普
通
高
中
学
业
水
平
合
格
性
考
试
标准示范卷
(三)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A．{1,3}
B．{2,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．?
A ∵集合A＝，B＝，
∴A∩B＝．故选A．
2．cos
210°＝( )
A．－ B． C．－ D．
A cos
210°＝cos(180°＋30°)＝－cos
30°
＝－．
3．若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
D 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i．
4．函数f
(x)＝sin是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
D 函数f
(x)＝sin＝cos
4x，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为＝．故选D．
5．设函数f
(x)＝若f
(a)＝4，则实数a的值为( )
A．±2或±4
B．±2或－4
C．2或4
D．2或－4
D 当a>0时，f
(a)＝a2＝4，得a＝2(舍去－2)；当a≤0时，f
(a)＝－a＝4，得a＝－4．综上，a＝2或a＝－4．故选D．
6．把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上都不对
C 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
7．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于( )
A． B． C． D．
A 由a＝b＋c，可知c＝a－b，
故c2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝．
设a，b的夹角为θ，即cos
θ＝．
又0≤θ≤π，∴θ＝．
8．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF，HG交于一点P，则( )
A．点P一定在直线BD上
B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上
D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
B 如图，∵P∈HG，HG?平面ACD，
∴P∈平面ACD．
同理，P∈平面BAC．
∵平面BAC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC．故选B．
9．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64
B．54
C．48
D．27
B 前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16．
因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38．
所以第三组频数为38－16＝22．又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32．所以a＝22＋32＝54．故选B．
10．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
D 因为＋＝1(x＞0，y＞0)，所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝18．当且仅当＝，即x＝6，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值为18．
11．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85,85,85
B．87,85,86
C．87,85,85
D．87,85,90
C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为×(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87．
12．将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )
A．8 B．2 C．2 D．
C 8个半径为1的实心铁球的体积为
8×π＝π，
设熔成的大球半径为R，
则πR3＝π，
解得R＝2．故选C．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc．若sin
B·sin
C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
C 由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝，又由sin
B·sin
C＝sin2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形．
14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则p等于( )
A． B． C． D．
C 设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p，依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝，故选C．
15．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝5，AD＝3，点E由B沿折线B－C－D向点D移动，EM⊥AB，垂足为M，EN⊥AD，垂足为N，设MB＝x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x的函数关系图象大致是( )
A
B
C
D
A ∵EM⊥AB，∠B＝45°，∴EM＝MB＝x，AM＝5－x．当点E在BC上运动时，即当0
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f
(x)的图象上，则f
(3)＝________．
27 由题意得定点A为(2,8)，设f
(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f
(x)＝x3，∴f
(3)＝33＝27．
17．设α∈，若sin
α＝，则cos的值为________．
∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝，
cos＝cos
αcos－sin
αsin＝．
18．已知底面边长为1、侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝．
19．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是____________，三人中至少有一人达标的概率是____________．
0.24 0.96 由题意可知，三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)已知a，b为两个非零向量，且＝2，＝1，⊥b．
(1)求a与b的夹角；
(2)求．
[解] (1)∵⊥b，∴·b＝0，
即a·b＋b2＝0，
∴cos
θ＋2＝0，
解得cos
θ＝－．∴θ＝．
(2)
2＝2＝9a2－12a·b＋4b2＝52，∴＝2．
21．(14分)如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
(1)求证：FG∥平面PBD；
(2)求证：BD⊥FG．
[证明] (1)连接PE(图略)，∵G，F分别为EC和PC的中点，∴FG∥PE．又FG?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD．
(2)∵菱形ABCD，∴BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC．∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG．
22．(14分)已知二次函数f
(x)的最小值为1，且f
(0)＝f
(2)＝3．
(1)求f
(x)的解析式；
(2)若f
(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围．
[解] (1)由已知f
(x)是二次函数，且f
(0)＝f
(2)得f
(x)图象的对称轴为x＝1．
又f
(x)的最小值为1，故设f
(x)＝a(x－1)2＋1，且a>0．
∵f
(0)＝3，∴a＋1＝3，解得a＝2．
∴f
(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3．
(2)要使f
(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，则2a<17/7普
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格
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考
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标准示范卷
(三)
(时间90分钟，总分150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A．{1,3}
B．{2,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．?
2．cos
210°＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
4．函数f
(x)＝sin是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
5．设函数f
(x)＝若f
(a)＝4，则实数a的值为( )
A．±2或±4
B．±2或－4
C．2或4
D．2或－4
6．把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上都不对
7．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于( )
A． B． C． D．
8．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF，HG交于一点P，则( )
A．点P一定在直线BD上
B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上
D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
9．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64
B．54
C．48
D．27
10．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
11．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85,85,85
B．87,85,86
C．87,85,85
D．87,85,90
12．将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )
A．8 B．2 C．2 D．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc．若sin
B·sin
C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则p等于( )
A． B． C． D．
15．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝5，AD＝3，点E由B沿折线B－C－D向点D移动，EM⊥AB，垂足为M，EN⊥AD，垂足为N，设MB＝x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x的函数关系图象大致是( )
A
B
C
D
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
16．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f
(x)的图象上，则f
(3)＝________．
17．设α∈，若sin
α＝，则cos的值为________．
18．已知底面边长为1、侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
19．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是____________，三人中至少有一人达标的概率是____________．
三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)已知a，b为两个非零向量，且＝2，＝1，⊥b．
(1)求a与b的夹角；
(2)求．
21．(14分)如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
(1)求证：FG∥平面PBD；
(2)求证：BD⊥FG．
22．(14分)已知二次函数f
(x)的最小值为1，且f
(0)＝f
(2)＝3．
(1)求f
(x)的解析式；
(2)若f
(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围．
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