3.6 二次函数的应用同步练习（含答案）
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第三章
二次函数
6
二次函数的应用
知识能力全练
知识点一
用二次函数解决几何图形中的最值问题
1.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（
）
A.30
B.25
C.20
D.15
2.如图所示，在一个Rt△MBN的内部做一个矩形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝x
m，矩形的面积为y
m2，要使矩形的面积最大，x应为（
）
A.
B.6
C.15
D.
3.如图所示，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米.
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，则当AB为多少米时，长方形花圃的面积最大？最大面积是多少？
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30厘米，BC＝20厘米，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1厘米/秒.
（1）运动几秒时，P，Q相距最小？最小是多少？
（2）运动几秒时，△PCQ的面积最大？最大是多少？
5.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.
（1）求证:FH＝ED；
（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？
知识点二
用二次函数解决销售问题中的最值问题
6.某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是_________元.
7.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）.
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
8.某商店销售一批一次性医用口罩，售价为每盒20元，每盒50只装，每周可售出100盒，根据市场行情，计划将口罩降价销售，经调查发现:每盒降价1元，每周可多售出20盒已知口罩的进价为每盒10元.
（1）若降价后这种口罩每盒的售价为x元，每周销售量y盒，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若口罩每盒的降价为整数，且使消费者获得更大优惠，试求商店每周获得最大利润时，每盒口罩的售价及每周的最大利润.
9.某商店购进一批成车为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
10.根据对某市相关的市场物价调研，预计某一段时间内，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2＋bx的图象如图②所示.
（1）分别求出y1、y2之间的函数关系；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的利润之和最大，最大利润是多少？
知识点三
用二次函数解决抛物线型问题
11.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x-4）2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
（1）当a＝时，
①求h的值；
②通过计算判断此球能否过网；
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到距点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.
12.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示）.拱高10
m，相邻两根支柱间的距离为5
m.
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式为y＝x2＋6，请求出桥拱的跨度AB的长；
（2）求出支柱EF的长度；
（3）拱桥下的地平面是双向行车道（正中间是一条宽2
m的隔离带），有一辆特殊工程车，宽6
m，高3
m，能否在不跨越隔离带的情况下通过拱桥？请说说你的理由.
13.如图所示，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y＝x2＋bx＋c表示，且抛物线经过B，C.
请根据以上信息，解答下列问题
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处（E距离墙体6米），安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
巩固提高全练
14.如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构成长方形的长为16
m，宽为6
m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8
m.
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7
m，宽为4
m.如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
15.如图①，某市体育馆为了让来做运动的人方便停车，利用一块矩形空地建了一个停车场，其布局如图②所示，已知停车场的长为58米，宽为22米，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位的面积为700平方米.
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有车位70个，根据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位，那么停车场的月租金收入最大为多少元？
16.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数y（辆）有如下关系：
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式；
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x（x≥3000）的代数式填表：
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收益（元）
所有未租出的车辆每月的维护费（元）
（3）每辆车的月租金定为多少元才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元.
17.如图所示，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是（
）
A.当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点的水平距离为3m
B.小球距O点的水平距离超过4m呈下降趋势
C.小球落地点距O点的水平距离为7m
D.斜坡的坡度为1:2
18.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°.动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点P作PH⊥AD，垂足为H.设点P运动的时间为x（单位:s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（
）
19.如图所示，边长为2的正△ABC的边BC在直线上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（
）
20.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
21.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.
（1）如图所示，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式（写出x的范围）；
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x＋40（0＜x≤20）.在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入-成本）
22.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水柱的最大高度.
23.如图所示，有一块五边形余料
ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
24.如图所示，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从点M运动到点N时，点B随之运动.设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（
）
A.-≤b≤1
B.-≤b≤1
C.-≤b≤
D.-≤b≤1
25.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图①）.
科学原理:如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位:cm），如果在离水面竖直距离为h（单位:cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位:cm）与h的关系为s2＝4h（H-h）.
