普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(五)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0
D ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，
在数轴上表示如图，
∴?U(A∪B)＝{x|02．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B 因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2．
3．已知α是第二象限角，P(x,
)为其终边上一点，且cos
α＝x，则x＝( )
A． B．± C．－ D．－
D 依题意得cos
α＝＝x<0，由此解得x＝－，选D．
4．下列函数中，定义域为R的函数是( )
A．y＝ B．y＝lg
x C．y＝ D．y＝2x
D y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
y＝lg
x的定义域为(0，＋∞)；
y＝的定义域为[0，＋∞)；
y＝2x的定义域为R．
5．已知一正方体的棱长为2，则该正方体内切球的表面积为( )
A．π B． C．4π D．16π
C 该正方体的内切球半径为1，故球的表面积为4π．
6．抛掷一颗骰子，观察向上的点数，下列每对事件相互对立的是( )
A．“点数为2”与“点数为3”
B．“点数小于4”与“点数大于4”
C．“点数为奇数”与“点数为偶数”
D．“点数小于4”与“点数大于2”
C 若事件A，B为对立事件，则A，B必有一个且仅有一个发生，选项A中，“点数为2”与“点数为3”不是必有一个发生，也可能都不发生，且概率之和不为1．选项A错误；选项B中，“点数小于4”与“点数大于4”不是必有一个发生，存在“点数等于4”的情况，选项B错误；选项C中，“点数为奇数”与“点数为偶数”必有一个且仅有一个发生，符合对立事件的定义，C正确；选项D中，“点数小于4”与“点数大于2”可同时发生，即“点数等于3”，D错误．
7．已知f
(x)＝则f
＋f
的值等于( )
A．－2 B．4 C．2 D．－4
B ∵>0，∴f
＝2×＝．
∵－<0，
∴f
＝f
＝f
＝f
＝f
＝，
∴f
＋f
＝＝4．
8．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A B C
D
B 由y＝logax的图象可知loga3＝1，所以a＝3．对于选项A：y＝3－x＝为减函数，A错误；对于选项B：y＝x3，显然满足条件；对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；对于选项D：y＝log3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．故选B．
9．函数y＝－2cos2＋1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的非奇非偶函数
A 因为y＝－cos＝sin
2x，所以函数y＝－2cos2＋1是最小正周期为π的奇函数．
10．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
B 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3．
11．2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为( )
棉服
甲款
乙款
进货数量
20
10
A． B． C． D．
B 根据题意得抽取的6件新进产品中，乙款有2件，记为A，B，甲款有4件，记为a，b，c，d．从这6件中任意选取2件，所有可能的情况有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种．其中满足条件的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，故所求概率P＝＝，故选B．
12．下列数值大于1的是( )
A．1.70.2 B．0.71.3 C．lg
2 D．ln
0.5
A 1.70.2>1.70＝1，A正确；0.71.3<0.70＝1，B错误；lg
210＝1，C错误；ln
0.5e＝1，D错误．
13．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
B 连接BD，B1D1，如图所示，易证EF∥BD，BD∥B1D1，故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角．连接D1C，知△CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60°．
14．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)，152,155,158,164,164,165,165,165,166,
167,168,168,169,170,170,170,171，x,174,175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为( )
A．171 B．172 C．173 D．174
B 因为20×90%＝18，所以第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，即(x＋174)＝173，所以x＝172．
15．已知f
(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f
(2|a－1|)>f
(－)，则a的取值范围是( )
A．
B．∪
C．
D．
C ∵f
(x)是偶函数且在(－∞，0)上单调递增，
∴f
(x)在(0，＋∞)上单调递减，
且f
(－)＝f
()，
∴原不等式可化为f
(2|a－1|)>f
()．
故有2|a－1|<，即|a－1|<，
解得二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________．
－6 因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6．
17．若α为钝角，且sin
α＝，则sin
2α的值为________．
－ 因为α为钝角且sin
α＝，
所以cos
α＝－＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－．
18．如图，M是棱长为2
cm的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm．
由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm，故两点之间的距离是
cm．若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是
cm．故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm．
19．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%．若p>q>0，则提价多的方案是________．
