普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(二)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x2－3＜0}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{1,2,3,4}
2．下列运算错误的是( )
A．a3＋a3＝2a6
B．a6÷a－3＝a9
C．a3·a3＝a6
D．(－2a2)3＝－8a6
3．若sin
2α>0，则( )
A．cos
α>0 B．tan
α>0 C．sin
α>0 D．cos
2α>0
4．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )
A．＋＝
B．－＝
C．＋＝
D．＋＝
5．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A．0.2 B．0.35 C．0.5 D．0.4
7．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝3x2＋1
C．y＝
D．y＝2x2＋x＋1
8．正方体ABCD
?A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB1
9．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为( )
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万元
10．“x>1”是“logeq
\s\do10()(x＋2)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
11．若函数f
(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ可取一个值为( )
A．－π B．－ C． D．2π
12．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B． C． D．
13．幂函数y＝f
(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f
(x)的图象是( )
14．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos
B等于( )
A． B． C． D．
15．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任何两个均互斥
D．任何两个均不互斥
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
17．函数f
(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间上是减函数，则实数a的取值范围是________．
18．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c2＝(a＋b)2－4，C＝，则△ABC的面积为________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)某班有男生27名，女生18名．用分层随机抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动．
(1)求从该班男生、女生中分别抽取的人数；
(2)为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率．
21．(14分)已知函数f
(x)＝sin
2x－cos
2x．
(1)求函数f
(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f
(x)的单调递减区间．
22．(14分)已知Rt△ABC的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN．
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标准示范卷
(二)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x2－3＜0}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{1,2,3,4}
A A∩B＝{1,2,3,4}∩{x|x2－3<0}＝{1,2,3,4}∩{x|－2．下列运算错误的是( )
A．a3＋a3＝2a6
B．a6÷a－3＝a9
C．a3·a3＝a6
D．(－2a2)3＝－8a6
A 选项A中a3＋a3＝2a3，故选A．
3．若sin
2α>0，则( )
A．cos
α>0 B．tan
α>0 C．sin
α>0 D．cos
2α>0
B 因为sin
2α>0，故sin
αcos
α>0?tan
α>0．故选B．
4．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )
A．＋＝
B．－＝
C．＋＝
D．＋＝
D 根据向量的运算法则可得＋＝，所以A错误；
根据向量的运算法则可得－＝，所以B错误；
因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以＋＝
错误，所以C错误；
根据三角形法则可得＋＝正确，所以D正确．故选D．
5．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C ＝－3－2i，在复平面内对应的点(－3，－2)，位于第三象限．
6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A．0.2 B．0.35 C．0.5 D．0.4
B ∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35．
7．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝3x2＋1
C．y＝
D．y＝2x2＋x＋1
C 根据一次函数的性质可得y＝2x＋1在区间(0，＋∞)上是增函数，故排除A．
根据二次函数的性质可得函数y＝3x2＋1
在区间(0，＋∞)上是增函数，故排除B．
根据反比例函数的性质可得y＝在区间(0，＋∞)上是减函数，故满足条件．
根据二次函数的性质可得函数y＝2x2＋x＋1
在区间(0，＋∞)上是增函数，故排除D．故选C．
8．正方体ABCD
?A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB1
D 正方体ABCD?A1B1C1D1中，
AD1与平面DD1C1C相交但不垂直，故A错误．
AD1与平面A1DB相交但不垂直，故B错误．
AD1与平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C错误．
AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，
∴AD1⊥平面A1DB1，故D正确．
故选D．
9．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为( )
A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万元
C 由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4，所以11时至12时的销售额为3×4＝12．
故选C．
10．“x>1”是“logeq
\s\do10()(x＋2)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A 当x>1时，x＋2>3>1，又因为y＝logeq
\s\do10()x是(0，＋∞)上的减函数，所以logeq
\s\do10()(x＋2)\s\do10()1＝0，则x>1?logeq
\s\do10()(x＋2)<0；
当logeq
\s\do10()(x＋2)<0时，x＋2>1，
即x>－1，则logeq
\s\do10()(x＋2)<0x>1．
故“x>1”是“logeq
\s\do10()(x＋2)<0”的充分不必要条件．故选A．
11．若函数f
(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ可取一个值为( )
A．－π B．－ C． D．2π
B ∵函数f
(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，
∴f
(－x)＝f
(x)，
即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)．
∴－x＋φ＝x＋φ＋2kπ或－x＋φ＋x＋φ＝π＋2kπ，k∈Z．
当－x＋φ＝x＋φ＋2kπ时，可得x＝－kπ，不满足函数定义；
当－x＋φ＋x＋φ＝π＋2kπ时，φ＝kπ＋，k∈Z．
结合选项可得B为正确答案．故选B．
12．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B． C． D．
D ∵a>0，b>0，a＋2b＝5，
∴ab＝a·2b≤×＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
13．幂函数y＝f
(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f
(x)的图象是( )
C 令f
(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝．
∴f
(x)＝xeq
\s\up12()，
则f
(x)的图象如选项C所示．
14．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos
B等于( )
A． B． C． D．
B 由正弦定理，得＝，
∴a＝b可化为＝．
又A＝2B，∴＝．∴cos
B＝．
15．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任何两个均互斥
D．任何两个均不互斥
B 因为事件B是表示“三件产品全是次品”，事件C是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的．故选B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2 |a＋2b|＝
＝
＝＝2．
17．函数f
(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间上是减函数，则实数a的取值范围是________．
[2，＋∞) 函数f
(x)图象的对称轴为直线x＝a－1．因为f
(x)在区间上是减函数，所以a－1≥1，解得a≥2．
18．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．
2π 设圆柱的高为h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为D，h＝D．
∵圆柱的侧面积是4π，∴πDh＝D2π＝4π，∴D＝2，∴圆柱的底面半径为1，圆柱的体积为π×12×2＝2π．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c2＝(a＋b)2－4，C＝，则△ABC的面积为________．
由余弦定理可知a2＋b2－c2＝2abcos
C＝－ab，所以由c2＝(a＋b)2－4得ab＝4，故S△ABC＝absin
C＝×4×＝．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)某班有男生27名，女生18名．用分层随机抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动．
(1)求从该班男生、女生中分别抽取的人数；
(2)为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率．
[解] (1)抽样比为＝，
那么从该班男生中抽取×27＝3(人)，
从该班女生中抽取×18＝2(人)．
(2)记3名男生用A，B，C代表，2名女生用a，b代表，
从这5名学生中随机抽取2名，共有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种抽取方法，两人均为女生的事件只有一种(a，b)．
故2名学生均为女生的概率P＝．
21．(14分)已知函数f
(x)＝sin
2x－cos
2x．
(1)求函数f
(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f
(x)的单调递减区间．
[解] (1)f
(x)＝2
＝2sin．
∵ω＝2，
∴T＝＝π．
∴函数f
(x)的最小正周期为π．
∵－1≤sin≤1，
即－2≤2sin≤2，
则f
(x)的最大值为2．
(2)令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f
(x)的单调递减区间为，k∈Z．
22．(14分)已知Rt△ABC的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN．
证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，
∴BC⊥AC，
又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．
(2)由(1)知BC⊥平面PAC，
∵AN?平面PAC，∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AN⊥平面PBC．又PB?平面PBC，
∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN＝A，
∴PB⊥平面AMN．
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