普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(八)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1A．{x|x<1或x>3}
B．{x|x≥3}
C．{x|x≤1或x≥3}
D．{x|x≤1}
2．函数f
(x)＝的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
3．函数f
(x)＝sin的最小正周期是( )
A． B．π C．2π D．4π
4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,5)，则2a＋b＝( )
A．(4,3) B．(5,1) C．(5,3) D．(7,8)
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝( )
A． B． C．4 D．
6．若tan
α＝2，则tan的值为( )
A．－ B． C．－3 D．3
7．已知复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点为( )
A．
B．(1,1)
C．
D．(1，－1)
8．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
9．函数y＝log3(3x)的图象大致为( )
A
B
C D
10．某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间(单位：小时)进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9,14]，数据的分组依次为：[9,10)，[10,11)，[11,12)，[12,13)，[13,14]．已知活动时间在[9,10)内的人数为300，则活动时间在[11,12)内的人数为( )
A．600 B．800 C．1
000 D．1
200
11．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是( )
A．“至少有1件次品”与“全是次品”
B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”
C．“至少有1件次品”与“全是正品”
D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”
12．函数y＝ax－1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点( )
A．(0，－3) B．(0，－2) C．(1，－3) D．(1，－2)
13．从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为( )
A． B． C． D．
14．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A． B． C． D．2
15．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：
①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知函数f
(x)＝则f
(－2)＋f
(2)的值为________．
17．已知向量a与b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b的值为________．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．
19．已知函数f
(x)对任意x，y∈R，都有f
(x＋y)＝f
(x)＋f
(y)成立．有以下结论：
①f
(0)＝0；②f
(x)是R上的偶函数；③若f
(2)＝2，则f
(1)＝1；④当x>0时，恒有f
(x)<0，则函数f
(x)在R上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．
证明：EF∥平面AB1D1．
21．(14分)已知函数f
(x)＝cos2－sin2－a，a∈R．
(1)求函数f
(x)的单调递增区间；
(2)若函数f
(x)在上有零点，求a的取值范围．
22．(14分)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值；
(2)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中恰好抽到2人的概率．
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标准示范卷
(八)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1A．{x|x<1或x>3}
B．{x|x≥3}
C．{x|x≤1或x≥3}
D．{x|x≤1}
C ?UA＝{x|x≤1，或x≥3}．
2．函数f
(x)＝的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
D 由已知，2x－1≥0，解得x≥．
3．函数f
(x)＝sin的最小正周期是( )
A． B．π C．2π D．4π
D f
(x)的最小正周期为T＝＝4π．
4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,5)，则2a＋b＝( )
A．(4,3) B．(5,1) C．(5,3) D．(7,8)
B 2a＋b＝2(1，－2)＋(3,5)＝(2＋3，－4＋5)＝(5,1)．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝( )
A． B． C．4 D．
A ∵A＝60°，b＝2，c＝3，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝4＋9－2×2×3×＝7，∴a＝．
6．若tan
α＝2，则tan的值为( )
A．－ B． C．－3 D．3
A ∵tan
α＝2，
∴tan＝＝＝－．
7．已知复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点为( )
A．
B．(1,1)
C．
D．(1，－1)
A z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为．故选A．
8．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
C 设两球的半径分别为r1，r2，则＝，∴＝，所以两球的体积比为＝＝＝．
9．函数y＝log3(3x)的图象大致为( )
A
B
C D
A 由函数性质知y＝log3(3x)为增函数，故排除B，D；当x＝时，y＝log3＝0，即函数过点，排除C，故选A．
10．某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间(单位：小时)进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9,14]，数据的分组依次为：[9,10)，[10,11)，[11,12)，[12,13)，[13,14]．已知活动时间在[9,10)内的人数为300，则活动时间在[11,12)内的人数为( )
A．600 B．800 C．1
000 D．1
200
D 活动时间在[9,10)内的频率为0.10，在[11,12)内的频率为0.40，设活动时间在[11,12)内的人数为x，则＝，解得x＝1
200．
11．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是( )
A．“至少有1件次品”与“全是次品”
B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”
C．“至少有1件次品”与“全是正品”
D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”
B 从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况，故选B．
12．函数y＝ax－1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点( )
A．(0，－3) B．(0，－2) C．(1，－3) D．(1，－2)
D 令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点(1，－2)．
13．从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为( )
A． B． C． D．
A 记3本数学书为a，b，c,1本语文书为d，从中任取两本，共有取法：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种情况，其中有语文书有3种情况，故所求概率为P＝＝．
14．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A． B． C． D．2
C 设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得
15．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：
①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B 把平面展开图折起，得到如图所示的正方体．
则BF与DN是异面直线，
CM与BN平行，
DF与BN垂直，
AE与DN是异面直线，故正确个数为2．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知函数f
(x)＝则f
(－2)＋f
(2)的值为________．
－3 f
(－2)＝3×(－2)－1＝－7，
f
(2)＝22＝4，
∴f
(－2)＋f
(2)＝－7＋4＝－3．
17．已知向量a与b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b的值为________．
－6 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝3×4×cos
＝－6．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．
由题意，知△AED′为等腰直角三角形，
∵平面AED′⊥平面ABCE，
∴AD′在底面的射影在AE上，
∴∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成角，
且∠D′AE＝45°，其正弦值为，故答案．
19．已知函数f
(x)对任意x，y∈R，都有f
(x＋y)＝f
(x)＋f
(y)成立．有以下结论：
①f
(0)＝0；②f
(x)是R上的偶函数；③若f
(2)＝2，则f
(1)＝1；④当x>0时，恒有f
(x)<0，则函数f
(x)在R上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________．
①③ ①令x＝y＝0，则f
(0)＝f
(0)＋f
(0)，解得f
(0)＝0，①正确；
②令y＝－x，则f
(0)＝f
(x)＋f
(－x)＝0，
∴f
(－x)＝－f
(x)，
∴f
(x)是R上的奇函数，②错误；
③令x＝y＝1，则f
(2)＝f
(1)＋f
(1)＝2f
(1)＝2，
∴f
(1)＝1，③正确；
④设x1>x2，则x1－x2>0，
∴f
(x1－x2)＝f
(x1)＋f
(－x2)<0，
则f
(x1)<－f
(－x2)＝f
(x2)，
∴f
(x)在R上单调递减，④错误．
故正确结论的编号为①③．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．
证明：EF∥平面AB1D1．
[证明] 连接BC1(图略)，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，
又BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
∵EF?平面AB1D1，
AD1?平面AB1D1，
∴EF∥平面AB1D1．
21．(14分)已知函数f
(x)＝cos2－sin2－a，a∈R．
(1)求函数f
(x)的单调递增区间；
(2)若函数f
(x)在上有零点，求a的取值范围．
[解] (1)f
(x)＝cos2－sin2－a＝cos
x－a，
当2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z时，f
(x)单调递增，
∴函数f
(x)的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z．
(2)函数f
(x)在上有零点，
也就是cos
x＝a在上有解．
∵当－≤x≤时，cos
x∈．
∴a的取值范围是．
22．(14分)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值；
(2)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中恰好抽到2人的概率．
[解] (1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035．
(2)平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)；
设中位数为x，
则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，
故x≈42.1(岁)．即中位数为42.1．
(3)第1,2组的人数分别为20人，30人，
从第1,2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，
则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，
分别记为a1，a2，b1，b2，b3．
则从这5人中随机抽取3人，为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10个基本事件，第2组中恰好抽到2人的情况有6种，故从而第2组中恰好抽到2人的概率P＝＝0.6．
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