考点过关练9 三角函数的图象与性质
考试要求
1．能作出y＝sin
x的图象，并由图象得到其性质；2．能根据正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式求出其单调区间、周期、最值、对称性等性质；3．根据正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象能确定A，ω，φ的值．
[题组冲关]
题组一 三角函数的图象与性质
1．函数f
(x)＝2sin
x－1的最大值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数f
(x)＝sin
x在下列哪个区间内是单调递增的？( )
A．
B．
C．
D．
3．设函数f
(x)＝cos
x＋bsin
x(b为常数)，则“b＝0”是“f
(x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数y＝cos
2x的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
题组二 正弦型三角函数的图象与性质
5．函数f
(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是( )
A． B．π C．2π D．4π
6．函数y＝sin图象的对称轴可以是( )
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
7．函数y＝sin的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
8．函数f
(x)＝sin，则下列关于函数f
(x)的说法中正确的是( )
A．f
(x)是偶函数
B．f
(x)的最小正周期为2π
C．f
(x)的图象关于直线x＝－对称
D．f
(x)的图象关于点对称
9．函数y＝sin，x∈的值域是( )
A． B． C． D．
10．已知函数f
＝2sin＋m的最小值为1．
(1)求m的值；
(2)求函数f
的最小正周期和单调递增区间．
题组三 利用三角函数的图象确定解析式
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
12．将函数y＝cos
2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )
A．y＝sin
2x
B．y＝sin
2x＋2
C．y＝cos
2x
D．y＝cos
13．已知函数f
＝Asin的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间距离为，且图象上一个最低点为M．
(1)求f
的解析式；
(2)当x∈时，求f
的值域．
[核心精要]
一、三角函数的图象与性质
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1
无
周期性
T＝2π
T＝2π
T＝π
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称轴方程：x＝kπ＋，k∈Z；对称中心：(kπ，0)，k∈Z
对称轴方程：x＝kπ，k∈Z；对称中心：，k∈Z
无对称轴；对称中心：，k∈Z
二、正弦型三角函数的图象与性质
1．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)有：振幅A，周期T＝．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(A，ω，φ为常数，且A≠0)的周期T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)，x≠kπ＋，k∈Z(A，ω，φ为常数，且A≠0)的周期T＝．
3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴与对称中心，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)与ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解出x即可．余弦函数与正弦函数类比可得．
学习心得：_____________________________________________________
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三、利用三角函数的图象确定解析式
由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式，
利用图象特征：A＝，B＝，
ω要根据周期来求，φ要用图象的关键点来求．
学习心得：_____________________________________________________
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8/8考点过关练9 三角函数的图象与性质
考试要求
1．能作出y＝sin
x的图象，并由图象得到其性质；2．能根据正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式求出其单调区间、周期、最值、对称性等性质；3．根据正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象能确定A，ω，φ的值．
[题组冲关]
题组一 三角函数的图象与性质
1．函数f
(x)＝2sin
x－1的最大值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B 因为－1≤sin
x≤1，所以－3≤2sin
x－1≤1，即f
(x)＝2sin
x－1的最大值为1．
2．函数f
(x)＝sin
x在下列哪个区间内是单调递增的？( )
A．
B．
C．
D．
C 由正弦函数f
(x)＝sin
x的图象可知f
(x)在上单调递增．
3．设函数f
(x)＝cos
x＋bsin
x(b为常数)，则“b＝0”是“f
(x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C b＝0时，f
(x)＝cos
x，显然f
(x)是偶函数，故“b＝0”是“f
(x)是偶函数”的充分条件；f
(x)是偶函数，则有f
(－x)＝f
(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos
x＋bsin
x，又cos(－x)＝cos
x，sin(－x)＝－sin
x，所以cos
x－bsin
x＝cos
x＋bsin
x，则2bsin
x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f
(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f
(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C．
4．函数y＝cos
2x的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
B 由周期函数公式知T＝＝π．
题组二 正弦型三角函数的图象与性质
5．函数f
(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是( )
A． B．π C．2π D．4π
D 函数f
(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是T＝＝＝4π．故选D．
6．函数y＝sin图象的对称轴可以是( )
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
D 令2x＋＝＋kπ，∴x＝＋(k∈Z)．当k＝0时为D选项．故选D．
7．函数y＝sin的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
A 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ－≤x≤kπ＋，故函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z，故选A．
8．函数f
(x)＝sin，则下列关于函数f
(x)的说法中正确的是( )
A．f
(x)是偶函数
B．f
(x)的最小正周期为2π
C．f
(x)的图象关于直线x＝－对称
D．f
(x)的图象关于点对称
D ∵函数f
(x)＝sin，显然它不是偶函数，故排除A；
由于它的最小正周期为＝π，故排除B；
当x＝－时，函数f
(x)＝sin＝0，不是最值，故函数的图象关于直线x＝－不对称，f
(x)图象关于点对称，排除C．故选D．
9．函数y＝sin，x∈的值域是( )
A． B． C． D．
D 由0≤x≤，得≤x＋≤，
所以≤sin≤1，故选D．
10．已知函数f
＝2sin＋m的最小值为1．
(1)求m的值；
(2)求函数f
的最小正周期和单调递增区间．
[解] (1)由已知得－2＋m＝1，解得m＝3．
(2)f
的最小正周期为π．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
所以f
的递增区间是
．
题组三 利用三角函数的图象确定解析式
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
A 由题意可知A＝2，
T＝2＝π，
所以ω＝＝2，
故y＝2sin(2x＋φ)，
将代入上式得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z．
又因为0≤φ≤π，
所以φ＝，故选A．
12．将函数y＝cos
2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )
A．y＝sin
2x
B．y＝sin
2x＋2
C．y＝cos
2x
D．y＝cos
A 将函数y＝cos
2x＋1的图象向右平移个单位得到y＝cos
2＋1＝sin
2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin
2x，故选A．
13．已知函数f
＝Asin的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间距离为，且图象上一个最低点为M．
(1)求f
的解析式；
(2)当x∈时，求f
的值域．
[解] (1)由函数最低点为M得A＝2，
由x轴上相邻两个交点之间距离为，
得＝，即T＝π，所以ω＝＝2．
又因为M在图象上，
得2sin＝－2，
即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
所以φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，所以φ＝．
故f
(x)＝2sin．
(2)因为x∈，
所以2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f
(x)取最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f
(x)取最小值－1．
故f
(x)的值域为[－1,2]．
[核心精要]
一、三角函数的图象与性质
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1
无
周期性
T＝2π
T＝2π
T＝π
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称轴方程：x＝kπ＋，k∈Z；对称中心：(kπ，0)，k∈Z
对称轴方程：x＝kπ，k∈Z；对称中心：，k∈Z
无对称轴；对称中心：，k∈Z
二、正弦型三角函数的图象与性质
1．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)有：振幅A，周期T＝．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(A，ω，φ为常数，且A≠0)的周期T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)，x≠kπ＋，k∈Z(A，ω，φ为常数，且A≠0)的周期T＝．
3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴与对称中心，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)与ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解出x即可．余弦函数与正弦函数类比可得．
学习心得：_____________________________________________________
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三、利用三角函数的图象确定解析式
由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式，
利用图象特征：A＝，B＝，
ω要根据周期来求，φ要用图象的关键点来求．
学习心得：_____________________________________________________
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8/8
