鲁教版（五四制）九上2.1.2锐角三角函数 教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）九上2.1.2锐角三角函数 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-31 15:57:24 | ||
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文档简介
《锐角三角函数（2）》教学设计
一、教学目标
知识与技能：
1、理解锐角正弦、余弦的意义，并能运用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。
2、能根据正弦、余弦概念正确进行计算。
过程与方法：
1、经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
2、
通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力。
情感态度价值观：
1、在主动参与探索概念的过程中，发展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。
2、培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。
二、教学重点、难点：
重点：理解认识正弦、余弦概念,能用正弦概念进行简单的计算。
难点：1、引导学生比较、分析并得出：对任意给定锐角，它的对边与斜边的比值是固定值。
2、正弦概念的理解.
三、教学方法
本节采用“探究——推理——发现”模式.
四、教学环节
一、复习与回顾环节：（砸金蛋）
1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么tanA的值（
）
A、没有变化
B.
扩大2倍
C.缩小2倍
D、不能确定
2、如图，
Rt△ABC中，
∠C=90°，a=2,
c=4，
那么tanB的值等于
设计意图：通过复习回顾及时掌握学生的学习情况，起到温故而知新的目的。
二、创设情境、引入新知
问题1、“十一”黄金周小明和妈妈来到“母爱圣地——美丽大乳山”游玩，小明在倾斜角30°的山坡上前进200米，同学们知道他上升的高度吗？如果小明选择在倾斜角45°，那么他上升的高度又是多少呢？学生独立思考后回答．可由前面所学的知识和勾股定理得出．从而发现：
设计意图：
（1）结合爬山问题，揭示数学与生活的密切联系，激发学生的兴趣，调动学生的积极性，同时也为新授内容做好铺垫。
(2)培养学生发现数学并将实际问题转化为数学问题的能力，建立数学模型。
三、合作探究，发现新知
画一个20°的∠A,在角的边上任取一点B，作BC⊥AC于点C,量出AB,BC的长（精确到1mm),并计算：
(精确到0.01)
做完后和你的同伴交流计算结果，你发现了什么？
学生发现：他们的比值有的是0.32，0.33，0.34，0.35等都是比较接近的，但是又不完全相同。
教师活动：教师启发引导，为什么会产生这种情况呢？
学生活动：学生回答，我们测量的时候会产生误差，所以会出现这种情况。
下面我们用比较精准的几何画板1给大家演示一下，当改变B点位置变化的时候，请大家观察比值如何变化？（学生观察发现：
的比值不会随着B点位置变化而改变）
接着继续追问：同学们这个结论是在20°的情况下得到的，换成其他的任意角α，结论还成立吗？
接着让学生继续观察几何画板2，改变B点位置变化，比值如何变化？改变∠A,的大小，比值如何变化？
这个结论是我们通过实验探究得到的，那我们能否从理论给予证明呢?学生可以通过相似三角形的知识进行证明发现，B点位置的变化与
比值无关。
设计意图：利用几何画板课件中几何图形的动态演变，解释知识形成的过程，进而促成学生对知识的主动建构；学生通过观察、实验、验证结论成立，从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，获得一些体验，并且通过自主探索，合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行解释和应用。”
自变量
角度
20°
30°
45°
因变量
比值
0.34
通过实验探究引导学生观察表格，通过这一环节，让学生领悟到锐角和比值之间存在着比值随着锐角A改变而改变的对应关系。发现比值和角度之间是一种新的函数关系，从而得出正弦余弦的定义，起到了水到渠成的功效。通过证明认识到“在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值”的结论，从而引出“正弦”的概念，突出重点.
