初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．（2020八上·郑州开学考）在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C． a2+c2=b2 D．c2- a2= b2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴ a2+c2=b2 .
故答案为：C.
【分析】因为B为直角，则B所对的边b为斜边，利用勾股定理列式即知结果.
2．（2020八下·西山期末）由线段 组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、82+92≠102不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案.
3．（2020八下·重庆期末）直角三角形中，两条直角边长分别是12和5，则斜边中线长是（ ）
A．26 B．13 C． D．6.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边= =13，
则斜边中线长是6.5，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可.
4．（2020八下·邵阳期末）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（ ）尺．
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面AC=x尺，则斜边为AB=（9-x）尺，根据勾股定理得：
解得：x=4，
∴AC=4尺．
故答案为：B．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9-x）尺，利用勾股定理解题即可．
5．（2020八下·韩城期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6；
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理得出8+A=14，进而求出A的面积。
6．（2019八上·历城期中）如图所示，有一个高 ，底面周长为 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底 的点 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处 的点 处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（ ）
A． B．20 C．24 D．28
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：
过F点作容器上沿的对称点B，过S作SC⊥BC于C，
连接SB，则SB即为最短距离，
由题意得：SC为圆柱体的底面周长的一半， (cm)，
FD=BD=2，
∴B (cm)，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】从点S处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中SC为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可．
7．（2019八上·陕西期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm B． C． D．9cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图1.
∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴BM=9﹣3=6，BN=5+3=8，∴MN= =10；
如图2.∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴PM=6+3=9，NP=5，∴MN= = .
∵10＜ ，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10.
故答案为：A.
【分析】利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出MN的长，然后作比较即可.
8．（2018八上·郑州期中）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】A．∵四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
B．∵三个直角三角形的面积和=梯形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
C．∵四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
D．不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】观察各选项的图形，A中的图案是四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积；B中的图案是三个直角三角形的面积和=梯形面积；C中的图案是四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，分别利用直角三角形的面积、梯形的面积、正方形的面积，列出等式化简，均可证得a2+b2=c2，而D不能利用图形面积证明勾股定理，因此可得出答案。
9．（2020八下·阿城期末）如图所示，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（ ）
A．4㎝ B．5㎝ C．6㎝ D． ㎝
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AD=xcm，
由折叠的性质得：BD=AD=xcm，
∵在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴CD=BC BD=8 x(cm)，AB=10cm，
在Rt△ACD中，AC +CD =AD ，
即：6 +(8 x) =x ，
解得：x= .
故答案为：D.
【分析】首先设AD=xcm，由折叠的性质得：BD=AD=xcm，又由BC=8cm，可得CD=8-x（cm），然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程即可求得AD的长.
10．（2020九上·温州开学考）如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD ，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD ，
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）2＋DH2=21
解得：DH= ，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG= ，CG：FG=AE：EH=1：2
∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE= ，S△FGN=2S△CGN
∵AH∥CF
∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴ AEM≌ CGN， AHN≌ CFM
∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM
∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH= S正方形EFGH= × =
∵S△FGN=2S△CGN
∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN
= S△MNF＋2S△CGN
= S△MNF＋S△FGN
= S四边形MFGN
=
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG= ，CG：FG=AE：EH=1：2，根据全等三角形的判定可证 AEM≌ CGN， AHN≌ CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论.
二、填空题
11．（2020八上·渠县月考）如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需 天才能把隧道凿通．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，
则由勾股定理，得 ，
∴所需的时间为： （天）；
故答案为：10．
【分析】先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间．
12．（2020八上·咸阳开学考）有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是 .
【答案】225或63
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：92+122=225；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：122-92=144-81=63；
故答案是：225或63.
【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解.
13．（2020·抚顺）如图，在 中， ， ，分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，交 于点E，连接 ，若 ，则 的长为 .