应用思考:现用高度为20
cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h
cm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16
cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
参考答案
1.C
2.D
3.解析
（1）:花圃的宽AB为x米，∴BC＝（24-3x）米，
根据题意得y＝x（24-3x）＝-3x2＋24x，
由题意，得解得0＜x＜8.∴y＝-3x2＋24x（0＜x＜8）.
（2）y＝-3x2＋24x＝-3（x-4）2＋48.
∵墙的最可用长度为9米，∴0＜24-3x≤9.
∴5≤x＜8.∴当x＝5时，y最大值＝45.
答:当AB为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米.
4.解析
（1）设运动时间为t秒，则CP＝t厘米，CQ＝（20-t）厘米.
在Rt△CPQ中，PQ＝.
当t＝10时，PQ最小，最小值为10.
∴运动10秒时，P，Q相距最小，最小是10厘米.
（2）设运动时间为x秒，△PCQ的面积为y平方厘米，依题意，得
y＝x（20-x）＝-（x-10）2＋50.
当x＝10时，y最小，最小值为50.
∴运动10秒时，△PCQ的面积最大，最大是50平方厘米.
5.解析
（1）证明:四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∠FEC＝90°.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°.
∴∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠ED.
∵FH⊥AD，∴∠FHE＝90°.∵∠FHE＝∠D＝90°.∴△FEH≌△ECD.∴FH＝ED.
（2）设AE＝a（0＜a＜4），则ED＝FH＝4-a，
∴S△AEF＝AE·FH＝a（4-a）＝-（a-2）2＋2.
∴当a＝2时，△AEF的面积最大.即当AE＝2时，△AEF的面积最大.
1800
7.解析
（1）由题意得y＝80＋20×＝-40x＋880.
（2）设每天的销售利润为w元，则有
w＝（-40x＋880）（x-16）＝-40（x-19）2＋360（x≥16），
∵a＝-40＜0，∴二次函数的图象开口向下.
∴当x＝19时，有最大值，最大值为360.
∴当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.
8.解析
（1）y＝100＋20（20-x）＝-20x＋500.
∴y关于x的函数表达式为y＝-20x＋500.
（2）设商店每周获得的利润为w元，根据题意，得
w＝（x-10）（-20x＋500）＝-20x2＋700x-5000.
当时，w取得最大值.
∵x为整数，且使消费者获得更大优惠，
∴x＝17，此时每周的最大利润为（17-1）（-20×17＋500）＝1120元.
∴每盒口罩的售价为17元，每周的最大利润为1120元.
9.解析
（1）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
将点（30，100）、（45，70）代入，得，解得.
∴该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝-2x＋160.
（2）由题意得w＝（x-30）（-2x＋160）＝-2（x-55）2＋1250.
∵-2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤50，∴当x＝50时，取得最大值，w最大值＝1200.
答:销售单价定为50元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1200元.
（3）将w＝800代入w＝-2（x-55）2＋1250，解得x1＝40，x2＝70.
∴当40≤x≤70时，w≥800.对于y＝-2x＋160，随x的增大而减小，
∴当x＝70时，y取得最小值，y最小值＝20.
答:若商店要使销售该商品每天获得的利润低于800元，则每天的销售量最少应为20件.
10.解析
（1）∵函数y1＝kx的图象过点（5，3），∴5k＝3，解得k＝0.6.∴y1＝0.6x；∵函数y2＝ax2＋bx的图象过点（1，2），（5，6），
∴，解得.∴y2＝-0.2x2＋2.2x.
（2）由题意知，甲种蔬菜的进货量为（10-t）吨，
利润之和W＝0.6（10-t）＋（-0.2t2＋2.2t）＝-0.2t2＋1.6t＋6＝-0.2（t-4）2＋9.2.∴当t＝4时，W最大，最大利润为9200元.
∴当甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜的进货量为4吨时，获得的利润之和最大，最大利润是9200元.
11.解析
（1）①当a＝-时，y＝-（x-4）2＋h.
将点P（O，1）代入，得-×16＋h＝1，解得h＝.
②把x＝5代入y＝-（x-4）2＋，得y＝-×（5-4）2＋＝1.625.
∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
（2）把（0，1）、代入y＝a（x-4）2＋h，得，解得.
∴.
12.解析
（1）令y＝0，得0＝-x2＋6，解得x1＝10，x2＝-10.
∴A点的坐标为（-10，0），B点的坐标为（10，0）.∴AB＝20m.
（2）把x＝-5代入y＝-x2＋6，得y＝-×（-5）2＋6＝.
∴F点的坐标为（-5，）.∴BF＝10-＝（m）.
（3）能通过理由:根据题意，把x＝7代入y＝-x2＋6，得y＝-×72＋6＝3.06.
∵3.06＞3，∴工程车能通过拱桥.
13.解析
（1）将点B，C的坐标代入抛物线表达式，
得，解得.故抛物线的函数关系式为y＝-x2＋x＋.
（2）令y＝0，则-x2＋x＋＝0，,解得x＝-2（舍去）或x＝8.故ON＝8m.
（3）将x＝6代入y＝-x2＋x＋，得y＝-×62＋×6＋＝.
∴GE＋EF＝6＋＝9＜10.故现有库存10米的钢材够用.
14.解析（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系.
根据题意得A（-8，0），B（-8.6），C（0，8）设抛物线的表达式为y＝ax2＋8，
把B（-8.6）代入，得64a＋8＝6.解得a＝-.
∴抛物线的表达式为y＝-x2＋8.
（2）根据题意，把x＝±4代入y＝-x2＋8，得y＝7.5.
∵7.5＞7，∴货车能安全通过.
15.解析
（1）设通道的宽为x米，根据题意，得（58-2x）（22-2x）＝700.
解得x＝36（舍去）或x＝4.
答:通道的宽为4米.
（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为w元，
根据题意，得w＝（300＋a）(70-a)＝-（a-700）（a＋300）＝-（a-200）2＋25000.∵-＜0，∴w有最大值，最大值为25000.
∴停车场的月租金收入最大为25000元.
16.解析
（1）由题表数据可知y与x是一次函数关系，设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
由题意，得，解得.
∴y与x之间的函数关系式为y＝-x＋160.
（2）如下表:
租出的车辆数
-x＋160
未租出的车辆数
x-60
租出每辆车的月收益（元）
x-150
所有未租出的车辆每月的维护费（元）
x-3000
（3）设租赁公司获得的月收益为w元，依题意可得
W＝（-x＋160）（x-150）-（x-3000）
＝（-x2＋163x-24000-（x-3000）
＝-x2＋162x-21000＝-（x-4050）2＋307050.
当x＝4050时，W取得最大值，W最大值＝307050，即当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益，最大月收益为307050元.
17.A
18.D
19.B
20.解析
（1）500-10×（55-50）＝450（千克）
答:当售价为55元/千克时，每月销售水果450千克.
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得8750＝（x-40）［500-10（x-50）］，解得x1＝65，x2＝75.
答:每千克水果售价为65元或75元.
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意，得y＝（m-40）［500-10（m-50）］＝-10（m-70）2＋9000，
∴当m＝70时，y有最大值.
答:当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大.
21.解析
（1）由题图可知，当0＜x≤12时，z＝16.
当12≤x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx＋b（k≠0），
则，解得，即z＝-x＋19，
∴z关于x的函数解析式为z＝.
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元.
①当0＜x≤12时，W＝（16-10）×（5x＋40）＝30x＋240，
当x＝12时，W最大值＝30×12＋240＝600.
②当12＜x≤20时，
W＝（-x＋19-10×（5x＋40）＝-x2＋35x＋360＝-（x-14）2＋605，
当x＝14时，W最大值＝605.
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.
22.解析
（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x-3）2＋5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x-3）2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝-.
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝-（x-3）2＋5（0＜x＜8）.
（2）当y＝1.8时，有-（x-3）2＋5＝1.8，解得x1＝-1（不符合题意，舍去），x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
（3）当x＝0时，y＝-×（0-3）2＋5＝.
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝-x2＋bx＋，由题意可知函数图象过点（16，0），∴0＝-×162＋16b＋，解得b＝3.
