普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(六)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{1,3,5}，N＝{2,3,5}，则M∪N＝( )
A．{3,5} B．{1,2,3} C．{2,3,5} D．{1,2,3,5}
D M∪N＝{1,3,5}∪{2,3,5}＝{1,2,3,5}．
2．函数y＝＋log2(2－x)的定义域是( )
A．(－∞，2) B．[1,2) C．[1,2] D．[1，＋∞)
A 由题意得2－x>0，∴x<2．故选A．
3．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是( )
A．BC1 B．A1D C．AC D．BC
C 因为四边形ABCD为正方形，
所以AC⊥BD，又因为BD∥B1D1，
所以AC⊥B1D1．
4．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为( )
A．B(5，－5)，M(0,0)
B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0)
D．B(1,1)，M
B ＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，AB的中点M的坐标为．
5．计算27eq
\s\up12()×7－log4＋ln
e2－2lg
2－lg
25＝( )
A．20 B．21 C．9 D．11
B 原式＝(33)eq
\s\up12()×2＋3＋2－(lg
4＋lg
25)＝21．
6．袋中装有质地、形状和大小完全相同的五个小球，其中黑球、红球、黄球各一个，白球两个．从中任取一个球，则“取出的球是白球或黑球”的概率为
( )
A． B． C． D．
C 从袋中任取一个球共有5种结果，取出的是白球或黑球共有3种结果，所以所求概率为．
7．已知向量a＝(－1，m)，b＝(2,1)，若向量a＋b与b垂直，则实数m的值为
( )
A．－3 B．3 C．－ D．
A a＋b＝(1，m＋1)．因为a＋b与b垂直，
所以(a＋b)·b＝0，所以2＋m＋1＝0，
解得m＝－3．
8．某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间(单位：小时)，根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是[0,16]，样本数据分组区间为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16]．根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为( )
A．5 B．10 C．20 D．80
C 由频率分布直方图可知：平均一周使用互联网的时间不少于12小时的频率为0.05×4＝0.2，所以平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为100×0.2＝20人．
9．函数f
(x)＝ln
x＋x－2的零点所在区间为( )
A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
C 由题意得f
(1)＝ln
1＋1－2＝－1，f
(2)＝ln
2＋2－2＝ln
2>0，即f
(1)·f
(2)<0，由函数的零点存在定理，得函数f
(x)＝ln
x＋x－2的零点所在的区间为(1,2)．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若＋＝0，则B＝( )
A． B． C． D．
D 由正弦定理得＋＝1＋tan
B＝0，
所以tan
B＝－1，又B∈(0，π)，所以B＝．
11．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，则数据2x1＋3,2x2＋3,2x3＋3,2x4＋3,2x5＋3的平均数为( )
A． B． C．2 D．7
D 由题意可得＝2，
即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，所以
＝＝＝7．
12．函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象如图所示，其中a，b为常数．下列结论正确的是( )
A．a>1，－1
B．a>1,0C．0D．0A 由函数的图象可知该函数是增函数，所以a>1．又因为函数在y轴上的截距在(0,1)之间，所以013．在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l∥α，α∥β，则l∥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
B 由于一条直线与两个平面平行，这两个平面可以平行，也可以相交，因此A不正确；根据垂直于同一直线的两个平面平行，因此B正确；若l∥α，α∥β，则l∥β或l?β，因此C不正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l?β，因此D不正确．
14．下列函数中，使得函数f
(x)＝sin
x＋g(x)在区间上单调递增的是( )
A．g(x)＝－cos
x
B．g(x)＝cos
x
C．g(x)＝sin
x
D．g(x)＝1
A 选项A中，
f
(x)＝sin
x－cos
x＝sin．
当x∈时，x－∈，
此时f
(x)单调递增，A正确；
选项B中，f
(x)＝sin
x＋cos
x
＝sin，当x∈时，x＋∈[0，π]，此时f
(x)不单调，B错误；
选项C中，f
(x)＝2sin
x，
当x∈时，f
(x)不单调，C错误；
选项D中，f
(x)＝sin
x＋1，
当x∈时，f
(x)不单调，D错误．
15．已知函数f
(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．若f
(2)＝0，则使f
<0成立的x的取值范围是( )
A．∪(1,4)
B．∪(1,4)
C．∪(4，＋∞)
D．∪(4，＋∞)
B 因为f
(x)在(0，＋∞)上单调递减且为奇函数，所以f
(x)在(－∞，0)上单调递减．
又f
(x)定义域为R，所以f
(0)＝0，
因为f
(－2)＝－f
(2)，
所以f
(－2)＝0，由f
(logeq
\s\do10()x)<0得－2\s\do10()x<0或logeq
\s\do10()x>2，
解得1二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________．
－2i 设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i∈R，则b＝－2，所以z＝－2i．
17．一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．
24 πR3＝4π，R3＝3＝()3，
∴R＝．
设正方体边长为a，则a2＋a2＋a2＝(2R)2，
∴a2＝4．
∴正方体的表面积为24．
18．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．
(－2,4) 因为关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2>0，即(a－4)(a＋2)<0，解得－219．如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的图象的一部分，则函数的解析式为________．