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得MN垂直平分AB，∴AE=BE，
设BE=AE=x，∴AC=CE+AE=x+3，
∵AC=2BC，∴BC=，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即（）2+32=x2，解得x1=5，x2=-3（舍去），
∴BE=5.
故答案为：5.
【分析】根据尺规作图，可得MN垂直平分AB，即得AE=BE，可设BE=AE=x，从而可得AC=CE+AE=x+3，BC=AC=，在Rt△BCE中利用勾股定理可得BC2+CE2=BE2，
即（）2+32=x2，解出x的值即可.
14．（2020·绥化）在 中， ，若 ，则 的长是 ．
【答案】17
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
15．（2020八上·柯桥开学考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ .
【答案】20
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BD，
∵AD2=OA2+OD2，AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，BC2=OB2+OC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2
=22+42=20.
故答案为：20.
【分析】由“垂美”四边形的特点根据勾股定理分别列式，整理可得AD2+BC2=AB2+CD2，则可求解.
16．（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 。
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为： ，
故阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【分析】由题意可知直角三角形的斜边长为3，一直角边长为2，利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式就可求出阴影部分的面积。
17．（2020八下·重庆期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为 .
【答案】29
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的边长为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，
根据图形得：4=9=16=x或4=9=x-16，
解得：x=29.
故答案为：29.
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程4=16=x-9，求出即可.
18．（2020八下·大石桥期末）如图， ， ， ，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着 方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 .
【答案】5m
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5.
故答案为：5m.
【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可.
三、解答题
19．（2015八下·金平期中）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10，∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
20．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理 单元检测）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
【答案】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°；根据勾股定理，得BC= = =12，∴BD=12+2=14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据实际问题画出图形，根据勾股定理求出BC的值，得到发生火灾的住户窗口距离地面的值.
21．（2020九上·孝南开学考）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，且AE＝DE. 若AB＝20，CD＝30，BC＝50，求AE的长.
【答案】解：设BE＝x，则EC＝50－x.
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝400＋x2
在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝900＋(50－x)2
∵AE＝DE，∴400＋x2＝900＋(50－x)2
∴x＝30.
∴AE2＝400＋x2＝1300，∴AE＝ .
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设BE＝x，则EC＝50－x，利用勾股定理分别在Rt△ABE和Rt△CDE中，建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求出AE的长。
22．（2020七下·碑林期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3.求：四边形ABDC的面积.
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝ ×12×5+ ×3×4＝36.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；再利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形，再根据三角形的面积公式可求四边形ABDC的面积.
23．（2020九上·台州月考）如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90，点A，C，D依次在同一直线上，且AB平行DE.
（1）
求证：△ABC≌△DCE
（2）
连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠CDE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5，
∴AE==13.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠BAC=∠CDE，然后利用角角边定理证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得CE的长度，然后利用勾股定理求出AE的长即可.
24．（2019八上·抚州月考）如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
【答案】（1）解：正方体有六个表面，表面积为 ．
每个表面的面积为 ；
设棱长为为xcm（ ），即 ，
∴ ，
即棱长为 ；
（2）解：如图1所示：
由题意知：插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线 ，
∵
；
又∵ ，
，
则细木棒露在外面的最短长度为 ．
（3）解：如图2所示：
在Rt△AGB中，AG=GD=DB= ，AB= ，
蚂蚁爬行的路径 ，
蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【知识点】算术平方根；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据表面积，由算术平方根的求法可得正方体的棱长；（2）长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，根据勾股定理求出长方体纸箱的对角线长度，再用细木棒的长度减去长方体纸箱的对角线长度即可；（3）由正方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程．
25．（2020八下·合肥月考）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
【答案】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即
（2）解：在 中，
在 中，
所以 ，
解得
（3）解：∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a +3ab+b
∴边长为：（a+b），（a+2b）
由此可画出的图形为：
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设BD=x， 是 边上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．（2020八上·郑州开学考）在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C． a2+c2=b2 D．c2- a2= b2
2．（2020八下·西山期末）由线段 组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020八下·重庆期末）直角三角形中，两条直角边长分别是12和5，则斜边中线长是（ ）
A．26 B．13 C． D．6.5
4．（2020八下·邵阳期末）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（ ）尺．
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
5．（2020八下·韩城期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
6．（2019八上·历城期中）如图所示，有一个高 ，底面周长为 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底 的点 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处 的点 处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（ ）
A． B．20 C．24 D．28
7．（2019八上·陕西期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm B． C． D．9cm
8．（2018八上·郑州期中）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020八下·阿城期末）如图所示，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（ ）
A．4㎝ B．5㎝ C．6㎝ D． ㎝
10．（2020九上·温州开学考）如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD ，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八上·渠县月考）如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需 天才能把隧道凿通．
12．（2020八上·咸阳开学考）有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是 .
