普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(一)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,3}，那么集合A∪B等于( )
A．{3}
B．{－1,1,2,3}
C．{－1,1}
D．{x|－1≤x≤3}
B A∪B＝{1,2,3}∪{－1,3}＝{－1,1,2,3}．
2．函数f
(x)＝的定义域是( )
A．{x|x>－2}
B．{x|x<－2}
C．{x|x≠－2}
D．{x|x≠2}
A x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．故选A．
3．现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是( )
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，
②随机数法
A ①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．故选A．
4．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝
C．y＝－x2＋4
D．y＝3－x
A 由题意得函数y＝sin
x在(0,1)上为增函数，函数y＝，y＝－x2＋4，y＝3－x在(0,1)上都为减函数．故选A．
5．若sin
αcos
α>0，cos
αtan
α<0，则α的终边落在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C sin
αcos
α>0，说明角α的终边在第一象限或第三象限；cos
αtan
α<0，说明角α的终边在第三象限或第四象限．综上，角α的终边在第三象限．故选C．
6．某校高二年级有50人参加2020“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为( )
分组
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频率
0.2
0.4
0.3
0.1
A．70 B．73 C．78 D．81.5
C 估计该校学生数学竞赛成绩的平均分＝65×0.2＋75×0.4＋85×0.3＋95×0.1＝78．故选C．
7．已知cos
α＝，α∈，则sin
2α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
A ∵cos
α＝，α∈，∴sin
α＝－．
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝－．故选A．
8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
C ∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3．故选C．
9．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则a＋b＝( )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(3，－1)
D．(－3,1)
A 因为a∥b，所以2×(－2)－x＝0，解得x＝－4．所以a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．
10．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第76个数的平均数
D．这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第74个数的平均数
C 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C．
11．复数＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
A ＝＝－1．
12．设f
(x)＝则f
(f
(2))的值为( )
A．
0 B．
1 C．2 D．3
B f
(2)＝log3(22－1)＝1，f
(f
(2))＝f
(1)＝21－1＝20＝1．
13．函数f
(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
C 函数f
(x)＝sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋，k∈Z．即x＝kπ＋，k∈Z．当k＝－1时，x＝－适合，故选C．
14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
C 选项A错误，只有当m∥β或m?β时，m∥l；选项B错误，只有当m⊥β时，m∥n；选项C正确，由于l?β，所以n⊥l；选项D错误，只有当m∥β或m?β时，m⊥n．
15．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A．或 B． C． D．
C 由＝，得sin
C＝．
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知函数f
(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是________．
[答案] 2
17．已知关于实数x的不等式2x2－bx＋c<0的解集为，则b＋c的值为________．
－2 ∵一元二次不等式2x2－bx＋c<0的解集是，
∴－1，是方程2x2－bx＋c＝0的两根．
由根与系数关系得
即b＝1，c＝－3．∴b＋c＝－2．
18．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1
200只做过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1
000只，其中做过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
12
000 设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12
000．
19．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
4 因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因为BC⊥AC，PA⊥BC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC．
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，
所以△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，综上所述，一共有4个直角三角形．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)已知函数f
(x)＝－cos．
(1)求函数f
(x)的最小值及取得最小值时x的值；
(2)求函数f
(x)的单调递减区间．
[解] (1)令2x－＝2kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
此时y＝cos取得最大值1，
所以f
(x)＝－cos的最小值为－1，此时x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f
(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
21．(14分)已知函数f
(x)＝(ax＋a－x)(a＞0且a≠1)．
(1)判断函数f
(x)的奇偶性；
(2)若函数f
(x)的图象过点，求f
(x)．
[解] (1)函数f
(x)＝(ax＋a－x)(a>0且a≠1)的定义域为(－∞，＋∞)，
则f
(－x)＝(a－x＋ax)＝(ax＋a－x)＝f
(x)，
则函数f
(x)为偶函数．
(2)若函数f
(x)的图象过点，
则f
(2)＝(a2＋a－2)＝，
即a2＋a－2＝，即a4－a2＋1＝0，
即9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝．
∵a＞0且a≠1，∴a＝3或a＝．
即f
(x)＝(3x＋3－x)．
22．(14分)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E?ABC的体积V．
[解] (1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD．
∴EF∥AD．
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G．
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，
BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝．
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE?ABC＝S△ABC·EG＝××＝．
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标准示范卷
(一)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,3}，那么集合A∪B等于( )
A．{3}
B．{－1,1,2,3}
C．{－1,1}
D．{x|－1≤x≤3}
2．函数f
(x)＝的定义域是( )
A．{x|x>－2}
B．{x|x<－2}
C．{x|x≠－2}
D．{x|x≠2}
3．现要完成下列2项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是( )
A．①抽签法，②分层随机抽样
B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法
D．①抽签法，
②随机数法
4．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝
C．y＝－x2＋4
D．y＝3－x
5．若sin
αcos
α>0，cos
αtan
α<0，则α的终边落在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．某校高二年级有50人参加2020“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为( )
分组
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频率
0.2
0.4
0.3
0.1
A．70 B．73 C．78 D．81.5
7．已知cos
α＝，α∈，则sin
2α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
9．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则a＋b＝( )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(3，－1)
D．(－3,1)
10．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第76个数的平均数
D．这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第74个数的平均数
11．复数＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
12．设f
(x)＝则f
(f
(2))的值为( )
A．
0 B．
1 C．2 D．3
13．函数f
(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
15．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A．或 B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知函数f
(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是________．
17．已知关于实数x的不等式2x2－bx＋c<0的解集为，则b＋c的值为________．
18．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1
200只做过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1
000只，其中做过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
19．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)已知函数f
(x)＝－cos．
(1)求函数f
(x)的最小值及取得最小值时x的值；
(2)求函数f
(x)的单调递减区间．
21．(14分)已知函数f
(x)＝(ax＋a－x)(a＞0且a≠1)．
(1)判断函数f
(x)的奇偶性；
(2)若函数f
(x)的图象过点，求f
(x)．
22．(14分)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E?ABC的体积V．
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