普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(七)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于( )
A．{x|－1≤x<3}
B．{x|x<3}
C．{x|x<－1}
D．{x|x>3}
2．函数f
(x)＝cos的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－x3 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝
4．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi为( )
A．2－i
B．2＋i C．1＋2i
D．1－2i
5．已知函数f
(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,x，x>0，))则f
(－1)＋f
(1)＝( )
A．0 B．1 C． D．2
6．某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg)．其中每件产品的重量范围是[40,42]．数据的分组依次为[40,40.5)，[40.5,41)，[41,41.5)，[41.5,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品件数为( )
A．30 B．40 C．60 D．80
7．sin
110°cos
40°－cos
70°sin
40°＝( )
A．－ B．－ C． D．
8．在平行四边形ABCD中，＋－＝( )
A． B． C． D．
9．下列结论正确的是( )
A．若a
，则a3B．若a>b
，则2a<2b
C．若a，则a2D．若a>b
，则ln
a>ln
b
10．已知实数m，n满足2m＋n＝2，其中mn>0，则＋的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
11．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
12．甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：
甲命中的环数
8
8
9
8
7
乙命中的环数
7
9
10
8
6
根据上述数据，下列判断正确的是( )
A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定
B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定
C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定
D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定
13．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A． B． C． D．
14．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A．A1D⊥
C1C
B．BD1⊥
AD
C．A1D⊥AC
D．AC⊥BD1
15．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，
＝－3a＋7b，＝4a－5b，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D
三点共线
C．A，C，D
三点共线
D．B，C，D三点共线
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层随机抽样的方法在该校田径队中抽取18人进行体能测试，则应抽取的女运动员的人数为________．
17．若一个圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为________．
18．已知函数f
(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)内有零点，则实数a的取值范围为________．
19．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝＋，则与夹角的大小为________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PC的中点．证明：EF//平面PAD．
21．(14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cos
B＝．
(1)若sin
A＝，求b的值；
(2)若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．
22．(14分)已知函数f
(x)＝ax＋log3(9x＋1)
(a∈R)为偶函数．
(1)求a的值；
(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f
(x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围．
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试
标准示范卷
(七)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于( )
A．{x|－1≤x<3}
B．{x|x<3}
C．{x|x<－1}
D．{x|x>3}
B A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，
B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}．
∴A∪B＝{x|x<3}，故选B．
2．函数f
(x)＝cos的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
D ∵ω＝，∴最小正周期T＝＝4π．
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－x3 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝
D y＝|x|，y＝都是偶函数，y＝|x|在(0，＋∞)上递增，y＝在(0，＋∞)递减，故选D．
4．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi为( )
A．2－i
B．2＋i C．1＋2i
D．1－2i
C ∵a＋i＝，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，
∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi．
由复数相等的条件得解得
∴a＋bi＝1＋2i．故选C．
5．已知函数f
(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,x，x>0，))则f
(－1)＋f
(1)＝( )
A．0 B．1 C． D．2
C ∵f
(－1)＝2－1＝，f
(1)＝1eq
\s\up12()＝1，
∴f
(－1)＋f
(1)＝．
6．某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg)．其中每件产品的重量范围是[40,42]．数据的分组依次为[40,40.5)，[40.5,41)，[41,41.5)，[41.5,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品件数为( )
A．30 B．40 C．60 D．80
B 重量在[40,41)内的产品的频率为(0.1＋0.7)×0.5＝0.40．
