普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(四)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,2,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
D A∪B＝，∴?U(A∪B)＝．故选D．
2．函数f
(x)＝lg(2x－1)的定义域是( )
A．(1,2)
B．∪(1，＋∞)
C．
D．∪(2，＋∞)
C 由题意得2x－1＞0，解得x＞，故函数的定义域是．故选C．
3．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°所形成的几何体的名称是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．圆柱的一部分
[答案] B
4．已知x∈，cos
x＝，则tan
2x＝( )
A． B．－ C． D．－
D 由cos
x＝，x∈，
得到sin
x＝－，
∴tan
x＝－，
则tan
2x＝＝＝－．
故选D．
5．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＝0
C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角
D．有的有理数没有倒数
C 因为对任意的钝角三角形，其内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确．
6．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
C 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i．
7．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
D 由已知得a＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，
b＝×(15＋15)＝15，
c＝17，∴c＞b＞a．故选D．
8．函数f
(x)＝2x＋x的零点所在区间为( )
A．(－3，－2)
B．(－2，－1)
C．(－1,0)
D．(0,1)
B ∵f
(x)＝2x＋x是连续递增的，
f
(－2)＝2－2＋×(－2)＝－<0，f
(－1)＝2－1－＝－>0，
∴函数f
(x)的零点所在区间为(－2，－1)．故选B．
9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
图1
图2
A．1% B．2% C．3% D．5%
C 由题图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%．故选C．
10．函数f
(x)＝ax(a>0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
A ∵g(x)＝－x＋a是R上的减函数，
∴排除选项C，D．由选项A，B的图象知，a>1，
∴g(0)＝a>1．故选A．
11．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
A ∵a∥b，∴sin2α＝×＝．
∴sin
α＝±．
又∵α为锐角，∴α＝30°．
12．掷一枚骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是( )
A． B． C． D．
A 对立事件为出现1点或3点，
所以P＝1－＝．
13．某商场的某种商品的年进货量为10
000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件
B．5
000件
C．2
500件
D．1
000件
D 设每次进货x件，费用为y元．
由题意y＝100×＋2×＝＋x≥2＝2
000，当且仅当x＝1
000时取等号，y最小．故选D．
14．设函数f
(x)＝2sin(ωx＋φ)，已知函数f
(x)的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x＝时，f
(x)取得最大值，则下列结论正确的是( )
A．函数f
(x)的最小正周期是4π
B．函数f
(x)在上单调递增
C．f
(x)的图象关于直线x＝对称
D．f
(x)的图象关于点对称
A 由题意，f
(x)的最小正周期为4π，
∴ω＝＝．
∵当x＝时，f
(x)取得最大值，
即×＋φ＝2kπ＋，k∈Z．
∴φ＝2kπ＋，k∈Z．
∵0＜φ＜，∴φ＝．∴f
(x)＝2sin．
对于A，正确．
对于B，当x∈时，x＋∈，由正弦函数的单调性可知错误．
对于C，由2sin≠2，故错误．
对于D，由2sin≠0，故错误．
15．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°．故选C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知f
(x)是奇函数，且当x<0时，f
(x)＝－eax．若f
(ln
2)＝8，则a＝________．
－3 当x>0时，－x<0，f
(－x)＝－e－ax．
因为函数f
(x)为奇函数，
所以当x>0时，f
(x)＝－f
(－x)＝e－ax，
所以f
(ln
2)＝e－aln
2＝＝8，
所以a＝－3．
17．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则·＝________．
1 ∵等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，∴＝－＝－，＝－＝－－．
∴·＝(2－2)＝×(16－12)＝1．
18．《九章算术》中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．文中所述鳖臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑A?BCD中，若AB＝BD＝CD＝1，则该鳖臑的体积为________．
依题意，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝BD＝1，在Rt△BCD中，
BD＝CD＝1，∠BDC＝90°，所以AB⊥底面BCD，得S△BCD＝BD·CD＝，
所以VA?BCD＝S△BCD·AB＝．
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为________．
由已知得bcsin
A＝×1×c×sin
＝，∴c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos
＝3，
∴a＝．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD．
求证：(1)直线PA∥平面BDE；
(2)平面BDE⊥平面PCD．
[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以O为AC的中点．
又E为PC的中点，所以OE∥PA．
因为OE?平面BDE，PA?平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE．
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，
所以OE⊥PD．
因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．
又PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD＝P，
所以OE⊥平面PCD．
因为OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．
21．(14分)已知函数f
(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1．
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f
(x)(x≥0)的值域．
[解] (1)
∵f
(2)＝，∴a2－1＝．∴a＝．
(2)
∵f
(x)＝，x≥0，
∴x－1≥－1，
故0<≤＝2．
∴函数f
(x)的值域为(0,2]．
22．(14分)已知函数f
(x)＝sin－4cos2x，将函数f
(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象长度．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值．
[解] (1)∵f
(x)＝sin－4cos2x＝－4×
＝sin
2x＋cos
2x－2cos
2x－2
＝sin
2x－cos
2x－2
＝sin－2，
∴由题意可得
g(x)＝sin－2＋2
＝sin．
(2)∵x∈，
可得2x＋∈，
∴sin∈．
∴当x＝时，函数g(x)有最大值1；
当x＝时，函数g(x)有最小值－．
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标准示范卷
(四)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,2,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
2．函数f
(x)＝lg(2x－1)的定义域是( )
A．(1,2)
B．∪(1，＋∞)
C．
D．∪(2，＋∞)
3．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°所形成的几何体的名称是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．圆柱的一部分
4．已知x∈，cos
x＝，则tan
2x＝( )
A． B．－ C． D．－
5．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＝0
C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角
D．有的有理数没有倒数
6．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
7．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
8．函数f
(x)＝2x＋x的零点所在区间为( )
A．(－3，－2)
B．(－2，－1)
C．(－1,0)
D．(0,1)
9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
图1
图2
A．1% B．2% C．3% D．5%
10．函数f
(x)＝ax(a>0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
11．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
12．掷一枚骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是( )
A． B． C． D．
13．某商场的某种商品的年进货量为10
000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件
B．5
000件
C．2
500件
D．1
000件
14．设函数f
(x)＝2sin(ωx＋φ)，已知函数f
(x)的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x＝时，f
(x)取得最大值，则下列结论正确的是( )
A．函数f
(x)的最小正周期是4π
B．函数f
(x)在上单调递增
C．f
(x)的图象关于直线x＝对称
D．f
(x)的图象关于点对称
15．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知f
(x)是奇函数，且当x<0时，f
(x)＝－eax．若f
(ln
2)＝8，则a＝________．
17．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则·＝________．
18．《九章算术》中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．文中所述鳖臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑A?BCD中，若AB＝BD＝CD＝1，则该鳖臑的体积为________．
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD．
求证：(1)直线PA∥平面BDE；
(2)平面BDE⊥平面PCD．
21．(14分)已知函数f
(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1．
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f
(x)(x≥0)的值域．
22．(14分)已知函数f
(x)＝sin－4cos2x，将函数f
(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象长度．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值．
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