y＝sin 由题图，可得A＝，
·＝－，∴ω＝2．
根据五点法作图可得2×＋φ＝0，
求得φ＝－．
故函数的解析式为y＝sin．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE．
[证明] 连接BD交AC于点O，连接EO，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，
所以EO为△BD1D的中位线，
所以EO∥BD1，
又因为BD1?平面ACE，
EO?平面ACE，
所以BD1∥平面ACE．
21．(14分)某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
[解] (1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1．
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15．抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝＝．
22．(14分)已知函数f
(x)＝x2＋2|x－a|，a∈R．
(1)若f
(x)为偶函数，求a的值；
(2)若函数g(x)＝af
(x)＋2的最小值为8，求a的值．
[解] (1)因为f
(x)是偶函数，
所以f
(－x)＝f
(x)，
故x2＋2|－x－a|＝x2＋2|x－a|，
所以|x＋a|＝|x－a|，
即x2＋2ax＋a2＝x2－2ax＋a2，
化简得：4ax＝0，因为x∈R，所以a＝0．
(2)g(x)＝af
(x)＋2＝ax2＋2a|x－a|＋2
＝
①若a＝0，则g(x)＝2，不合题意；
②若a<0，则g(x)无最小值，不合题意；
③若0当x≥a时，g(x)在[a，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(a)；
当xg(a)．
所以，g(x)的最小值为g(a)＝a3＋2＝8，
所以a＝>1，舍去；
④若a>1，
当x≥a时，g(x)在[a，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(a)；
当x所以g(x)≥g(1)，
因为g(1)所以g(x)的最小值为g(1)＝2a2－a＋2＝8，
所以a＝－(舍去)或a＝2，
综上所述，a＝2．
8/8普
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高
中
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业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(六)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{1,3,5}，N＝{2,3,5}，则M∪N＝( )
A．{3,5} B．{1,2,3} C．{2,3,5} D．{1,2,3,5}
2．函数y＝＋log2(2－x)的定义域是( )
A．(－∞，2) B．[1,2) C．[1,2] D．[1，＋∞)
3．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是( )
A．BC1 B．A1D C．AC D．BC
4．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为( )
A．B(5，－5)，M(0,0)
B．B(5，－5)，M
C．B(1,1)，M(0,0)
D．B(1,1)，M
5．计算27eq
\s\up12()×7－log4＋ln
e2－2lg
2－lg
25＝( )
A．20 B．21 C．9 D．11
6．袋中装有质地、形状和大小完全相同的五个小球，其中黑球、红球、黄球各一个，白球两个．从中任取一个球，则“取出的球是白球或黑球”的概率为
( )
A． B． C． D．
7．已知向量a＝(－1，m)，b＝(2,1)，若向量a＋b与b垂直，则实数m的值为
( )
A．－3 B．3 C．－ D．
8．某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间(单位：小时)，根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是[0,16]，样本数据分组区间为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16]．根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为( )
A．5 B．10 C．20 D．80
9．函数f
(x)＝ln
x＋x－2的零点所在区间为( )
A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若＋＝0，则B＝( )
A． B． C． D．
11．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，则数据2x1＋3,2x2＋3,2x3＋3,2x4＋3,2x5＋3的平均数为( )
A． B． C．2 D．7
12．函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象如图所示，其中a，b为常数．下列结论正确的是( )
A．a>1，－1B．a>1,0C．0D．013．在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l∥α，α∥β，则l∥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
14．下列函数中，使得函数f
(x)＝sin
x＋g(x)在区间上单调递增的是( )
A．g(x)＝－cos
x
B．g(x)＝cos
x
C．g(x)＝sin
x
D．g(x)＝1
15．已知函数f
(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．若f
(2)＝0，则使f
<0成立的x的取值范围是( )
A．∪(1,4)
B．∪(1,4)
C．∪(4，＋∞)
D．∪(4，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________．
17．一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．
18．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．
19．如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的图象的一部分，则函数的解析式为________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE．
21．(14分)某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
22．(14分)已知函数f
(x)＝x2＋2|x－a|，a∈R．
(1)若f
(x)为偶函数，求a的值；
(2)若函数g(x)＝af
(x)＋2的最小值为8，求a的值．
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