∴重量在[40,41)内的产品的件数为0.40×100＝40．
7．sin
110°cos
40°－cos
70°sin
40°＝( )
A．－ B．－ C． D．
C sin
110°cos
40°－cos
70°sin
40°＝sin
70°·cos
40°－cos
70°sin
40°＝sin(70°－40°)＝sin
30°＝．
8．在平行四边形ABCD中，＋－＝( )
A． B． C． D．
B ＋－＝－＝＝．
9．下列结论正确的是( )
A．若a，则a3B．若a>b
，则2a<2b
C．若a，则a2D．若a>b
，则ln
a>ln
b
A A，由ab可得2a>2b，因此B不正确；C，ab无法得出ln
a>ln
b，因此D不正确．
10．已知实数m，n满足2m＋n＝2，其中mn>0，则＋的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
A 实数m，n满足2m＋n＝2，
其中mn>0．
所以＋＝(2m＋n)＝
≥＝4，
当且仅当＝，2m＋n＝2，
即m＝且n＝1时，＋取最小值为4．
11．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
C A，D都是随机事件；因为只有2张蓝色卡片，任取3张，“都是蓝色卡片”是不可能事件；任取3张卡片，有可能“都是红色卡片”，故“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误．
12．甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：
甲命中的环数
8
8
9
8
7
乙命中的环数
7
9
10
8
6
根据上述数据，下列判断正确的是( )
A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定
B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定
C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定
D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定
A 甲的平均成绩和乙的平均成绩相同都为8，从数据看甲的成绩更稳定．
13．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A． B． C． D．
A 3位同学各自在周六、周日任选一天，共有23＝8种方法，3位同学周六，周日都有同学参加有8－2＝6种方法，故所求概率为＝．
14．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A．A1D⊥
C1C
B．BD1⊥
AD
C．A1D⊥AC
D．AC⊥BD1
D 如图，连接BD交AC于O，则AC⊥BD，
又∵DD1⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC，又∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，
又∵BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1．
15．已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，
＝－3a＋7b，＝4a－5b，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D
三点共线
C．A，C，D
三点共线
D．B，C，D三点共线
B ∵＝＋＋＝a＋2b－3a＋7b＋4a－5b＝2a＋4b，∴＝2(a＋2b)＝2，
又∵A是公共点，
∴A，B，D三点共线．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层随机抽样的方法在该校田径队中抽取18人进行体能测试，则应抽取的女运动员的人数为________．
8 应抽取女运动员的人数为×18＝8人．
17．若一个圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为________．
2π ∵圆锥的底面半径r＝1，高h＝，
∴母线长l＝＝＝2．∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．
18．已知函数f
(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)内有零点，则实数a的取值范围为________．
(－2,0) ∵f
(x)＝x2＋x＋a的对称轴x＝－，且开口向上，∴f
(x)在区间(0,1)内单调递增，函数f
(x)在区间(0,1)内有零点，
则f
(0)f
(1)<0，∴a(2＋a)<0，∴－2∴实数a的取值范围为(－2,0)．
19．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝＋，则与夹角的大小为________．
120° ∵＝＋，∴四边形ABOC是平行四边形，∴||＝||＝||＝R(R为圆的半径)，设〈，〉＝θ，对＝＋，两边平方得2＝2＋2＋2·．
∴R2＝R2＋R2＋2R2cos
θ，
∴cos
θ＝－，∴θ＝120°．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PC的中点．证明：EF//平面PAD．
[证明] 取PD的中点G，连接FG，AG，
因为F是PC的中点，
所以FG∥CD且FG＝CD．
又AE∥CD且AE＝CD，所以AE∥FG且AE＝FG，
所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．
21．(14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cos
B＝．
(1)若sin
A＝，求b的值；
(2)若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．
[解] (1)因为cos
B＝，0所以sin
B＝，
由正弦定理＝，
得b＝＝6××＝．
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B＝36＋4－2×6×2×＝32，所以b＝4，
因为S＝acsin
B，
所以S＝×6×2×＝4．
22．(14分)已知函数f
(x)＝ax＋log3(9x＋1)
(a∈R)为偶函数．
(1)求a的值；
(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f
(x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围．
[解] (1)由题意知函数f
(x)的定义域为R，因为函数f
(x)为偶函数，所以f
(1)＝f
(－1)，即a＋log310＝－a＋log3，可得a＝－1，经检验此时有f
(－x)＝f
(x)，所以a＝－1．
(2)由已知b≤f
(x)在[0，＋∞)上恒成立，所以b小于或等于f
(x)在[0，＋∞)上的最小值．
由(1)知f
(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3，
令g(x)＝3x＋，x∈[0，＋∞)，
任取x1，x2∈[0，＋∞)且x2>x1，
则g(x2)－g(x1)＝3＋eq
\f(1,3)－3－eq
\f(1,3)＝(3－3)eq
\f(3－1,3)，因为x2>x1≥0，
所以3－3>0,3
>1,3－1>0，
所以g(x2)>g(x1)，
所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝2，可得f
(x)≥log32，
即f
(x)在[0，＋∞)上的最小值为log32，
因此b的取值范围是(－∞，log32]．
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