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
y＝-x2＋3x＋＝-（x-）2＋.
∴当x＝时，y取得最大值最大值为.
答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米.
23.解析
（1）①若所截矩形材料的一条边BC，如图所示，过点C作CF⊥AE于F.
则所截矩形材料的面积为AB·BC＝6×5＝30.
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图所示，过点E作EF∥AB交CD于F，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H.
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∴FG＝AE＝6，
HG＝BC＝5，
∵∠BCD＝135°，∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，
∴BG＝CH＝FH＝FG-HG＝6-5＝1，∴AG＝AB-BG＝6-1＝5，
∴所截矩形材料的面积为AE·AG＝6×5＝30.
（2）能理由如下:
如图所示，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，过点F作FN⊥AE于N，过点C作
CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠BCD＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG＝BC＝5，
BM＝CG＝FG，
设AM＝x，则BM＝6-x，
∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11-x，
∴所截矩形材料的面积为AM·FM＝x（1-x）＝-x2＋11x＝-（x-5.5）2＋30.25，
∴当x＝5.5时，所截矩形材料的面积最大，最大值为30.25.
24.B
25.解析
（1）s2＝4h（H-h），
当H＝20时，s2＝4h（20-h）＝-4（h-10）2＋400，
当h＝10时，s2有最大值400，此时，s有最大值20.
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20cm.
（2）∵s2＝4h（20-h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，
则有4a（20-a）＝4b（20-b），∴20a-a2＝20b-b2，a2-b2＝20a-20b，
∴（a＋b）（a-b）＝20（a-b），∴（a-b）（a＋b-20）＝0.
∴a-b＝0或a＋b-20＝0.∴a＝b或a＋b＝20.
（3）设垫高的高度为m
cm，则s2＝4h（20＋m-h）＝-4＋（20＋m）2，
∴当h＝时，s最大值＝20＋m＝20＋16，∴m＝16，此时h＝＝18.
∴垫高的高度为16
cm，小孔离水面的竖直距离为18
cm.
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第三章
二次函数
6
二次函数的应用
知识能力全练
知识点一
用二次函数解决几何图形中的最值问题
1.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（
）
A.30
B.25
C.20
D.15
2.如图所示，在一个Rt△MBN的内部做一个矩形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝x
m，矩形的面积为y
m2，要使矩形的面积最大，x应为（
）
A.
B.6
C.15
D.
3.如图所示，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米.
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，则当AB为多少米时，长方形花圃的面积最大？最大面积是多少？
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30厘米，BC＝20厘米，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1厘米/秒.
（1）运动几秒时，P，Q相距最小？最小是多少？
（2）运动几秒时，△PCQ的面积最大？最大是多少？
5.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.
（1）求证:FH＝ED；
（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？
知识点二
用二次函数解决销售问题中的最值问题
6.某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是_________元.
7.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）.
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
8.某商店销售一批一次性医用口罩，售价为每盒20元，每盒50只装，每周可售出100盒，根据市场行情，计划将口罩降价销售，经调查发现:每盒降价1元，每周可多售出20盒已知口罩的进价为每盒10元.
（1）若降价后这种口罩每盒的售价为x元，每周销售量y盒，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若口罩每盒的降价为整数，且使消费者获得更大优惠，试求商店每周获得最大利润时，每盒口罩的售价及每周的最大利润.
9.某商店购进一批成车为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
10.根据对某市相关的市场物价调研，预计某一段时间内，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2＋bx的图象如图②所示.
（1）分别求出y1、y2之间的函数关系；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的利润之和最大，最大利润是多少？
知识点三
用二次函数解决抛物线型问题
11.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x-4）2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
（1）当a＝时，
①求h的值；
②通过计算判断此球能否过网；
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到距点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.
12.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示）.拱高10
m，相邻两根支柱间的距离为5
m.
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式为y＝x2＋6，请求出桥拱的跨度AB的长；
（2）求出支柱EF的长度；
（3）拱桥下的地平面是双向行车道（正中间是一条宽2
m的隔离带），有一辆特殊工程车，宽6
m，高3
m，能否在不跨越隔离带的情况下通过拱桥？请说说你的理由.
