考点过关练7 函数的应用
考试要求
1．
结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系；2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；3．会利用函数知识解决实际应用问题．
[题组冲关]
题组一 函数的零点问题
1．函数y＝x2－4x＋3的零点是( )
A．1,3
B．－1,3
C．1，－3
D．－1，－3
2．函数f
(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数f
(x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数f
(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B． C． D．
5．函数f
(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
6．函数f
(x)＝ax2＋bx＋c，若f
(1)＞0，f
(2)＜0，则f
(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个
B．有一个或两个
C．有且仅有一个
D．一个也没有
7．若函数f
(x)＝ax＋1－2a的零点是1，则a＝________．
8．函数f
(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
题组二 二分法及应用
9．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
10．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f
(x)＝x3－1
B．f
(x)＝ln
x＋3
C．f
(x)＝x2＋2x＋2
D．f
(x)＝－x2＋4x－1
11．用二分法研究函数f
(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f
(0)<0，f
(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f
(0.25)
B．(0,1)，f
(0.25)
C．(0.5,1)，f
(0.75)
D．(0,0.5)，f
(0.125)
12．用二分法求函数y＝f
(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f
(2)·f
(4)＜0．取区间的中点x1＝＝3，计算得f
(2)·f
(x1)＜0，则此时零点x0∈______(填区间)．
题组三 函数的实际应用
13．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
14．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司连续5天监测到的数据：
第x天
1
2
3
4
5
被感染的计算机数量y/台
10
20
39
81
160
则下列函数模型中，能较好地反映y与x之间的关系的是( )
A．y＝5×2x
B．y＝5x2－5x＋10
C．y＝10log2x＋10
D．y＝10x
15．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________．
16．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8
000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
17．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f
(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f
(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：
f
(t)＝
(1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5
min与讲课开始后25
min比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24
min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？
[核心精要]
一、判断函数零点个数的常用方法
1．通过解方程来判断．
2．根据零点存在定理，结合函数性质来判断．
3．将函数y＝f
(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f
(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．
学习心得：_____________________________________________________
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二、用二分法求方程的近似解应明确两点
1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f
(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
2．对于求形如f
(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f
(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
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三、解函数应用问题的步骤
1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
3．解模：求解数学模型，得出数学结论．
4．还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
学习心得：_____________________________________________________
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7/7考点过关练7 函数的应用
考试要求
1．
结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系；2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；3．会利用函数知识解决实际应用问题．
[题组冲关]
题组一 函数的零点问题
1．函数y＝x2－4x＋3的零点是( )
A．1,3
B．－1,3
C．1，－3
D．－1，－3
A 由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3．
故函数y＝x2－4x＋3的零点为1,3．
2．函数f
(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C 由(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2，故f
(x)的零点有3个．
3．函数f
(x)＝log2x的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A 令f
(x)＝log2x＝0，解得x＝1．
4．函数f
(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B． C． D．
B 由f
(x)＝2x－，得f
＝2eq
\s\up12()－2＜0，
f
(1)＝2－1＝1＞0，∴f
·f
(1)＜0．
∴零点所在区间为．
5．函数f
(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
C 法一：∵f
(0)＝－1<0，f
(1)＝e－1>0，∴f
(x)在(0,1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
6．函数f
(x)＝ax2＋bx＋c，若f
(1)＞0，f
(2)＜0，则f
(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个
B．有一个或两个
C．有且仅有一个
D．一个也没有
C 若a＝0，则f
(x)＝bx＋c是一次函数，由f
(1)·f
(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f
(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则必有f
(1)·f
(2)＞0，与已知矛盾．
7．若函数f
(x)＝ax＋1－2a的零点是1，则a＝________．
1 依题意得f
(1)＝0，即a＋1－2a＝0，解得a＝1．
8．函数f
(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
3 作出g(x)与f
(x)的图象如图，由图知f
(x)与g(x)有3个交点．
题组二 二分法及应用
9．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
A 只有选项A中的图象满足零点存在定理的条件，可用二分法求其零点．
10．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f
(x)＝x3－1
B．f
(x)＝ln
x＋3
C．f
(x)＝x2＋2x＋2
D．f
(x)＝－x2＋4x－1
C 因为f
(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
11．用二分法研究函数f
(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f
(0)<0，f
(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f
(0.25)
B．(0,1)，f
(0.25)
C．(0.5,1)，f
(0.75)
D．(0,0.5)，f
(0.125)
A 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f
(0)<0，f
(0.5)>0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0更准确的位置．故选A．
12．用二分法求函数y＝f
(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f
(2)·f
(4)＜0．取区间的中点x1＝＝3，计算得f
(2)·f
(x1)＜0，则此时零点x0∈______(填区间)．
(2,3) 因为f
(2)·f
(3)＜0，所以零点在(2,3)内．
题组三 函数的实际应用
13．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
D 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7．故选D．
14．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司连续5天监测到的数据：
第x天
1
2
3
4
5
被感染的计算机数量y/台
10
20
39
81
160
则下列函数模型中，能较好地反映y与x之间的关系的是( )
A．y＝5×2x
B．y＝5x2－5x＋10
C．y＝10log2x＋10
D．y＝10x
A 从题中表格可以看出，变量y随x的增大而增大，且y的增长速度非常快，明显呈指数型增长，故选A．
15．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________．
y＝6.4(1＋a)x 25% 经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x．
由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，故a＝＝25%．
16．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8
000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[解] 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8
000＝－＋88x－8
000
＝－(x－220)2＋1
680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，R(x)max＝－(210－220)2＋1
680＝1
660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1
660万元．
17．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f
(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f
(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：
f
(t)＝
(1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5
min与讲课开始后25
min比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24
min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？
[解] (1)当0＜t≤10时，f
(t)＝－t2＋24t＋100是增函数；
当20＜t≤40时，f
(t)＝－7t＋380是减函数，且f
(10)＝f
(20)＝240，所以讲课开始10
min，学生的注意力最集中，能持续10
min．
(2)因为f
(5)＝195，f
(25)＝205，
所以讲课开始后25
min比讲课开始后5
min学生的注意力更集中．
(3)当0＜t≤10时，令f
(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4；
当20＜t≤40时，令f
(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57．
又28.57－4＝24.57＞24，
所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目．
[核心精要]
一、判断函数零点个数的常用方法
1．通过解方程来判断．
2．根据零点存在定理，结合函数性质来判断．
3．将函数y＝f
(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f
(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．
学习心得：_____________________________________________________
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二、用二分法求方程的近似解应明确两点
1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f
(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
2．对于求形如f
(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f
(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
学习心得：_____________________________________________________
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三、解函数应用问题的步骤
1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
3．解模：求解数学模型，得出数学结论．
4．还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
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7/7
