考点过关练14 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2．了解四个基本事实和一个定理．
[题组冲关]
题组一 平面的基本性质及应用
1．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．过一条直线的平面有无数多个
D．两个相交平面的交线是一条线段
2．两两相交的三条直线最多可以确定平面的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α
B．l?α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
4．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
5．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q．求证：B，Q，D1三点共线．
题组二 判断空间中直线的位置关系
7．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交
B．异面 C．平行 D．相交或异面
8．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
9．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
10．下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
11．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是______．(填序号)
③ ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
题组三 直线与平面、平面与平面的位置关系
12．下列五个结论中正确结论的个数是( )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α
内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α．
A．0
B．1
C．2
D．3
13．以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交．
A．③④
B．②③④
C．②④
D．①④
14．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
15．平面α∥平面β，直线a∥α，则( )
A．a∥β
B．a在面β上
C．a与β相交
D．a∥β或a?β
16．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________．(填序号)
①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．
[核心精要]
一、平面的基本性质及应用
1．证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的两种方法：
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3．证明线共点问题的常用方法是先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
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二、判断空间中直线的位置关系
1．异面直线的判定方法
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
(2)定理：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
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三、直线与平面、平面与平面位置关系的判断
1．直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
2．平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点．
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7/8考点过关练14 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2．了解四个基本事实和一个定理．
[题组冲关]
题组一 平面的基本性质及应用
1．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．过一条直线的平面有无数多个
D．两个相交平面的交线是一条线段
C 不在同一条直线上的三个点确定一个平面，故A错；两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错；两个相交平面的交线是一条直线，故D错．
2．两两相交的三条直线最多可以确定平面的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C 两两相交的三条直线最多能确定三个平面．
3．若直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α
B．l?α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
A ∵M∈a，a?α，∴M∈α．又∵N∈b，b?α，∴N∈α．又M，N∈l，∴l?α．
4．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
B 如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确．
5．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B 对于①，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．对于②，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以②不正确．③显然不正确．对于④，不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
6．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q．求证：B，Q，D1三点共线．
证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1?平面A1BCD1．同理，BD1?平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1．
又∵A1C?平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1．
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1．
∴B，Q，D1三点共线．
题组二 判断空间中直线的位置关系
7．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交
B．异面 C．平行 D．相交或异面
D 空间中的两条直线的位置关系有三种：平行、异面和相交，所以不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．
8．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
B EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1．
9．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
D 在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内的与a平行的直线只有唯一一条．
10．下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
C 由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面．题图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面．题图③中，连接MG(图略)，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面．题图④中，连接GN(图略)，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C．
11．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是______．(填序号)
③ ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
题组三 直线与平面、平面与平面的位置关系
12．下列五个结论中正确结论的个数是( )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α
内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α．
A．0
B．1
C．2
D．3
B 如图所示，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
13．以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交．
A．③④
B．②③④
C．②④
D．①④
A 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．
14．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
C 由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
15．平面α∥平面β，直线a∥α，则( )
A．a∥β
B．a在面β上
C．a与β相交
D．a∥β或a?β
D 如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a?β，故选D．
(1)
(2)
16．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________．(填序号)
①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．
① 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b．又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．
[核心精要]
一、平面的基本性质及应用
1．证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的两种方法：
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3．证明线共点问题的常用方法是先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
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二、判断空间中直线的位置关系
1．异面直线的判定方法
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
(2)定理：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
学习心得：_____________________________________________________
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三、直线与平面、平面与平面位置关系的判断
1．直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
2．平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点．
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