四、深化新知，形成概念
1、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，
其对边与斜边的比、邻边与斜边的比是唯一确定的。
2、请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．正弦、余弦、正切统称锐角三角函数。学习了定义以后，下面我们来学习正弦余弦的表示方法:给同学们三点温馨提示：
（1）用一个大写英文字母或希腊字母表示的角或具体角度，其正弦习惯省去角的符号“∠”。如：
sinA,
sin，
sin30°
（2）用三个大写字母或数字表示的角，其正弦要保留
“∠”
sin∠BAC,
sin∠1
（3）sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，不表示
sin
乘以A，不能写成sin.A
设计意图:学习了正弦的概念之后，给学生强调它的书写规范性，使学生养成良好的书写习惯。
设计意图：你会书写吗?根据温馨提示：马上对学生进行书写规范性的检查。
3、思考：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数自变量、因变量的取值范围吗？先让学生独立思考，尝试回答，交流结果：
明确：
自变量取值范围是：0°＜∠A＜90°
因变量的范围是：0＜sin＜1，0＜cos＜1
4、火眼金睛辫对错：如图所示，在Rt△ABC中，AB=10,BC=6,下列说法正确的是：
(1)sinA
=
(
)
(2)cosB
=
(
)
(3)
sinA
=
0.6m
(
)
(4)
cosB
=
0.8
（
）
评测目的：这组题目是对正弦、余弦定义的直接应用。通过判断正误，强化学生对概念的强化理解；检测对目标的达成情况。
5、典例解析：如图：在一个Rt△ABC中，∠C＝90°,AB=5，BC=3，
求:(1)∠A的正弦、余弦
(2)∠B的正弦、余弦
观察（1）和（2)中的结果，你发现了什么？
若∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB,cosA=sinB
设计意图：例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦、余弦，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．同时发现规律，并且加以验证，这些新的发现，对学生今后的学习帮助很大，所以要求学生理解并且掌握。
深入思考，变式例题
变式1、在一个Rt△ABC中,∠C＝90°,
,
求∠A的余弦
变式2、在一个Rt△ABC中,∠C＝90°,cos∠B=
,
求∠A的余弦
反思1：在直角三角形中，已知什么条件，可以求得锐角三角函数值？
学生发现：①在直角三角形中，已知两条边，可以求得锐角三角函数值。
②在直角三角形中，已知两条边的比，可以求得锐角三角函数值。
③在直角三角形中，已知一个锐角的三角函数值，可以求得另一个锐角的三角函数值，或者也可以求得这个锐角的其它三角函数值。
设计意图：通过变式题组练习，以及反思让学生灵活掌握求锐角三角函数的基本方法，希望学生在反思与总结中不断进步成长。
6、解决问题:妈妈在倾斜角为20°的山坡上前进100米时，升高的高度为多少呢?
解：在Rt△ABC,
sin20°=
BC=100sin20°≈100×0.34=34
答：上升的高度约是34米。
设计意图：把正弦回归到实际问题的坡度中，达成数学源于生活，服务于生活的理念，激发学生学习的积极性。会用正弦、余弦解决有关问题如：测量、建筑、工程技术等。?
7、合作探究
随着∠A变大，sinA,cosA的值如何变化？如何用正弦、余弦值来刻画梯子的陡与缓呢？
设计意图：先让学生合作探究讨论，然后用几何画板加以验证。从而得出:
∠A越大，sinA的值越大，梯子越陡；
∠A越大，cosA的值越小，梯子越陡。
五、理解概念、应用提升
1、大显身手：若Rt△ABC中，CD是斜边上的高，CD=2，
BC=5，求sin
∠ACD
学生小结:①求一个锐角三角函数值可以根据定义来求。
②求一个锐角的三角函数值可以转化为其等角的三角函数值。
③利用相似三角形的知识可以求得锐角三角函数值。
设计意图：这组问题的设计是为了强化模型“双垂三角形”中，利用角等则值等进行转化，教师要关注学生对转化思想的理解以及数学建模的能力的培养。要使学生会灵活运用正弦来解决相关问题。而且学生在大显身手环节，积极动脑，勇于探索，一题多解，方法灵活多样，各有特色，表现得非常棒。
2、挑战自我
已知，在平面直角坐标系中，点P坐标为（3,4），求射线OP与x轴夹角的余弦。
反思3：
解完此题，你有什么新的收获？那位同学愿意与同学分享一下？
设计意图：
先给学生独立思考时间，学生的方法灵活多样，及时给与表扬，当我们求一个锐角三角函数的时候，没有见到直角三角形，这时需要构造一个包含这个锐角的直角三角形，应到学生学会添加辅助线。
六、回顾与反思
教师活动：引导学生思考回答.
学生活动：回顾、思考、组织语言回答.
设计意图：
引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思，提炼以及将知识纳入自己的知识结构.
七、阳光作业
伴你学：必做：P24基础演练
选做：P25能力提升10,11
数学格言
宇宙之大,
粒子之微,
火箭之速,
化工之巧,
地球之变,
生物之谜,
日用之繁,
无处不用数学
——华罗庚
设计意图:让学生认识到数学是一切科学的得力助手和工具，所以要学好数学，用好数学。让学生认识到学习的重要性。
当∠A
=30°时，
当∠A
=45°时，
问题2、
比如小明妈妈选择在倾斜角20°山坡上前进100米，同学们知道她上升的高度吗？
在现实生活中，我们遇到的更多的是非特殊角，你们用前面所学的知识能解决这个问题吗？学生回答不能，那么我们要解决这个问题，必须知道20°所对的直角边与斜边之比，从而为下面的探究做好铺垫，起到承上启下的作用。
B
A
C
反思2：通过刚才求锐角三角函数值，同学们积累了哪些经验？
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
y
P（3,
4）
y
x
O
PAGE
7
一、教学目标
知识与技能：
1、理解锐角正弦、余弦的意义，并能运用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。
2、能根据正弦、余弦概念正确进行计算。
过程与方法：
1、经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
2、
通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力。
情感态度价值观：
1、在主动参与探索概念的过程中，发展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。
2、培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。
二、教学重点、难点：
重点：理解认识正弦、余弦概念,能用正弦概念进行简单的计算。
难点：1、引导学生比较、分析并得出：对任意给定锐角，它的对边与斜边的比值是固定值。
2、正弦概念的理解.
