考点过关练19 总体离散程度的估计
考试要求
1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差)；2．理解离散程度参数的统计含义．
[题组冲关]
题组一 方差和标准差的计算
1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1 B．
C． D．2
B ∵样本容量n＝5，∴＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3．
∴s＝
＝．
2．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A．，s2＋1002
B．＋100，s2＋1002
C．，s2
D．＋100，s2
D ＝
＝＋100＝＋100，
s′2＝[(x1＋100－)2＋(x2＋100－)2＋…＋(x10＋100－)2]＝s2．故选D．
3．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则( )
A．＝4，s2<2
B．＝4，s2>2
C．>4，s2<2
D．>4，s2>2
A ∵某7个数的平均数为4，
∴这7个数的和为4×7＝28．
∵加入一个新数据4，∴＝＝4．
又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，
∴这8个数的方差s2＝＝<2．故选A．
4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
0.1 易求＝×(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，
∴方差s2＝×[(－0.4)2＋(－0.3)2＋02＋0.32＋0.42]＝0.1．
5．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
2 甲＝×(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
乙＝×(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
s＝×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2．
题组二 分层随机抽样的方差
6．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，
则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6．
7．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2021年8月份调查得知该省所有二、三、四线城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市房价的方差为________．
118.52 设二线城市的房价的方差为s2，
由题意可知20＝×[s2＋(1.2－2.4)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(1.2－0.8)2]．
解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52．
8．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60
kg，方差为200，乙队体重的平均数为70
kg，方差为300．又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
[解] 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68
kg，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296．
题组三 样本数据特征的综合应用
9．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知( )
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
A 因为甲＝乙且s所以甲更稳定．
10．甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[解] (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
11．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：
(1)请填写下表(写出计算过程)：
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
[解] 由题图，知
甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7．
将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9．
乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10．
将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10．
(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，
乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4．
填表如下：
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
1
乙
7
5.4
3
(2)①∵平均数相同，s＜s，∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．
③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．
[核心精要]
一、一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
(1)方差：数据x1，x2，…，xn的方差为(xi－)2＝－2．
(2)标准差：．
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二、计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，s，s．
(2)确定．
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]．
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三、数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
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7/7考点过关练19 总体离散程度的估计
考试要求
1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差)；2．理解离散程度参数的统计含义．
[题组冲关]
题组一 方差和标准差的计算
1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1 B．
C． D．2
2．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A．，s2＋1002
B．＋100，s2＋1002
C．，s2
D．＋100，s2
3．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则( )
A．＝4，s2<2
B．＝4，s2>2
C．>4，s2<2
D．>4，s2>2
4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
5．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
题组二 分层随机抽样的方差
6．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
7．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2021年8月份调查得知该省所有二、三、四线城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市房价的方差为________．
8．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60
kg，方差为200，乙队体重的平均数为70
kg，方差为300．又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
题组三 样本数据特征的综合应用
9．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知( )
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
10．甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
11．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：
(1)请填写下表(写出计算过程)：
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
[核心精要]
一、一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
(1)方差：数据x1，x2，…，xn的方差为(xi－)2＝－2．
(2)标准差：．
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二、计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，s，s．
(2)确定．
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]．
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三、数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
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