考点过关练18 总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计
考试要求
1．
结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义；2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．
[题组冲关]
题组一 百分位数的计算
1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( )
A．14
B．17
C．19
D．23
2．下列一组数据的第25百分位数是( )
2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6．
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
3．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：
甲组：27,28,39,40，m,50；乙组：24，n,34,43,48,52；
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于( )
A． B． C． D．
4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
5．从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5，9.9，7.8,8.3,8.0
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
题组二 平均数、中位数、众数的计算及应用
6．一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为
( )
A．14,14 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5
7．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( )
A．4.55 B．4.50 C．12.50 D．1.64
8．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：
①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确的结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
10．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
职位
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
周收入
3
000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
人数
1
1
1
1
1
1
1
(1)计算所有人员的周平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
题组三 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
11．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
12．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如图所示，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为________h．
13．从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．
试利用频率分布直方图估计：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
[核心精要]
一、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
学习心得：_____________________________________________________
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二、众数、中位数和平均数的定义
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
3．平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
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三、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线
平均数
①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
学习心得：_____________________________________________________
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7/7考点过关练18 总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计
考试要求
1．
结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义；2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．
[题组冲关]
题组一 百分位数的计算
1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( )
A．14
B．17
C．19
D．23
D 因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第6个数据23．
2．下列一组数据的第25百分位数是( )
2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6．
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
A 把该组数据按照由小到大排列，可得：
2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．
3．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：
甲组：27,28,39,40，m,50；乙组：24，n,34,43,48,52；
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于( )
A． B． C． D．
A 因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8，所以乙组的第30百分位数为n＝28，甲组的第80百分位数为m＝48，所以＝＝．
4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
样本数据低于10的比例为0.08
＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40
＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝．
5．从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5，9.9，7.8,8.3,8.0
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4，8.5，8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9．
因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
则第25百分位数是＝8.15，
第75百分位数是＝8.75，
第95百分位数是第12个数据，为9.9．
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9．
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15
g，第50百分位数为8.5
g,
第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15
g的珍珠为次品，质量大于8.15
g且小于或等于8.5
g的珍珠为合格品，质量大于8.5
g且小于等于9.9
g的珍珠为优等品，质量大于9.9
g的珍珠为特优品．
题组二 平均数、中位数、众数的计算及应用
6．一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为
( )
A．14,14 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5
A 把这组数据按从小到大排列为10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14．
7．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( )
A．4.55 B．4.50 C．12.50 D．1.64
A 由条件得＝×(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55．
8．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：
①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确的结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A 在这11个数中，数据3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数＝＝4．故只有①正确．
9．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
85 由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分)．
10．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
职位
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
周收入
3
000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
人数
1
1
1
1
1
1
1
(1)计算所有人员的周平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
[解] (1)周平均收入1＝×(3
000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．
(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
(3)去掉老板的收入后的周平均收入2＝×(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．
这能代表打工人员的周收入水平．
题组三 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
11．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
C 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内．设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25．∴中位数为26.25．故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5．故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80．故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.02×5＝0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40．故D错误．故选C．
12．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如图所示，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为________h．
0.9 由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为＝0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9
h．
13．从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．
试利用频率分布直方图估计：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
[解] (1)最高矩形的高是0.03，其底边中点是＝75，
则这50名学生成绩的众数估计是75分．
频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的面积和分别是(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3<0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6>0.5，设中位数是m，则70(2)每个小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标的和为0.004×10×＋0.006×10×＋0.02×10×＋0.03×10×＋0.024×10×＋0.016×10×＝76.2，
即这50名学生的平均成绩约是76.2分．
[核心精要]
一、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
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二、众数、中位数和平均数的定义
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
3．平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
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三、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线
平均数
①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
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