三、教学方法
本节采用“探究——推理——发现”模式.
四、教学环节
一、复习与回顾环节：（砸金蛋）
1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么tanA的值（
）
A、没有变化
B.
扩大2倍
C.缩小2倍
D、不能确定
2、如图，
Rt△ABC中，
∠C=90°，a=2,
c=4，
那么tanB的值等于
设计意图：通过复习回顾及时掌握学生的学习情况，起到温故而知新的目的。
二、创设情境、引入新知
问题1、“十一”黄金周小明和妈妈来到“母爱圣地——美丽大乳山”游玩，小明在倾斜角30°的山坡上前进200米，同学们知道他上升的高度吗？如果小明选择在倾斜角45°，那么他上升的高度又是多少呢？学生独立思考后回答．可由前面所学的知识和勾股定理得出．从而发现：
设计意图：
（1）结合爬山问题，揭示数学与生活的密切联系，激发学生的兴趣，调动学生的积极性，同时也为新授内容做好铺垫。
(2)培养学生发现数学并将实际问题转化为数学问题的能力，建立数学模型。
三、合作探究，发现新知
画一个20°的∠A,在角的边上任取一点B，作BC⊥AC于点C,量出AB,BC的长（精确到1mm),并计算：
(精确到0.01)
做完后和你的同伴交流计算结果，你发现了什么？
学生发现：他们的比值有的是0.32，0.33，0.34，0.35等都是比较接近的，但是又不完全相同。
教师活动：教师启发引导，为什么会产生这种情况呢？
学生活动：学生回答，我们测量的时候会产生误差，所以会出现这种情况。
下面我们用比较精准的几何画板1给大家演示一下，当改变B点位置变化的时候，请大家观察比值如何变化？（学生观察发现：
的比值不会随着B点位置变化而改变）
接着继续追问：同学们这个结论是在20°的情况下得到的，换成其他的任意角α，结论还成立吗？
接着让学生继续观察几何画板2，改变B点位置变化，比值如何变化？改变∠A,的大小，比值如何变化？
这个结论是我们通过实验探究得到的，那我们能否从理论给予证明呢?学生可以通过相似三角形的知识进行证明发现，B点位置的变化与
比值无关。
设计意图：利用几何画板课件中几何图形的动态演变，解释知识形成的过程，进而促成学生对知识的主动建构；学生通过观察、实验、验证结论成立，从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，获得一些体验，并且通过自主探索，合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行解释和应用。”
自变量
角度
20°
30°
45°
因变量
比值
0.34
通过实验探究引导学生观察表格，通过这一环节，让学生领悟到锐角和比值之间存在着比值随着锐角A改变而改变的对应关系。发现比值和角度之间是一种新的函数关系，从而得出正弦余弦的定义，起到了水到渠成的功效。通过证明认识到“在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值”的结论，从而引出“正弦”的概念，突出重点.
