，活跃思维，巩固新知．）
四、变式提升，学以致用
1．探究活动二——中点四边形
（1）任意画一个四边形ABCD，并将四边的中点E，F，G，H依次连接起来，得到一个新四边形EFGH，四边形EFGH的形状有什么特征？请证明你的结论．
（2）变式一：把图（1）中的点E，G分别变为对角线BD、AC的中点，如图（2）所示，四边形EFGH还是平行四边形吗？请证明你的结论．
（3）变式二：在图（2）中，当AD∥BC时，如图（3）所示，求证：EG=(BC－AD)．
处理方式：学生合作交流完成，教师利用几何画板动态演示变式题目，引导归纳应用方法（并板书：中点四边形）：寻找中位线图形；见两中点，构造中位线图形，应用中位线定理．特别指出把图（3）中点A与点D重合时，则回归中位线基本图形．
（设计意图：中点四边形是三角形中位线定理的典型应用，通过三个图形间的变换，以及最终回顾原基本图形，帮助学生培养发散思维，并认识其本质，变中求不变，同时进一步巩固新知．）
2．学以致用
操作活动：有一块四边形的硬纸板，如何通过分割和拼接把它的形状变成平行四边形？
处理方式：先作简要分析，然后直接通过多媒体课件出示操作步骤，让学生跟着步骤做，同时结合动画演示整个变换过程，帮助学生在操作活动中加深认识中点四边形的实际应用，也在操作活动中获得乐趣．
Flash动画展示
五、归纳总结，认知升华
1．本节课的学习我们经历了怎样的过程？你获得了哪些学习方法？你还有哪些困惑？
2．分层作业：（1）必做题：习题5.8
第1、2题．
（2）选做题：习题5.8
第4题；阅读教材P140
~142
“议一议”内容．
（设计意图：本环节的设置使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力．锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程．）
【板书设计】
5.3
三角形的中位线（1）
1．定义
3．应用——中点四边形
2．定理及证明
通法
变中不变
截长补短
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
图1
A
B
C
D
E
A
B
C
备用图①
备用图
②
图（1）
A
D
B
C
E
G
H
F
A
D
B
C
E
G
H
F
图（2）
A
D
B
C
E
G
图（3）
A
(D)
B
C
E
G
三角形的中位线(1)
教学设计
【学习目标】
1．经历探索三角形中位线定理等重要命题的过程，发展合情推理能力．
2．证明三角形中位线定理等重要命题，发展演绎推理能力．
3．运用三角形中位线定理解决简单的问题．
【教学重难点】
重点：三角形中位线定理的证明及其应用.
难点：三角形中位线定理的探索与证明.
【材料准备】小剪刀；四个全等的不等边三角形硬纸片；任意四边形纸片.
【教学过程设计】
一、温故求新，合情发现
1．创设问题情境，引入课题
师：先来看一道大家非常熟悉的问题：
如图1，已知点A是线段BC上任意一点，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．线段DE与BC有何关系？
生：DE=BC．
师：（几何画板动态演示）当点A移动到线段AB的两侧时，你认为上述结论还会成立吗？你发现它们还具有什么位置关系？为什么呢？
如图2，当点A运动到线段BC上方时，结论还成立吗？你还发现它们有何关系？
生：感觉成立；平行；…（原因茫然）
师：带着这个问题开始我们本节课的学习之旅！（板书课题）
明确一下学习目标（多媒体课件出示，学生认知），需要指出的是这节课内容数学思维含量很高，希望大家积极参与，不容错过哦！
（设计意图：以学生熟知的简单几何问题切入，使之迎合本节几何推理的内容，通过动态变化自然引申到本节课题内容，一是初步领略数学的奥妙，借以激发学生的求知欲，二是先给学生创建了一个直观认识本节新知的情境，为本节的知识探究做了铺垫．）
2．动手操作，合情发现
（1）探究活动一：用四个全等的不等边三角形纸板，你能拼出三角形和平行四边形吗？与同伴交流．
方式：寻找两组同学在黑板展示拼出的三角形与四边形，为后续观察与猜想结论搭建好平台.