13．（2020·抚顺）如图，在 中， ， ，分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，交 于点E，连接 ，若 ，则 的长为 .
14．（2020·绥化）在 中， ，若 ，则 的长是 ．
15．（2020八上·柯桥开学考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ .
16．（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 。
17．（2020八下·重庆期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为 .
18．（2020八下·大石桥期末）如图， ， ， ，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着 方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 .
三、解答题
19．（2015八下·金平期中）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
20．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理 单元检测）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
21．（2020九上·孝南开学考）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，且AE＝DE. 若AB＝20，CD＝30，BC＝50，求AE的长.
22．（2020七下·碑林期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3.求：四边形ABDC的面积.
23．（2020九上·台州月考）如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90，点A，C，D依次在同一直线上，且AB平行DE.
（1）
求证：△ABC≌△DCE
（2）
连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长.
24．（2019八上·抚州月考）如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
25．（2020八下·合肥月考）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则 ．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求 的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画在如图4的网格中，并标出字母 所表示的线段．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴ a2+c2=b2 .
故答案为：C.
【分析】因为B为直角，则B所对的边b为斜边，利用勾股定理列式即知结果.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、82+92≠102不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边= =13，
则斜边中线长是6.5，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面AC=x尺，则斜边为AB=（9-x）尺，根据勾股定理得：
解得：x=4，
∴AC=4尺．
故答案为：B．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9-x）尺，利用勾股定理解题即可．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6；
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理得出8+A=14，进而求出A的面积。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：
过F点作容器上沿的对称点B，过S作SC⊥BC于C，
连接SB，则SB即为最短距离，
由题意得：SC为圆柱体的底面周长的一半， (cm)，
FD=BD=2，
∴B (cm)，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】从点S处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中SC为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图1.
∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴BM=9﹣3=6，BN=5+3=8，∴MN= =10；
如图2.∵AB=9cm，BC=GF=6cm，BF=5cm，∴PM=6+3=9，NP=5，∴MN= = .
∵10＜ ，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10.
故答案为：A.
【分析】利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出MN的长，然后作比较即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】A．∵四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
B．∵三个直角三角形的面积和=梯形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
C．∵四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，∴ ，整理得： ，可以证明勾股定理；
D．不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】观察各选项的图形，A中的图案是四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积；B中的图案是三个直角三角形的面积和=梯形面积；C中的图案是四个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，分别利用直角三角形的面积、梯形的面积、正方形的面积，列出等式化简，均可证得a2+b2=c2，而D不能利用图形面积证明勾股定理，因此可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AD=xcm，
由折叠的性质得：BD=AD=xcm，
∵在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴CD=BC BD=8 x(cm)，AB=10cm，
在Rt△ACD中，AC +CD =AD ，
即：6 +(8 x) =x ，
解得：x= .
故答案为：D.