13.如图所示，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y＝x2＋bx＋c表示，且抛物线经过B，C.
请根据以上信息，解答下列问题
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处（E距离墙体6米），安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
巩固提高全练
14.如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构成长方形的长为16
m，宽为6
m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8
m.
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7
m，宽为4
m.如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
15.如图①，某市体育馆为了让来做运动的人方便停车，利用一块矩形空地建了一个停车场，其布局如图②所示，已知停车场的长为58米，宽为22米，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位的面积为700平方米.
（1）求通道的宽是多少米；
（2）该停车场共有车位70个，根据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位，那么停车场的月租金收入最大为多少元？
16.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数y（辆）有如下关系：
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式；
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x（x≥3000）的代数式填表：
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收益（元）
所有未租出的车辆每月的维护费（元）
（3）每辆车的月租金定为多少元才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元.
17.如图所示，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是（
）
A.当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点的水平距离为3m
B.小球距O点的水平距离超过4m呈下降趋势
C.小球落地点距O点的水平距离为7m
D.斜坡的坡度为1:2
18.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°.动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点P作PH⊥AD，垂足为H.设点P运动的时间为x（单位:s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（
）
19.如图所示，边长为2的正△ABC的边BC在直线上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（
）
20.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
21.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.
（1）如图所示，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式（写出x的范围）；
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x＋40（0＜x≤20）.在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入-成本）
22.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水柱的最大高度.
23.如图所示，有一块五边形余料
ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
24.如图所示，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从点M运动到点N时，点B随之运动.设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（
）
A.-≤b≤1
B.-≤b≤1
C.-≤b≤
D.-≤b≤1
25.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图①）.
科学原理:如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位:cm），如果在离水面竖直距离为h（单位:cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位:cm）与h的关系为s2＝4h（H-h）.
应用思考:现用高度为20
cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h
cm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16
cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
参考答案
1.C
2.D
3.解析
（1）:花圃的宽AB为x米，∴BC＝（24-3x）米，
根据题意得y＝x（24-3x）＝-3x2＋24x，
由题意，得解得0＜x＜8.∴y＝-3x2＋24x（0＜x＜8）.
（2）y＝-3x2＋24x＝-3（x-4）2＋48.
∵墙的最可用长度为9米，∴0＜24-3x≤9.
∴5≤x＜8.∴当x＝5时，y最大值＝45.
答:当AB为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米.
4.解析
（1）设运动时间为t秒，则CP＝t厘米，CQ＝（20-t）厘米.
在Rt△CPQ中，PQ＝.
当t＝10时，PQ最小，最小值为10.
∴运动10秒时，P，Q相距最小，最小是10厘米.
（2）设运动时间为x秒，△PCQ的面积为y平方厘米，依题意，得
y＝x（20-x）＝-（x-10）2＋50.
当x＝10时，y最小，最小值为50.
∴运动10秒时，△PCQ的面积最大，最大是50平方厘米.
5.解析
（1）证明:四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∠FEC＝90°.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°.
∴∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠ED.
∵FH⊥AD，∴∠FHE＝90°.∵∠FHE＝∠D＝90°.∴△FEH≌△ECD.∴FH＝ED.
（2）设AE＝a（0＜a＜4），则ED＝FH＝4-a，
∴S△AEF＝AE·FH＝a（4-a）＝-（a-2）2＋2.
∴当a＝2时，△AEF的面积最大.即当AE＝2时，△AEF的面积最大.
1800
7.解析
（1）由题意得y＝80＋20×＝-40x＋880.
（2）设每天的销售利润为w元，则有
w＝（-40x＋880）（x-16）＝-40（x-19）2＋360（x≥16），
∵a＝-40＜0，∴二次函数的图象开口向下.
∴当x＝19时，有最大值，最大值为360.
∴当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.
8.解析
（1）y＝100＋20（20-x）＝-20x＋500.
∴y关于x的函数表达式为y＝-20x＋500.
