考点过关练8 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
考试要求
1．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；3．掌握同角三角函数的两个基本关系式；4．灵活运用诱导公式进行三角函数的化简、求值．
[题组冲关]
题组一 弧度制的定义与公式
1．下列命题正确的是( )
A．第一象限角是锐角
B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等
D．不相等的角，它们终边必不相同
B 由任意角和象限角的定义易知锐角是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，故A不对，因为终边相同的角相差2kπ，k∈Z，故C、D不对，只有选项B是正确的．
2．已知α＝，则角α的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
C α＝＝π＋∈，所以α的终边在第三象限．
3．已知扇形的圆心角为，半径等于20，则扇形的弧长为________．
4π ∵扇形的圆心角为，半径等于20，
∴扇形的弧长l＝αR＝20×＝4π．
4．若一个扇形的圆心角为60°，弧长为4，则扇形的面积是________．
∵α＝，l＝4，得R＝＝，∴S＝lR＝．
题组二 任意角的三角函数
5．若角θ的终边过点，则sin
θ等于( )
A． B．－ C．－ D．
C sin
θ＝＝eq
\f(－\f(\r(3),2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))))＝－．
6．角α的终边过点(－3,4)，则cos
α＋tan
α＝( )
A．－ B．－ C．－ D．
C 因为α的终边过点(－3,4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5，所以cos
α＝＝－，tan
α＝＝－，故cos
α＋tan
α＝－－＝－．
7．若－<α<0，则点(tan
α，cos
α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B 由－<α<0知α为第四象限角，则tan
α<0，cos
α>0，
点(tan
α，cos
α)在第二象限．
8．若点P在角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．
点P在角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则有tan＝－tan＝－＝，∴y＝．
题组三 同角三角函数的基本关系式
9．设θ∈，若sin
θ＝，则cos
θ＝( )
A． B． C． D．
D ∵θ∈，sin
θ＝，则cos
θ＝＝＝．故选D．
10．α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝( )
A． B．－ C． D．－
B α是第四象限角，则cos
α＝＝，
∴sin
α＝tan
α·cos
α＝－×＝－．故选B．
11．设α为第二象限角，则·＝( )
A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1
D ·＝·，
∵α为第二象限角，∴cos
α<0，sin
α>0．
∴原式＝·＝·＝－1．
12．已知tan
α＝2，则＝________．
1 ＝＝1．
13．设α是第三象限角，则cos
α·＝________．
－1 ∵α是第三象限角，可得cos
α＜0，
∴cos
α·＝－．
∵cos2α＋cos2αtan2α＝cos2α＋sin2α＝1．
∴cos
α·＝－1．
题组四 应用诱导公式化简、求值
14．sin
＝( )
A． B．－ C． D．－
B sin
＝sin＝－sin
＝－．
15．cos＝( )
A．cos
x B．－cos
x C．sin
x D．－sin
x
B 由诱导公式得cos＝－cos
x．
故选B．
16．若sin
α＝，则cos＝________．
－ ∵sin
α＝，
∴cos＝－sin
α＝－．
17．已知＝，求cos值．
[解] 由＝，
得＝，即sin
α＝－．
∴cos＝－sin
α＝．
18．求下列各式的值．
(1)sin(－1
200°)·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)；
(2)设f
(α)＝(1＋2sin
α≠0)，求f
的值．
[解] (1)原式＝－sin
1
200°cos
1
290°－cos
1
020°sin
1
050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin
120°cos
210°－cos
300°sin
330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°)＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝×＋×＝1．
(2)∵f
(α)＝＝＝＝，
∴f
＝＝＝＝．
[核心精要]
一、弧度制的定义与公式
1．把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2．弧度制与角度制的转换：1
rad＝，1°＝
rad．
3．弧长公式：l＝＝αR．
4．扇形面积公式：S＝＝lR．
学习心得：_____________________________________________________
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二、任意角的三角函数
1．设点A(x，y)为角α终边上任意一点，那么(设r＝)
sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝．
2．设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝．
3．sin
α、cos
α、tan
α的符号取决于角α所在象限，第一象限三个三角函数全为正，第二象限只有sin
α为正，第三象限只有tan
α为正，第四象限只有cos
α为正．
学习心得：_____________________________________________________
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三、同角三角函数的基本关系式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan
α＝．
2．根据以上关系可以实现sin
α、cos
α、tan
α的“知一求二”．
3．注意根据角α的终边位置确定符号．
学习心得：_____________________________________________________
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四、应用诱导公式化简、求值
三角函数的诱导公式
(概括为“奇变偶不变，符号看象限”)
1．诱导公式一：
sin(α＋2kπ)＝sin
α，
cos(α＋2kπ)＝cos
α，
tan(α＋2kπ)＝tan
α，(其中k∈Z)．
2．诱导公式二：
sin(π＋α)＝－sin
α，
cos(π＋α)＝－cos
α，
tan(π＋α)＝tan
α．
3．诱导公式三：
sin(－α)＝－sin
α，
cos(－α)＝cos
α，
tan(－α)＝－tan
α．
4．诱导公式四：
sin(π－α)＝sin
α，
cos(π－α)＝－cos
α，
tan(π－α)＝－tan
α．
5．诱导公式五：
sin＝cos
α，
cos＝sin
α．
6．诱导公式六：
sin＝cos
α，
cos＝－sin
α．
学习心得：_____________________________________________________
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7/7考点过关练8 任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式
考试要求
1．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；3．掌握同角三角函数的两个基本关系式；4．灵活运用诱导公式进行三角函数的化简、求值．
[题组冲关]
题组一 弧度制的定义与公式
1．下列命题正确的是( )
A．第一象限角是锐角
B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等
D．不相等的角，它们终边必不相同
2．已知α＝，则角α的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知扇形的圆心角为，半径等于20，则扇形的弧长为________．
4．若一个扇形的圆心角为60°，弧长为4，则扇形的面积是________．
题组二 任意角的三角函数
5．若角θ的终边过点，则sin
θ等于( )
A． B．－ C．－ D．
6．角α的终边过点(－3,4)，则cos
α＋tan
α＝( )
A．－ B．－ C．－ D．
7．若－<α<0，则点(tan
α，cos
α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．若点P在角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．
题组三 同角三角函数的基本关系式
9．设θ∈，若sin
θ＝，则cos
θ＝( )
A． B． C． D．
10．α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝( )
A． B．－ C． D．－
11．设α为第二象限角，则·＝( )
A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1
12．已知tan
α＝2，则＝________．
13．设α是第三象限角，则cos
α·＝________．
题组四 应用诱导公式化简、求值
14．sin
＝( )
A． B．－ C． D．－
15．cos＝( )
A．cos
x B．－cos
x C．sin
x D．－sin
x
16．若sin
α＝，则cos＝________．
17．已知＝，求cos值．
18．求下列各式的值．
(1)sin(－1
200°)·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)；
(2)设f
(α)＝(1＋2sin
α≠0)，求f
的值．
[核心精要]
一、弧度制的定义与公式
1．把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2．弧度制与角度制的转换：1
rad＝，1°＝
rad．
3．弧长公式：l＝＝αR．
4．扇形面积公式：S＝＝lR．
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二、任意角的三角函数
1．设点A(x，y)为角α终边上任意一点，那么(设r＝)
sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝．
2．设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝．
3．sin
α、cos
α、tan
α的符号取决于角α所在象限，第一象限三个三角函数全为正，第二象限只有sin
α为正，第三象限只有tan
α为正，第四象限只有cos
α为正．
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三、同角三角函数的基本关系式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan
α＝．
2．根据以上关系可以实现sin
α、cos
α、tan
α的“知一求二”．
3．注意根据角α的终边位置确定符号．
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四、应用诱导公式化简、求值
三角函数的诱导公式
(概括为“奇变偶不变，符号看象限”)
1．诱导公式一：
sin(α＋2kπ)＝sin
α，
cos(α＋2kπ)＝cos
α，
tan(α＋2kπ)＝tan
α，(其中k∈Z)．
2．诱导公式二：
sin(π＋α)＝－sin
α，
cos(π＋α)＝－cos
α，
tan(π＋α)＝tan
α．
3．诱导公式三：
sin(－α)＝－sin
α，
cos(－α)＝cos
α，
tan(－α)＝－tan
α．
4．诱导公式四：
sin(π－α)＝sin
α，
cos(π－α)＝－cos
α，
tan(π－α)＝－tan
α．
5．诱导公式五：
sin＝cos
α，
cos＝sin
α．
6．诱导公式六：
sin＝cos
α，
cos＝－sin
α．
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7/7
