鲁教版（五四制）九上1.2 反比例函数的图像与性质 教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）九上1.2 反比例函数的图像与性质 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 203.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-31 15:57:24 | ||
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文档简介
反比例函数的图像与性质
1、
教学目标
（一）知识目标：
1、进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数的性质。
2、体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想的认识。
（二）能力目标：
培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。
（三）情感目标：
通过对反比例函数图象的探究，体现数学的直观形象美，激发学生兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲。
2、
教学重点
反比例函数的图象和性质；
教学难点
反比例函数的图象特点及性质的探究
3、
教法学法
针对九年级学生的心理特点和年龄特征及现有的知识水平，本节课我准备采用激发诱导、探索交流、讲练结合三位一体的教学方式，充分体现老师的主导作用和学生的主体地位。通过“设疑——讨论、探索——解惑”的过程，再加上多媒体手段的应用，最大限度的调动学生的积极性和主动性。
根据学生的认知规律，在学法上，通过学生动手、动口、动脑，采用自主、合作、探究的学习方法，提高学生解决问题的能力。
教具准备：多媒体，坐标纸。
4、
教学过程
（一）回顾引新
1、目前为止，你已经学过哪些函数？举例说明
生会回答：一次函数、正比例函数、反比例函数
举例：y=4x,
y=4x-2,y=等。
2、对于一次函数及正比例函数，你都了解哪些方面的性质呢？结合例子说明。
生会回答：形状、图像的位置、增减性（小组交流）
3、那么反比例函数的图像又是什么样的呢？有哪些性质呢？你打算用什么方法探究？
类比一次函数的探究方法，即先画图像，根据图像总结性质。
师点拨：（多媒体显示）研究函数的基本思路：
函数的定义————函数的性质————函数的应用，而要研究函数的性质，必须要结合函数的图像，这也体现出数学中的重要的思想方法——数形结合，这将是我们解决函数问题的基本策略。
华罗庚教授曾深刻指出：“数缺形时少直观；形无数时难入微；数形结合百般好，二者脱离万事休”。这句话深刻地描述了数形结合思想在数学学习中的重要性。
4、那么，请同学们想一想，此函数的图象还是不是直线呢？
俗话说，事实胜于雄辩。这就需要我们动手去做一做，才能得出结论，本节课就让我们一起来实践吧。
教学设计：通过对正比例函数及其图象的复习，为引入反比例函数的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。
（二）尝试发现
探索新知
画反比例函数的图象
1、同学们还记得作函数图象的步骤吗？
（列表、描点、连线）
2、下面请同学们试着作出反比例函数的图象。
学生动手画图，师巡视、指导。
教学设计：因为学生初次遇到非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图过程中，我给学生充足的思考和交流时间。
3、选具有代表性的几位同学的作品用投影展示）
现在出现四种不同类型图象，请同学们认真观察、分析，他们画的都正确吗？如果不正确，请指出错在哪里？
（小组交流，合作探究；在展示时，对学生的回答予以恰当的指导并鼓励表扬）
图（1）：不明确自变量x的取值范围，解析式中x≠0，即x＞0或x＜0皆可。表中的取值只有x＞0，缺少了x＜0的部分，因此图（1）是不完整的图像。
图（2）与图（3）：取的点的个数太少，因为表中的值取得过少，因此图像的发展趋势不明显。由于图像不是一条直线，取的点太少，就容易连成折线；如果多取一些点，就不会出现这个问题。
图（4）：图像不应与x轴、y轴相交。为什么呢？首先，我们知道x≠0，因此图像不可能与y轴相交；又因为k≠0.所以y≠0，图像也不可能与x轴相交。
4、教师利用多媒体演示图像的准确做法，同时说明两点：
①x的值最好取一对对互为相反数的值，因为这样y的值也是互为相反数——所描的点将是关于原点对称的；
②y的值尽量凑整，或者是便于描点的分数。例如，……
