考点过关练12 平面向量与复数
考试要求
1．掌握向量的线性运算；2．掌握向量的数量积运算，会应用数量积求向量的模、夹角；3．掌握复数的概念、几何意义及四则运算．
[题组冲关]
题组一 平面向量及其线性运算
1．给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b．
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②④
A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝．
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③．故选A．
2．如图所示，已知＝3，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是( )
A．c＝b－a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝a－b
A 因为＝3，＝a，＝b，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
B 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B．
4．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0)
A 3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A．
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为( )
A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2
D 因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k．
因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，
所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．
因为a与b不共线，所以
解得λ＝2或λ＝－1．
6．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c
A 依题意＝2，
∴＝＋＝＋
＝＋(－)＝
＋＝b＋c．故选A．
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．
－2或 由题设知＝，所以3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或k＝．
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，
得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝．
题组二 平面向量的数量积
9．若向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C ∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1．
10．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3 C． D．－
A a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．
11．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
B ∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝．
又∵a与b的夹角范围为[0，π]，
∴a与b的夹角为．
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A． B． C． D．
C 由题意，知a·b＝|a||b|cos
θ＝4cos
θ＝2，即cos
θ＝．
又0≤θ≤π，所以θ＝．
13．
已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．
3 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos
45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10．
∴|b|＝3．
14．已知向量a⊥b，且a＝(x,1)，b＝(1，－2)，则实数x＝________，|a＋b|＝________．
2 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
即x－2＝0，∴x＝2．
∴a＋b＝(3，－1)．
∴|a＋b|＝＝．
15．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________．
0 －16 －16 由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos
90°＝0，·＝4×4×cos
135°＝－16，·＝4×4×cos
135°＝－16．
题组三 复数的概念及运算
16．
＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
D ＝＝＝2－i．
17．
若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
A ∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i．
18．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B ＝＝＝－1＋2i，复平面内对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限．
19．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i C．－2 D．2
A 由zi＝1＋i，得z＝＝1－i，
∴z2＝(1－i)2＝－2i．
20．设复数z＝－2＋i，则复数z＋的虚部为( )
A． B．i C． D．i
A z＋＝－2＋i＋＝－2－＋i＝－＋i．
21．
设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
－2 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得即m＝－2．
故当m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．
22．计算：＝________．
－2＋i ＝＝＝－2＋i．
[核心精要]
一、平面向量的线性运算
1．向量的加法运算满足平行四边形法则和三角形法则：
2．向量的减法运算满足三角形法则：
三角形法则
学习心得：_____________________________________________________
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二、平面向量的数量积
1．向量的数量积
条件
非零向量a与b，它们的夹角为θ
结论
数量|a||b|cos
θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos
θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
2．平面向量模的坐标形式
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝．
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝．
3．用坐标表示平面向量垂直的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
4．平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos
θ＝＝．
学习心得：_____________________________________________________
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三、复数的概念及运算
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)将除式写为分式；
(2)将分子、分母同乘分母的共轭复数；
(3)将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式：(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i．
学习心得：_____________________________________________________
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7/8考点过关练12 平面向量与复数
考试要求
1．掌握向量的线性运算；2．掌握向量的数量积运算，会应用数量积求向量的模、夹角；3．掌握复数的概念、几何意义及四则运算．
[题组冲关]
题组一 平面向量及其线性运算
1．给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b．
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②④
2．如图所示，已知＝3，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是( )
A．c＝b－a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝a－b
3．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
4．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0)
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为( )
A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2
6．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
题组二 平面向量的数量积
9．若向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
10．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3 C． D．－
11．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A． B． C． D．
13．
已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．
14．已知向量a⊥b，且a＝(x,1)，b＝(1，－2)，则实数x＝________，|a＋b|＝________．
15．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________．
题组三 复数的概念及运算
16．
＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
17．
若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
18．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
19．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i C．－2 D．2
20．设复数z＝－2＋i，则复数z＋的虚部为( )
A． B．i C． D．i
21．
设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
22．计算：＝________．
[核心精要]
一、平面向量的线性运算
1．向量的加法运算满足平行四边形法则和三角形法则：
2．向量的减法运算满足三角形法则：
三角形法则
学习心得：_____________________________________________________
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二、平面向量的数量积
1．向量的数量积
条件
非零向量a与b，它们的夹角为θ
结论
数量|a||b|cos
θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos
θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
2．平面向量模的坐标形式
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝．
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝．
3．用坐标表示平面向量垂直的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
4．平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos
θ＝＝．
学习心得：_____________________________________________________
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三、复数的概念及运算
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)将除式写为分式；
(2)将分子、分母同乘分母的共轭复数；
(3)将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式：(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i．
学习心得：_____________________________________________________
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