（2）设商店每周获得的利润为w元，根据题意，得
w＝（x-10）（-20x＋500）＝-20x2＋700x-5000.
当时，w取得最大值.
∵x为整数，且使消费者获得更大优惠，
∴x＝17，此时每周的最大利润为（17-1）（-20×17＋500）＝1120元.
∴每盒口罩的售价为17元，每周的最大利润为1120元.
9.解析
（1）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
将点（30，100）、（45，70）代入，得，解得.
∴该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝-2x＋160.
（2）由题意得w＝（x-30）（-2x＋160）＝-2（x-55）2＋1250.
∵-2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤50，∴当x＝50时，取得最大值，w最大值＝1200.
答:销售单价定为50元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1200元.
（3）将w＝800代入w＝-2（x-55）2＋1250，解得x1＝40，x2＝70.
∴当40≤x≤70时，w≥800.对于y＝-2x＋160，随x的增大而减小，
∴当x＝70时，y取得最小值，y最小值＝20.
答:若商店要使销售该商品每天获得的利润低于800元，则每天的销售量最少应为20件.
10.解析
（1）∵函数y1＝kx的图象过点（5，3），∴5k＝3，解得k＝0.6.∴y1＝0.6x；∵函数y2＝ax2＋bx的图象过点（1，2），（5，6），
∴，解得.∴y2＝-0.2x2＋2.2x.
（2）由题意知，甲种蔬菜的进货量为（10-t）吨，
利润之和W＝0.6（10-t）＋（-0.2t2＋2.2t）＝-0.2t2＋1.6t＋6＝-0.2（t-4）2＋9.2.∴当t＝4时，W最大，最大利润为9200元.
∴当甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜的进货量为4吨时，获得的利润之和最大，最大利润是9200元.
11.解析
（1）①当a＝-时，y＝-（x-4）2＋h.
将点P（O，1）代入，得-×16＋h＝1，解得h＝.
②把x＝5代入y＝-（x-4）2＋，得y＝-×（5-4）2＋＝1.625.
∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
（2）把（0，1）、代入y＝a（x-4）2＋h，得，解得.
∴.
12.解析
（1）令y＝0，得0＝-x2＋6，解得x1＝10，x2＝-10.
∴A点的坐标为（-10，0），B点的坐标为（10，0）.∴AB＝20m.
（2）把x＝-5代入y＝-x2＋6，得y＝-×（-5）2＋6＝.
∴F点的坐标为（-5，）.∴BF＝10-＝（m）.
（3）能通过理由:根据题意，把x＝7代入y＝-x2＋6，得y＝-×72＋6＝3.06.
∵3.06＞3，∴工程车能通过拱桥.
13.解析
（1）将点B，C的坐标代入抛物线表达式，
得，解得.故抛物线的函数关系式为y＝-x2＋x＋.
（2）令y＝0，则-x2＋x＋＝0，,解得x＝-2（舍去）或x＝8.故ON＝8m.
（3）将x＝6代入y＝-x2＋x＋，得y＝-×62＋×6＋＝.
∴GE＋EF＝6＋＝9＜10.故现有库存10米的钢材够用.
14.解析（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系.
根据题意得A（-8，0），B（-8.6），C（0，8）设抛物线的表达式为y＝ax2＋8，
把B（-8.6）代入，得64a＋8＝6.解得a＝-.
∴抛物线的表达式为y＝-x2＋8.
（2）根据题意，把x＝±4代入y＝-x2＋8，得y＝7.5.
∵7.5＞7，∴货车能安全通过.
15.解析
（1）设通道的宽为x米，根据题意，得（58-2x）（22-2x）＝700.
解得x＝36（舍去）或x＝4.
答:通道的宽为4米.
（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为w元，
根据题意，得w＝（300＋a）(70-a)＝-（a-700）（a＋300）＝-（a-200）2＋25000.∵-＜0，∴w有最大值，最大值为25000.
∴停车场的月租金收入最大为25000元.
16.解析
（1）由题表数据可知y与x是一次函数关系，设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
由题意，得，解得.