【分析】首先设AD=xcm，由折叠的性质得：BD=AD=xcm，又由BC=8cm，可得CD=8-x（cm），然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程即可求得AD的长.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD ，
∴AH2＋DH2=AD2=21
即（3DH）2＋DH2=21
解得：DH= ，
∴AH=
由全等三角形的性质可得AE=DH=CG= ，CG：FG=AE：EH=1：2
∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE= ，S△FGN=2S△CGN
∵AH∥CF
∴∠HEN=∠FCM
∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF
∴ AEM≌ CGN， AHN≌ CFM
∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM
∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH= S正方形EFGH= × =
∵S△FGN=2S△CGN
∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN
= S△MNF＋2S△CGN
= S△MNF＋S△FGN
= S四边形MFGN
=
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG= ，CG：FG=AE：EH=1：2，根据全等三角形的判定可证 AEM≌ CGN， AHN≌ CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论.
11．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，
则由勾股定理，得 ，
∴所需的时间为： （天）；
故答案为：10．
【分析】先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间．
12．【答案】225或63
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：92+122=225；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：122-92=144-81=63；
故答案是：225或63.
【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解.
13．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得MN垂直平分AB，∴AE=BE，
设BE=AE=x，∴AC=CE+AE=x+3，
∵AC=2BC，∴BC=，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即（）2+32=x2，解得x1=5，x2=-3（舍去），
∴BE=5.
故答案为：5.
【分析】根据尺规作图，可得MN垂直平分AB，即得AE=BE，可设BE=AE=x，从而可得AC=CE+AE=x+3，BC=AC=，在Rt△BCE中利用勾股定理可得BC2+CE2=BE2，
即（）2+32=x2，解出x的值即可.
14．【答案】17
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
15．【答案】20
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BD，
∵AD2=OA2+OD2，AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，BC2=OB2+OC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2
=22+42=20.
故答案为：20.
【分析】由“垂美”四边形的特点根据勾股定理分别列式，整理可得AD2+BC2=AB2+CD2，则可求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为： ，
故阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【分析】由题意可知直角三角形的斜边长为3，一直角边长为2，利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式就可求出阴影部分的面积。
17．【答案】29
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的边长为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，
根据图形得：4=9=16=x或4=9=x-16，
解得：x=29.
故答案为：29.
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程4=16=x-9，求出即可.
18．【答案】5m
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5.
故答案为：5m.
【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可.
19．【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10，∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
20．【答案】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°；根据勾股定理，得BC= = =12，∴BD=12+2=14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据实际问题画出图形，根据勾股定理求出BC的值，得到发生火灾的住户窗口距离地面的值.
21．【答案】解：设BE＝x，则EC＝50－x.
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝400＋x2
在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝900＋(50－x)2
∵AE＝DE，∴400＋x2＝900＋(50－x)2
∴x＝30.
∴AE2＝400＋x2＝1300，∴AE＝ .
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设BE＝x，则EC＝50－x，利用勾股定理分别在Rt△ABE和Rt△CDE中，建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求出AE的长。
22．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝ ×12×5+ ×3×4＝36.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；再利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形，再根据三角形的面积公式可求四边形ABDC的面积.
23．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠CDE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5，
∴AE==13.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠BAC=∠CDE，然后利用角角边定理证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得CE的长度，然后利用勾股定理求出AE的长即可.
24．【答案】（1）解：正方体有六个表面，表面积为 ．
每个表面的面积为 ；
设棱长为为xcm（ ），即 ，
∴ ，
即棱长为 ；
（2）解：如图1所示：
由题意知：插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线 ，
∵
；
又∵ ，
，
则细木棒露在外面的最短长度为 ．
（3）解：如图2所示：
在Rt△AGB中，AG=GD=DB= ，AB= ，
蚂蚁爬行的路径 ，
蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【知识点】算术平方根；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据表面积，由算术平方根的求法可得正方体的棱长；（2）长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，根据勾股定理求出长方体纸箱的对角线长度，再用细木棒的长度减去长方体纸箱的对角线长度即可；（3）由正方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程．
25．【答案】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即
（2）解：在 中，
在 中，
所以 ，
解得
（3）解：∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a +3ab+b
∴边长为：（a+b），（a+2b）
由此可画出的图形为：
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设BD=x， 是 边上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
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