乙 设原价为a，方案甲提价后为a(1＋p%)(1＋q%)，方案乙提价后为a，
∵＝2≥()2＝(1＋p%)(1＋q%)，
又∵p>q>0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)
全世界越来越关注环境保护问题．某监测站点于2021年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：
空气质量指数(μg/m3)
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．
[解] (1)∵0.004×50＝，∴n＝100．
∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝25．
＝0.008，＝0.005，
＝0.002，＝0.001．
由此完成频率分布直方图，如图．
(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为
25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95，
∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2，(50,100]的频率为0.008×50＝0.4，
∴中位数为50＋×50＝87.5．
21．(14分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求三棱锥D?AEC的体积．
[解] (1)证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE．
∵AE?平面ABE，
∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ACE，
∴BF⊥AE，又BC∩BF＝B．
∴AE⊥平面BCE．
又∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
(2)在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H．
∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE．
又∵平面ACD∩平面ABE＝AB，EH?平面ABE，
∴EH⊥平面ACD．
由已知及(1)得EH＝AB＝，S△ADC＝2．
故VD?AEC＝VE?ADC＝×2×＝．
22．(14分)已知向量a＝，b＝，c＝(，－1)，其中x∈R．
(1)当a·b＝时，求x的取值集合；
(2)设函数f
(x)＝(a－c)2，求f
(x)的最小正周期及其单调递增区间．
[解] (1)∵a·b＝cos
cos
＋sin
·sin
＝cos
x＝，
∴x＝2kπ±(k∈Z)．
∴所求x的取值集合为．
(2)∵a－c＝，
∴f
(x)＝(a－c)2
＝＋
＝5－2cos
＋2sin
＝5＋4
＝5＋4sin．
∴最小正周期为T＝＝．
由2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，
得－≤x≤＋(k∈Z)．
∴单调递增区间是(k∈Z)．
9/9普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(五)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|02．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知α是第二象限角，P(x,
)为其终边上一点，且cos
α＝x，则x＝( )
A． B．± C．－ D．－
4．下列函数中，定义域为R的函数是( )
A．y＝ B．y＝lg
x C．y＝ D．y＝2x
5．已知一正方体的棱长为2，则该正方体内切球的表面积为( )
A．π B． C．4π D．16π
6．抛掷一颗骰子，观察向上的点数，下列每对事件相互对立的是( )
A．“点数为2”与“点数为3”
B．“点数小于4”与“点数大于4”
C．“点数为奇数”与“点数为偶数”
D．“点数小于4”与“点数大于2”
7．已知f
(x)＝则f
＋f
的值等于( )
A．－2 B．4 C．2 D．－4
8．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A B C
D
9．函数y＝－2cos2＋1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的非奇非偶函数
10．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
11．2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为( )
棉服
甲款
乙款
进货数量
20
10
A． B． C． D．
12．下列数值大于1的是( )
A．1.70.2 B．0.71.3 C．lg
2 D．ln
0.5
13．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
14．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)，152,155,158,164,164,165,165,165,166,
167,168,168,169,170,170,170,171，x,174,175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为( )
A．171 B．172 C．173 D．174
15．已知f
(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f
(2|a－1|)>f
(－)，则a的取值范围是( )
A．
B．∪
C．
D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________．
17．若α为钝角，且sin
α＝，则sin
2α的值为________．
18．如图，M是棱长为2
cm的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm．
19．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%．若p>q>0，则提价多的方案是________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)
全世界越来越关注环境保护问题．某监测站点于2021年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：
空气质量指数(μg/m3)
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．
21．(14分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求三棱锥D?AEC的体积．
22．(14分)已知向量a＝，b＝，c＝(，－1)，其中x∈R．
(1)当a·b＝时，求x的取值集合；
(2)设函数f
(x)＝(a－c)2，求f
(x)的最小正周期及其单调递增区间．
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