考点过关练11 解三角形
考试要求
1．掌握正弦定理、余弦定理；2．能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题；3．能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．
[题组冲关]
题组一 利用正、余弦定理解三角形
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝( )
A．
B．
C．
D．1
B ∵a＝3，b＝5，sin
A＝，∴由正弦定理，得sin
B＝＝＝．故选B．
2．在△ABC中，a＝4，A＝60°，B＝45°，则b的值为( )
A． B．2＋2 C．2 D．2＋1
A 根据正弦定理＝，可得＝，
∴b＝＝．故选A．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B等于( )
A． B． C．或 D．或
A 由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accos
B，因为a2＋c2－b2＝ac，所以cos
B＝，又角B是三角形的内角，故B＝．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c，sin
A＋sin
C＝2sin
B，则cos
A＝________．
由正弦定理，可将sin
A＋sin
C＝2sin
B化为a＋c＝2b，再由b＝c，得a＝b＝c．所以cos
A＝＝．
5．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B＝________．
60° 由余弦定理可得cos
B＝＝，又因为0°6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，B＝，求b．
[解] (1)由正弦定理，得＝＝，
所以tan
A＝．因为A为三角形的内角，所以A＝．
(2)a＝2，A＝，B＝，由正弦定理，得b＝＝2．
题组二 利用正、余弦定理判定三角形形状
7．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
C ∵＝＝，又由正弦定理，
得＝＝，∴sin
A＝cos
A，sin
B＝cos
B．
∴sin＝0，sin＝0．
∵A，B∈(0，π)，∴A－∈，B－∈．
∴A－＝0，B－＝0，∴A＝B＝．故选C．
8．在△ABC中，若cos
B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
B 由cos
B＝，得＝，
所以c2＝a2＋b2．
所以△ABC为直角三角形．
9．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
C ∵sin2A＋sin2B＜sin2C，由正弦定理，得a2＋b2＜c2，由余弦定理，得cos
C＝<0，∴∴△ABC是钝角三角形．故选C．
10．在△ABC中，若sin
C＝2cos
Asin
B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
A 由A＋B＋C＝π，得到C＝π－(A＋B)，
∴sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．
又sin
C＝2cos
Asin
B，
∴sin(A＋B)＝2cos
Asin
B，
即sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝2cos
Asin
B，
整理得sin
Acos
B－cos
Asin
B＝sin(A－B)＝0．
又A和B都为三角形的内角，
∴－π＜A－B＜π．
∴A－B＝0，即A＝B．
∴此三角形必是等腰三角形．故选A．
题组三 与三角形面积有关的问题
11．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．4 B．4 C．2 D．2
C ∵在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，
由正弦定理，得＝，
∴＝，解得sin
B＝1．
∴B＝90°，C＝30°．∴S△ABC＝×2×4×sin
30°＝2．故选C．
12．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A． B．3 C． D．7
A ∵S△ABC＝＝×AB×ACsin
60°＝×2×AC×，
∴AC＝1．
在△ABC中，由余弦定理可得
BC＝＝．故选A．
13．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C．4 D．
C ∵cos
C＝，0C＝，
∴S△ABC＝absin
C＝×3×2×＝4．
14．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin
A．
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
[解] (1)由a＝2csin
A及正弦定理，
得＝＝．
∵sin
A≠0，∴sin
C＝．
∵△ABC是锐角三角形，0∴C＝．
(2)∵c＝，C＝．
由面积公式，得absin
＝，
即ab＝6．
①
由余弦定理，得a2＋b2－2abcos
＝7，
即a2＋b2－ab＝7．
②
由②变形及①得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5．
题组四 正、余弦定理的实际应用
15．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°．在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600
m，则铁塔AB的高度是( )
A．120
m
B．480
m
C．240
m
D．600
m
D 设AB＝x，则BC＝x，BD＝x，
在△BCD中，由余弦定理知cos
120°＝＝＝－，
解得x＝600．故铁塔的高度为600米．故选D．
16．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10
n
mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )
A．10
n
mile
B．
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
D 由题意，在△ABC中，AB＝10
n
mile，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°．
∴由正弦定理可得＝．
∴BC＝5
n
mile．故选D．
17．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1
km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________km．
根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
C，
∴AB＝
＝＝(km)．
[核心精要]
一、利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理可解决的两类问题
(1)已知三角形两角和任一边，求其他元素．
(2)已知三角形两边和其中一边的对角，求其他元素．
2．余弦定理可解决的两类问题
(1)已知三角形两边及其夹角，求其他元素．
(2)已知三角形三边，求其他元素．
3．△ABC中，若sin
A＝m(0＜m＜1)，则A可为锐角，也可为钝角．
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二、利用正、余弦定理判定三角形形状
1．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C，
cos(A＋B)＝－cos
C，
tan(A＋B)＝－tan
C．
2．常用正弦定理实现边角互化．
3．利用余弦定理可判定角的形状
a2＋b2＝c2?C为直角；
a2＋b2>c2?C为锐角；
a2＋b2学习心得：_____________________________________________________
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三、与三角形面积有关的问题
1．S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B．
2．在△ABC中，A>B?a>b?sin
A>sin
B．
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四、正、余弦定理的实际应用
1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充足的三角形，再解其他三角形．
学习心得：_____________________________________________________
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考试要求
1．掌握正弦定理、余弦定理；2．能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题；3．能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．
[题组冲关]
题组一 利用正、余弦定理解三角形
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝( )
A．
B．
C．
D．1
2．在△ABC中，a＝4，A＝60°，B＝45°，则b的值为( )
A． B．2＋2 C．2 D．2＋1
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B等于( )
A． B． C．或 D．或
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c，sin
A＋sin
C＝2sin
B，则cos
A＝________．
5．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B＝________．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，B＝，求b．
题组二 利用正、余弦定理判定三角形形状
7．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
8．在△ABC中，若cos
B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
9．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
∴△ABC是钝角三角形．故选C．
10．在△ABC中，若sin
C＝2cos
Asin
B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
题组三 与三角形面积有关的问题
11．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．4 B．4 C．2 D．2
12．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A． B．3 C． D．7
13．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C．4 D．
14．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin
A．
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
题组四 正、余弦定理的实际应用
15．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°．在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600
m，则铁塔AB的高度是( )
A．120
m
B．480
m
C．240
m
D．600
m
16．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10
n
mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )
A．10
n
mile
B．
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
17．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1
km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________km．
[核心精要]
一、利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理可解决的两类问题
(1)已知三角形两角和任一边，求其他元素．
(2)已知三角形两边和其中一边的对角，求其他元素．
2．余弦定理可解决的两类问题
(1)已知三角形两边及其夹角，求其他元素．
(2)已知三角形三边，求其他元素．
3．△ABC中，若sin
A＝m(0＜m＜1)，则A可为锐角，也可为钝角．
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二、利用正、余弦定理判定三角形形状
1．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C，
cos(A＋B)＝－cos
C，
tan(A＋B)＝－tan
C．
2．常用正弦定理实现边角互化．
3．利用余弦定理可判定角的形状
a2＋b2＝c2?C为直角；
a2＋b2>c2?C为锐角；
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三、与三角形面积有关的问题
1．S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B．
2．在△ABC中，A>B?a>b?sin
A>sin
B．
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四、正、余弦定理的实际应用
1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充足的三角形，再解其他三角形．
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