这两个要求，看起来是对数值的要求，实质上是为了将图像画得更准确；也就是说“数”为“形”服务——这也是“数形结合”思想在解决问题过程中的细微之处的灵活运用。
5、议一议：
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流。
学生容易总结出：
①、在列表时，自变量的取值应取绝对值相等而符号相反时的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；
②、列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；
③、在连线时要用“光滑”的曲线，不能用折线。
④、图象具有无限延伸性，但不与坐标轴相交。（点动画）
（多媒体汇总出4条注意事项）
设计说明：通过展示几种典型的错误作图，引导学生交流讨论，分析并发现问题、归纳总结出作反比例函数图象时要特别注意的几个问题。这样设计，通过自我尝试、发现问题、纠正错误的过程，以及学生自主探究、合作交流、反馈评价，培养学生团结协作的情感和勇于探索、创新的精神；而生动形象的多媒体表现形式，更激发了学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生对数学的兴趣。。
通过设置图象与坐标轴能否相交的问题,加深了学生对反比例函数的记忆，培养了学生思维的灵活性和深刻性。
6、做一做
请同学们动手用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象。
（多媒体演示正确图象，让学生对照参考；组长负责检查评价）
7、想一想
反比例函数的图像有什么共同特征？它们之间有什么关系？
根据学生回答情况，引导归纳出：
1、形状：反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线组成的，并指出这两支曲线称为双曲线。
2、位置：反比例函数y=4/x的图象位于第一、三象限内，而y=-4/x的图象位于第二、四象限内。
反思：位置与？的值有关？学生应该能够回答出：k的值；当k＞0时，图像位于一、三象限；当k＜0时，图像位于二、四象限。
3、增减性：，
引导学生首先从图像上观察分析（多媒体演示——形），再从表中的数值观察分析——“数”的角度，体现“数形结合”的一致性。
质疑：为什么说在“每一象限内”？
多媒体演示：取不同的分支上的两点？
4、两个图像之间的关系：关于x轴、y轴对称；
5、每个图像自身的对称性：（多媒体动画演示）
（1）中心对称：①观察表中数值——数。
②多媒体演示——形数形结合
（2）轴对称：①先让学生动手操作②多媒体演示③观察表中数值
对称轴的直线表达式？
设计说明：通过对反比例函数图象的观察、分析、归纳，初步感知双曲线的特征，为下一步总结反比例函数的性质埋下伏笔。
设计说明：多媒体演示，既增强了直观性，同时也使同学们从中感悟图形美。
8、观察函数与的图像，：刚才所找的结论是否成立？观察分析，合作交流，分组讨论。小组代表发言。
（三）：概括总结
形成体系
完成下表（在前面的表格的基础上补充，照着正比例函数的栏目）
函
数
正比例函数
反比例函数
图
象
解析式
y=kx(k≠0)
y=k/x(k≠0)
自变量取值范围
全体实数
x≠0的一切实数
图象的位置
k>0时,在一、三象限
k>0时,在一、三象限
k<0时,在二、四象限
k<0时,在二、四象限
性
质
k>0时,y随x增大而增大
k>0时,y随x增大而减小
k<0时,y随x增大而减小
k<0时,y随x增大而增大
点击：数形结合，再点击——“形帮数”
（四）、内化知识
点击：A组：
1、flash里的小试牛刀那两道题
2、flash里的拓展训练里的第（3）题
3、反比例函数上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若x1<
x2，则y1和y2有怎样的关系？
再点击：在第3题后出现——分类讨论（这四个字醒目些）
B组：（选做题）：
在反比例函数
(a为常数)的图象上有
A(-3，y1)、B(-1，y2)、C(2，y3)三点，则函数值y1、y2、y3的大小关系是________。
（五）、探索提升
点击：k的几何意义
在一个反比例函数（k＞0）的图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与
S2有什么关系？为什么？
动画显示
点击：若在反比例函数的图像上任取一点，过这一点分别作x轴y轴的平行线，设与坐标轴围成的矩形面积为S，则S与k之间有何关系？
（在上图中连线即可）
点击：S=|k|