观察思考：①你能拼接出一个三角形吗？为什么说它是一个三角形呢？从中你还能观察到它有哪些特征和结论？
生：∠1＋∠2＋∠3＝180°，点D，A，B共线，其他边也如此，因此△ABC是三角形．
四个小三角形的面积是△ABC的四分之一，有三个平行四边形，△DEG的周长是△ABC的一半，…
师：大家发现了这么多结论，特别是三个平行四边形的发现，让相关的面积，位置，长度关系一目了然的呈现出来．
②再看这组同学拼成的平行四边形，我们思考：怎样由前面拼接的三角形变化成与它面积相等的平行四边形呢？
生：（操作活动：在讲台动手操作把三角形纸片通过移动变换成一个平行四边形．）绕点E旋转180°即可．
（2）概念建构：
师：这条线段（DE）好神奇！咱就给它个称呼：三角形的中位线（板书：1．定义），如何用语言描述它的定义呢？
生：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（多媒体同时出示定义）．
师：掌握这个概念，首先要明确两点：三角形有几条中位线？它与中线一样吗？
生：三条；中线连接的是三角形的一个顶点与对边的中点．（多媒体同时出示示意图，教师提醒易错点．）
（3）合情发现：三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
生：根据刚才的拼图，三角形的中位线与第三边互相平行，并且等它的一半．
师：猜想的这个命题，只有经过严谨的证明，方可名正言顺的成为定理．（板书：2．定理及证明）
（设计意图：这里设置利用四个三角形拼图，学生易于接受完成，同时借助标示的角与线段，很容易发现拼图中蕴含的各种数量与位置关系，同时借助三角形向平行四边形的转换，为定理的合情发现与证明思路创造了良好的条件．）
二、演绎推理、得出定理
师：同学们根据图形，写出已知、求证，然后思考并用规范的推理语言证明，5分钟时间．（1名同学进行板演）
已知：
求证：
证明：
方式：师生一起反馈存在的问题，并交流多种证明方法，主要有三种：
方法1：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．
方法2：过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
方法3：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，DC，AF．
师：这样我们就得到了三角形的中位线定理：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（课件出示）
追问：以上这些方法，你们是怎样思考的呢？
生：刚才的拼图中思路很明显．
师：奥，受拼图形象思维的启发，然而并不是所有命题的证明都事先经过动手操作的，倘若直面这个命题，该如何进行思考呢？——一般可从结论入手，结合已知条件，联想相关的知识，寻求途径．大家发现了没有，其实刚才这些方法都是进行“补短”，象前面我们向右补，也可类似地向左补，还可以既往左又往右同时补，这需要我们把上面的三角形一分为二，那我们可尝试作垂直，大家不妨尝试一下！
生：方法4：分别作AH⊥DE，BM⊥DE，CN⊥DE，垂足分别为H，M，N．
师：能否“截长”呢？
生：取BC的中点F，连接DF，EF，……（思路受阻！）
师：其实“截长”并非这么生硬死板！为充分应用已有的知识，不妨过点E作过点F作MN∥AB，交BC于点E，过点A作AN∥BC（方法5）．
生：这样和前面类似，构造了平行四边形与全等三角形，而且是三个平行四边形！
师：的确，“截长”相对难度大了些，请同学们带着开眼界的心态来欣赏老师的这种方法：
方法6：作DF∥BC交AC于点F，作DM∥AC交BC于点M．显然四边形DMCF是平行四边形，易证△BDM≌△DAF，所以DM=AF=CE，点F是线段AC的中点，即点F与点E重合，可得结论．
“思维就是这么奇妙！”（板书：截长补短），显然“截长补短”是解决这一类问题的重要方法．重要的思想方法与规律往往会使发现成为可能，并指明正确探索的方向！大自然有规律，宇宙也存有奥妙，最近自然科学方面拍到了颇具影响力的“黑洞照片”，其实法国著名数学家、天文学家拉普拉斯是黑洞的首个预言者，他通过定量地逼近估算得到的太阳系是稳定的规律得出了“黑洞”存在的结论，同时后人根据这一方法“在笔尖下发现了海王星”．门捷列夫根据他的方法规律制成了元素周期表，并预测了几种新的元素存在，也被后人证实．（课件出示如下资料）
那么本节课三角形中位线定理在具体应用时要注意些什么？有什么规律方法可寻？咱们继续学习．