∴y与x之间的函数关系式为y＝-x＋160.
（2）如下表:
租出的车辆数
-x＋160
未租出的车辆数
x-60
租出每辆车的月收益（元）
x-150
所有未租出的车辆每月的维护费（元）
x-3000
（3）设租赁公司获得的月收益为w元，依题意可得
W＝（-x＋160）（x-150）-（x-3000）
＝（-x2＋163x-24000-（x-3000）
＝-x2＋162x-21000＝-（x-4050）2＋307050.
当x＝4050时，W取得最大值，W最大值＝307050，即当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益，最大月收益为307050元.
17.A
18.D
19.B
20.解析
（1）500-10×（55-50）＝450（千克）
答:当售价为55元/千克时，每月销售水果450千克.
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得8750＝（x-40）［500-10（x-50）］，解得x1＝65，x2＝75.
答:每千克水果售价为65元或75元.
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意，得y＝（m-40）［500-10（m-50）］＝-10（m-70）2＋9000，
∴当m＝70时，y有最大值.
答:当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大.
21.解析
（1）由题图可知，当0＜x≤12时，z＝16.
当12≤x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx＋b（k≠0），
则，解得，即z＝-x＋19，
∴z关于x的函数解析式为z＝.
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元.
①当0＜x≤12时，W＝（16-10）×（5x＋40）＝30x＋240，
当x＝12时，W最大值＝30×12＋240＝600.
②当12＜x≤20时，
W＝（-x＋19-10×（5x＋40）＝-x2＋35x＋360＝-（x-14）2＋605，
当x＝14时，W最大值＝605.
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.
22.解析
（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x-3）2＋5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x-3）2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝-.
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝-（x-3）2＋5（0＜x＜8）.
（2）当y＝1.8时，有-（x-3）2＋5＝1.8，解得x1＝-1（不符合题意，舍去），x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
（3）当x＝0时，y＝-×（0-3）2＋5＝.
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝-x2＋bx＋，由题意可知函数图象过点（16，0），∴0＝-×162＋16b＋，解得b＝3.
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
y＝-x2＋3x＋＝-（x-）2＋.
∴当x＝时，y取得最大值最大值为.
答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米.
23.解析
（1）①若所截矩形材料的一条边BC，如图所示，过点C作CF⊥AE于F.
则所截矩形材料的面积为AB·BC＝6×5＝30.
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图所示，过点E作EF∥AB交CD于F，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H.
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∴FG＝AE＝6，
HG＝BC＝5，
∵∠BCD＝135°，∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，
∴BG＝CH＝FH＝FG-HG＝6-5＝1，∴AG＝AB-BG＝6-1＝5，
∴所截矩形材料的面积为AE·AG＝6×5＝30.
（2）能理由如下:
如图所示，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，过点F作FN⊥AE于N，过点C作
CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠BCD＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG＝BC＝5，
BM＝CG＝FG，
设AM＝x，则BM＝6-x，
∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11-x，
∴所截矩形材料的面积为AM·FM＝x（1-x）＝-x2＋11x＝-（x-5.5）2＋30.25，
∴当x＝5.5时，所截矩形材料的面积最大，最大值为30.25.
24.B
25.解析
（1）s2＝4h（H-h），
当H＝20时，s2＝4h（20-h）＝-4（h-10）2＋400，
当h＝10时，s2有最大值400，此时，s有最大值20.
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20cm.
（2）∵s2＝4h（20-h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，
则有4a（20-a）＝4b（20-b），∴20a-a2＝20b-b2，a2-b2＝20a-20b，
∴（a＋b）（a-b）＝20（a-b），∴（a-b）（a＋b-20）＝0.
∴a-b＝0或a＋b-20＝0.∴a＝b或a＋b＝20.
（3）设垫高的高度为m
cm，则s2＝4h（20＋m-h）＝-4＋（20＋m）2，
∴当h＝时，s最大值＝20＋m＝20＋16，∴m＝16，此时h＝＝18.
∴垫高的高度为16
cm，小孔离水面的竖直距离为18
cm.
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精品试卷·第
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