鲁教版（五四制）九上2.1.1 锐角三角函数-正切 教案

《锐角三角函数(1)》教学设计
教学目标：
知识与技能:
1、理解正切的概念及意义。
2、了解坡角、坡度的概念，能用正切进行简单的计算。
过程与方法：
1、探索刻画梯子倾斜程度的过程，感受正切与现实生活的联系，体会数形结合的数学思想。
2、通过对正切的学习，逐步学会利用数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想，分析问题和解决问题，体会数学在解决实际问题中的应用。
情感态度与价值观：
1、通过探究提高学生对数学的好奇心和求知欲。
2、感受数学来源于生活又应用于生活，理解三角函数与现实生活的联系。
教学重点：
理解锐角正切的概念及意义。
教学难点：
理解为什么正切能够刻画梯子的倾斜程度。
教具准备：
多媒体课件（PPT）
教学方法：
引导—探索法
教学过程：
1、回顾复习
复习：直角三角形中边与边之间的关系、两锐角之间的关系、边与角之间的关系
【设计意图】回顾直角三角形相关知识，为本节课热身。
二、创设情境，导入新课
用多媒体展示生活中与梯子相关的图片，提示生活中使用梯子的时候，有时放得缓有时放得陡，引出如何刻画梯子的倾斜程度。（板书：2.1锐角三角函数—正切）
【设计意图】由学生熟悉的梯子引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动。
三、提出问题，动手实践，探求新知
（一）数学实验
实验工具：课本、直尺
实验过程：用课本做墙壁，尺子当梯子，进行模拟探究，模拟梯子由“缓”变“陡”的过程。
实验思考：
1、梯子在上升变“陡”的过程中，直角三角形中哪些量发生了变化？
2、什么量决定梯子的倾斜程度？
（二）实验结论应用
比较梯子AB和EF哪个更陡
多媒体演示四幅图片
1、出示课件，引导学生指出两个梯子的底部与墙角之间的水平距离不一样，水平距离越小，梯子越陡。（直观感受）
2、出示第二组梯子，先请同学说说感觉哪个梯子更陡，再引导学生发现它们之间的差别，梯子的高度不一样，当水平距离相同时，梯子越高越陡。
3、出示第三组梯子，引导学生发现两个直角三角形相似，梯子的倾斜角相等，所以两个梯子一样陡。
4、出示第四组梯子，因直觉无法判断出哪个更陡（学生可能出现不同的答案），引导学生通过平移的思路，在不改变梯子倾斜程度（做平行线）的前提下，转化为竖直高度相同或水平宽度相同。
引出问题：梯子的陡缓与梯子、地面、墙之间构成的直角三角形有没有关系呢？
明确：竖直高度和水平宽度的比值越大，梯子越陡。
【设计意图】从图1到图4，四个问题由浅入深，有简单到复杂，步步深入，环环相扣，引人入胜。学生在用生活常识和有关知识解决问题时，非常自然地感悟了“用竖直高度和水平宽度的比值”来刻画梯子的倾斜程度。
（三）探索思考
若小明不能顺利测量梯子顶端到墙脚BC的高度
,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？
明确：当梯子的倾斜角一定时，它的竖直高度和水平宽度的比值就一定。
【设计意图】此环节旨在说明当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值便随之确定，也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与三角形的大小无关。
（四）构建新知
1、正切的定义：
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比值也随之确定，这个比叫做
∠A的正切，记作tanA。
tanA的值越大，梯子越陡。
2、温馨提示：正切tanA定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，
∠A是一个锐角.
2）
tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号时习惯省去角的符号“∠”。但角用三个字母表示时如：∠BAC的正切表示为tan∠BAC.
3）
tanA﹥0
没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序）.
4）
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
【设计意图】理解正切的概念和表示，理解tanA是一个很抽象的符号，它代表一个“比”或“比值”，并理解梯子的倾斜程度与倾斜角的正切之间的关系。
四、跟踪评价
(一)判断真假
1.
如图
(1)，tanA=（
）
2.
如图
(2)，tanA=（
）
3.
如图
(2)，tanB=（
）
4.
如图
(2)，tanA=（
）
(二)根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。通过上述计算，你有什么发现？
明确：互余两角的正切值互为倒数
(三)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,tanA=2，求BC的值。
(四)下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
【设计意图】学生独立完成，合作交流，订正完善，规范步骤。
五、想一想
（一）我们知道，可以用正切刻画梯子的倾斜程度，那么，怎样刻画山坡的倾斜程度呢？
点拨：正切可以描述山坡的坡度
坡面与水平面夹角称为坡角，即坡度等于坡角的正切，坡度越大，坡面越陡
【设计意图】旨在让学生理解坡角和坡度。
（二）跟踪评价
1、如下图，某人从山脚A处走了1000米爬到了山顶B处，该山顶到达的高度h为600米，则该山坡的坡度是
2、河堤横断面如上图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是
1:
3
，则AC
的长是（
）
A．5米
B．10米
C．15米
D．10米
【设计意图】由学生独立完成，合作交流，订正完善，规范步骤。
6、应用巩固，形成技能
1、如图，
∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝　　　.
2、某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰。现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来.请你根据图中数据说明这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？
3、如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，高度AC的长为12
m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求增加的宽度BD的长？
【设计意图】通过基本的练习，进一步加强学生对正切和坡度的理解，形成相应的技能
7、课堂小结
引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获。
1、如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比值也随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。
2、等角的正切值相等
3、互余两角的正切值互为倒数
4、当锐角α越来越大时,α的正切值也越来越大.
【设计意图】通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
8、课堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=3，AB=5，则
tanB=(
)
A.
B.
C.
D.
2、一拦水坝的坡度为
，若坝高BC=15
米，求坝面
AB的长
九、作业布置
必做：
课本习题2.1
挑战自己：（选做题）
(2008·泰安)直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则tan∠CBE的值是多少？
【设计意图】如此布置作业，既巩固知识技能，又减轻学生负担
十、板书设计
二、直角三角形的边角关系
锐角三角函数
∠A的正切，记作tanA
tanA=，tanB=
坡角
坡度
∠A的对边
∠A的邻边
A
B
C
A
B
C
(1)
A
B
7m
10m
(2)
C
B
A
C
3
5
A
4
C
2
B
B
A
C
β
乙
5m
┌
13m
6m
┐
8m
α
甲
A
B
C
A
B
C
┌
A
B
C．
13m
24m
A
B
C
C
B
A
6
8
6
8
C
B
A
E
D
A
C
B
a
b
c
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