（设计意图：定理的演绎证明是本节课的重点与难点所在，通过剪纸拼图活动，学生容易得出前三种证明方法，为发挥本节课巨大的逻辑思维培养功能，特设计了利用“截长补短”法进行推理的另外三种方法，且并未对所有学生提出过高的要求，可以是开阔眼界的“欣赏”心态，并联系生活实际，走近科学，初步渗透重要数学思想方法的重要性，激发学生的学习与研究兴趣．需要说明的是这里强调的并非是偏怪“技巧”，而是倡导解决一般问题的“通法”．）
三、结论应用，绽放思维
1．几何符号语言：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC．
2．常见应用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线长，周长等．
3．证明方法与基本图形的几个启示：
（1）给你三个不在同一直线上的三个点，你能作出几个平行四边形？
（2）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
（3）三角形的一条中位线与第三边上的中线有什么关系？
4．例
在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，D为AB的中点，E为AC的中点，延长BC至F，使CF=BC，连接EF，∠B=∠F吗？
你有几种方法证明？
方式：学生交流展示，主要方法有：
（1）直接证明△ADE全等△EFC；
（2）连接DC，则易证四边形DEFC为平行四边形，又DE垂直平分线段AC，得DC=DA=DB，故∠B=∠DCB=∠F；
（3）作EM∥BC交BC于点M；
（4）取BC的中点M，连接EM（或DM）；
（5）作DM⊥BC（或DM∥AC）．
师：大家思维真活跃！在中位线定理的牵线搭桥下有这么多的方法，回顾了这么多的知识，这里可以点赞！事实上，熟记定理公式，良好第思考与分析问题的习惯，会使我们思维豁然开朗，解决一些问题游刃有余！
（设计意图：帮助学生掌握三角形中位线定理的基本图形直接能解决的几个问题，以及通过经典题目，训练学生灵活应用中位线定理解决问题的思路方法，活跃思维，巩固新知．）
四、变式提升，学以致用
1．探究活动二——中点四边形
（1）任意画一个四边形ABCD，并将四边的中点E，F，G，H依次连接起来，得到一个新四边形EFGH，四边形EFGH的形状有什么特征？请证明你的结论．
（2）变式一：把图（1）中的点E，G分别变为对角线BD、AC的中点，如图（2）所示，四边形EFGH还是平行四边形吗？请证明你的结论．
（3）变式二：在图（2）中，当AD∥BC时，如图（3）所示，求证：EG=(BC－AD)．
处理方式：学生合作交流完成，教师利用几何画板动态演示变式题目，引导归纳应用方法（并板书：中点四边形）：寻找中位线图形；见两中点，构造中位线图形，应用中位线定理．特别指出把图（3）中点A与点D重合时，则回归中位线基本图形．
（设计意图：中点四边形是三角形中位线定理的典型应用，通过三个图形间的变换，以及最终回顾原基本图形，帮助学生培养发散思维，并认识其本质，变中求不变，同时进一步巩固新知．）
2．学以致用
操作活动：有一块四边形的硬纸板，如何通过分割和拼接把它的形状变成平行四边形？
处理方式：先作简要分析，然后直接通过多媒体课件出示操作步骤，让学生跟着步骤做，同时结合动画演示整个变换过程，帮助学生在操作活动中加深认识中点四边形的实际应用，也在操作活动中获得乐趣．
Flash动画展示
五、归纳总结，认知升华
1．本节课的学习我们经历了怎样的过程？你获得了哪些学习方法？你还有哪些困惑？
2．分层作业：（1）必做题：习题5.8
第1、2题．
（2）选做题：习题5.8
第4题；阅读教材P140
~142
“议一议”内容．
（设计意图：本环节的设置使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力．锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程．）
【板书设计】
5.3
三角形的中位线（1）
1．定义
3．应用——中点四边形
2．定理及证明
通法
变中不变
截长补短
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
图1
A
B
C
D
E
A
B
C
备用图①
备用图
②
图（1）
A
D
B
C
E
G
H
F
A
D
B
C
E
G
H
F
图（2）
A
D
B
C
E
G
图（3）
A
(D)
B
C
E
G