5.4(2)多边形的外角和
教学目标
1
了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角;掌握多边形的外角和定理,并能利用定理解决实际问题
2
经历探索多边形的外角和定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯。进一步体会数学与现实生活的紧密联系,同时进一步发展学生的说理和简单推理意识
3
培养学生主动探索的习惯,让学生体验猜想得到证实的成功喜悦感和成就感,在解题中感受生活中数学的存在,让学生体会到数学充满着探索与创造
教学重点
多边形外角和定理的探索与应用
教学难点
灵活运用多边形的外角和定理解决简单的实际问题;类比,转化的数学思维方法的渗透。
教学用具
电子白板
教学方法
小组合作探究
教学过程
第一环节
创设情境,引入新课
问题:(幻灯片展示)小刚沿一个五边形的广场周围的小路按逆时针方向跑步。
复习多边形的点,边,内角,以及内角和。
观察:
小刚每从一条小路转到下一条小路时,跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角。
第二环节
新知探究:多边形的外角及外角和定义
(1).观察刚才标出的5个角,你能发现它们有什么共同特征吗?
(2).你能给这样的角起个名字吗?
(3).多边形的每个顶点处有几个这样的角?各有什么关系?
(4)什么是多边形的外角和?
(一)多边形的外角:多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角。
每个顶点处有两个外角,互为对顶角。
n边形一共有2n个外角。
(二)
多边形的外角和:在多边形的每个顶点处取一个外角,它们的和叫这个多边形的外角和。
第三环节
探究多边形的外角和
小明跑完一圈,身体一共转过多少度?你有哪些方法来验证你的结论?
要求:小组讨论,合作探究
设计意图
利用生活情景设计问题,激发学生的兴趣和积极性,同时给学生一定的思考空间
问题解决
对于此问题,学生讨论后可能会得出一些解决方法。如果不能,可以引导提示学生,鼓励他们思考。利用课件配合各方法进行演示。
旧知回顾:我们在学三角形的内角和时,都用哪些方法来验证的?
方法一
度量法
用量角器量一下每个外角的度数,然后求和。
方法二
剪拼法
把多边形的外角拼到一起,成为一个周角
方法三
推理法
利用平行线的性质进行推理证明。
这些方法适用于多边形外角和的验证吗?
小实验(幻灯片展示)
在平面上任取一点,将一支铅笔的一端放在这点上,绕该点转动铅笔,使铅笔所在的直线依次平行于多边形的各条边,请问铅笔每次转动的角度与多边形的外角有什么关系?由此你能得到什么结论?
这种方法叫射线平移法。由此得到:五边形的外角和是360°
还可以用图形缩放法来验证。
想一想(问题引申):
如果广场的形状是六边形,八边形,……,任意多边形还有类似的结论吗?
设计意图
通过问题的解决与引申,引发学生自主思考,有特殊到一般,培养学生的逻辑思维能力,并为多边形的外角和的结论的得出做好铺垫。
第四环节
多边形外角和定理的证明
问题:一个任意凸多边形的外角和是多少?例如三角形,四边形,五边形等等,你能证明出来吗?怎样证明?
考虑:
多边形同一个顶点处的一个外角和内角有什么关系?
你能用以上关系以及n边形的内角和公式推理出n边形的外角和吗?
从多边形的内角和与补角的定义出发去证明得出结论.
结论:多边形的外角和等于360度。
思考:多边形的外角和与多边形的边数有关吗?
设计意图
鼓励学生一题多解,发散学生思维,培养学生分析问题与解决问题的能力。
第五环节
例题及巩固练习
例题:一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形?
解:设这是个n边形,则它的内角和是(n-2)180°,外角和等于360°,
根据题意得
(n-2)180=3×360
解得
n=8
所以这是个八边形。
巩固练习
小试牛刀
1.十边形的内角和是____,外角和是____。
2.正五边形的每一个外角等于____,每一个内角等于_____。
3.如果一个多边形的每个外角都等于60°,则这个多边形的边数是_____。
4.如图,小亮从A点出发,每前进10米就向右拐15度,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时共走了_____米。
5.一个多边形每个外角都等于与其相邻的内角,这个多边形是(
)
。
A、四边形
B、五边形
C、六边形
D、七边形
6.如果一个多边形的内角和与外角和相等,那么这个多边形是(
)。
A、四边形
B、五边形
C、六边形
D、七边形
挑战自我
7.是否存在一个多边形,它的每个外角都等于与其相邻的内角的?
设计意图
学为所用,并让不同层次的学生得到不同的发展。
第六环节
课堂小结
通过本节课的学习,你学到了那些知识?学会了哪些数学思想方法?
第七环节
课堂小测
1
一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是几边形?如果这个多边形的每个内角都相等,那么每个内角等于多少度?
2
一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角,这个多边形是几边形?它的每个外角是多少度?
3
一个多边形的每个内角都是120°,那么这个多边形是几边形?
设计意图
检查学生对本节课知识的掌握情况。
第八环节
作业
你能用多边形的外角和推导出多边形的内角和吗?
选做题:
小明在计算一个多边形外角和时,结果为570°,小亮说他多加了一个外角。你认为呢?你知道这个多边形是几边形吗?
3.四边形的四个内角中,最多有几个是锐角?最多有几个是钝角?