四、深化新知，形成概念
1、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，
其对边与斜边的比、邻边与斜边的比是唯一确定的。
2、请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．正弦、余弦、正切统称锐角三角函数。学习了定义以后，下面我们来学习正弦余弦的表示方法:给同学们三点温馨提示：
（1）用一个大写英文字母或希腊字母表示的角或具体角度，其正弦习惯省去角的符号“∠”。如：
sinA,
sin，
sin30°
（2）用三个大写字母或数字表示的角，其正弦要保留
“∠”
sin∠BAC,
sin∠1
（3）sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，不表示
sin
乘以A，不能写成sin.A
设计意图:学习了正弦的概念之后，给学生强调它的书写规范性，使学生养成良好的书写习惯。
设计意图：你会书写吗?根据温馨提示：马上对学生进行书写规范性的检查。
3、思考：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数自变量、因变量的取值范围吗？先让学生独立思考，尝试回答，交流结果：
明确：
自变量取值范围是：0°＜∠A＜90°
因变量的范围是：0＜sin＜1，0＜cos＜1
4、火眼金睛辫对错：如图所示，在Rt△ABC中，AB=10,BC=6,下列说法正确的是：
(1)sinA
=
(
)
(2)cosB
=
(
)
(3)
sinA
=
0.6m
(
)
(4)
cosB
=
0.8
（
）
评测目的：这组题目是对正弦、余弦定义的直接应用。通过判断正误，强化学生对概念的强化理解；检测对目标的达成情况。
5、典例解析：如图：在一个Rt△ABC中，∠C＝90°,AB=5，BC=3，
求:(1)∠A的正弦、余弦
(2)∠B的正弦、余弦
观察（1）和（2)中的结果，你发现了什么？
若∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB,cosA=sinB
设计意图：例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦、余弦，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．同时发现规律，并且加以验证，这些新的发现，对学生今后的学习帮助很大，所以要求学生理解并且掌握。
深入思考，变式例题
变式1、在一个Rt△ABC中,∠C＝90°,
,
求∠A的余弦
变式2、在一个Rt△ABC中,∠C＝90°,cos∠B=
,
求∠A的余弦
反思1：在直角三角形中，已知什么条件，可以求得锐角三角函数值？
学生发现：①在直角三角形中，已知两条边，可以求得锐角三角函数值。
②在直角三角形中，已知两条边的比，可以求得锐角三角函数值。
③在直角三角形中，已知一个锐角的三角函数值，可以求得另一个锐角的三角函数值，或者也可以求得这个锐角的其它三角函数值。
设计意图：通过变式题组练习，以及反思让学生灵活掌握求锐角三角函数的基本方法，希望学生在反思与总结中不断进步成长。
6、解决问题:妈妈在倾斜角为20°的山坡上前进100米时，升高的高度为多少呢?
解：在Rt△ABC,
sin20°=
BC=100sin20°≈100×0.34=34
答：上升的高度约是34米。
设计意图：把正弦回归到实际问题的坡度中，达成数学源于生活，服务于生活的理念，激发学生学习的积极性。会用正弦、余弦解决有关问题如：测量、建筑、工程技术等。?
7、合作探究
随着∠A变大，sinA,cosA的值如何变化？如何用正弦、余弦值来刻画梯子的陡与缓呢？
设计意图：先让学生合作探究讨论，然后用几何画板加以验证。从而得出:
∠A越大，sinA的值越大，梯子越陡；
∠A越大，cosA的值越小，梯子越陡。
五、理解概念、应用提升
1、大显身手：若Rt△ABC中，CD是斜边上的高，CD=2，
BC=5，求sin
∠ACD
学生小结:①求一个锐角三角函数值可以根据定义来求。
②求一个锐角的三角函数值可以转化为其等角的三角函数值。
③利用相似三角形的知识可以求得锐角三角函数值。
设计意图：这组问题的设计是为了强化模型“双垂三角形”中，利用角等则值等进行转化，教师要关注学生对转化思想的理解以及数学建模的能力的培养。要使学生会灵活运用正弦来解决相关问题。而且学生在大显身手环节，积极动脑，勇于探索，一题多解，方法灵活多样，各有特色，表现得非常棒。
2、挑战自我
已知，在平面直角坐标系中，点P坐标为（3,4），求射线OP与x轴夹角的余弦。
反思3：
解完此题，你有什么新的收获？那位同学愿意与同学分享一下？
设计意图：
先给学生独立思考时间，学生的方法灵活多样，及时给与表扬，当我们求一个锐角三角函数的时候，没有见到直角三角形，这时需要构造一个包含这个锐角的直角三角形，应到学生学会添加辅助线。
六、回顾与反思
教师活动：引导学生思考回答.
学生活动：回顾、思考、组织语言回答.
设计意图：
引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思，提炼以及将知识纳入自己的知识结构.
七、阳光作业
伴你学：必做：P24基础演练
选做：P25能力提升10,11
数学格言
宇宙之大,
粒子之微,
火箭之速,
化工之巧,
地球之变,
生物之谜,
日用之繁,
无处不用数学
——华罗庚
设计意图:让学生认识到数学是一切科学的得力助手和工具，所以要学好数学，用好数学。让学生认识到学习的重要性。
当∠A
=30°时，
当∠A
=45°时，
问题2、
比如小明妈妈选择在倾斜角20°山坡上前进100米，同学们知道她上升的高度吗？
在现实生活中，我们遇到的更多的是非特殊角，你们用前面所学的知识能解决这个问题吗？学生回答不能，那么我们要解决这个问题，必须知道20°所对的直角边与斜边之比，从而为下面的探究做好铺垫，起到承上启下的作用。
B
A
C
反思2：通过刚才求锐角三角函数值，同学们积累了哪些经验？
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
y
P（3,
4）
y
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