（分类讨论思想——k＞0，k＜0）
点击：若将这一点与原点连接，则所得的三角形的面积又如何表示？点击：S=|k|
（6）
畅谈收获（知识方面、能力方面、情感方面）
我学会了……
使我感触最深的是……
我感到收获最大的是……
（7）
课后延伸
1、下列函数中，其图象图象第一、三象限的有
；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有
（1）
（2）（3）
（4）
2、若y=(a-1)xa是反比例函数，则它的解析式为
,它的图象在第
象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而
3、若点A(7,
y1)，点B(5,
y2)在双曲线上，则y1与y2的大小关系是
在此基础上做变式训练。
（1）若A(7,
y1)，点B(5,
y2)呢？
（2）若A(7,
y1)，点B(5,
y2)呢？
（3）若A(7,
y1)，点B(5,
y2)呢？
1、
教学目标
（一）知识目标：
1、进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数的性质。
2、体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想的认识。
（二）能力目标：
培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。
（三）情感目标：
通过对反比例函数图象的探究，体现数学的直观形象美，激发学生兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲。
2、
教学重点
反比例函数的图象和性质；
教学难点
反比例函数的图象特点及性质的探究
3、
教法学法
针对九年级学生的心理特点和年龄特征及现有的知识水平，本节课我准备采用激发诱导、探索交流、讲练结合三位一体的教学方式，充分体现老师的主导作用和学生的主体地位。通过“设疑——讨论、探索——解惑”的过程，再加上多媒体手段的应用，最大限度的调动学生的积极性和主动性。
根据学生的认知规律，在学法上，通过学生动手、动口、动脑，采用自主、合作、探究的学习方法，提高学生解决问题的能力。
教具准备：多媒体，坐标纸。
4、
教学过程
（一）回顾引新
1、目前为止，你已经学过哪些函数？举例说明
生会回答：一次函数、正比例函数、反比例函数
举例：y=4x,
y=4x-2,y=等。
2、对于一次函数及正比例函数，你都了解哪些方面的性质呢？结合例子说明。
生会回答：形状、图像的位置、增减性（小组交流）
3、那么反比例函数的图像又是什么样的呢？有哪些性质呢？你打算用什么方法探究？
类比一次函数的探究方法，即先画图像，根据图像总结性质。
师点拨：（多媒体显示）研究函数的基本思路：
函数的定义————函数的性质————函数的应用，而要研究函数的性质，必须要结合函数的图像，这也体现出数学中的重要的思想方法——数形结合，这将是我们解决函数问题的基本策略。
华罗庚教授曾深刻指出：“数缺形时少直观；形无数时难入微；数形结合百般好，二者脱离万事休”。这句话深刻地描述了数形结合思想在数学学习中的重要性。
4、那么，请同学们想一想，此函数的图象还是不是直线呢？
俗话说，事实胜于雄辩。这就需要我们动手去做一做，才能得出结论，本节课就让我们一起来实践吧。
教学设计：通过对正比例函数及其图象的复习，为引入反比例函数的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。
（二）尝试发现
探索新知
画反比例函数的图象
1、同学们还记得作函数图象的步骤吗？
（列表、描点、连线）
2、下面请同学们试着作出反比例函数的图象。
学生动手画图，师巡视、指导。
教学设计：因为学生初次遇到非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图过程中，我给学生充足的思考和交流时间。
3、选具有代表性的几位同学的作品用投影展示）
现在出现四种不同类型图象，请同学们认真观察、分析，他们画的都正确吗？如果不正确，请指出错在哪里？
（小组交流，合作探究；在展示时，对学生的回答予以恰当的指导并鼓励表扬）
图（1）：不明确自变量x的取值范围，解析式中x≠0，即x＞0或x＜0皆可。表中的取值只有x＞0，缺少了x＜0的部分，因此图（1）是不完整的图像。
图（2）与图（3）：取的点的个数太少，因为表中的值取得过少，因此图像的发展趋势不明显。由于图像不是一条直线，取的点太少，就容易连成折线；如果多取一些点，就不会出现这个问题。
图（4）：图像不应与x轴、y轴相交。为什么呢？首先，我们知道x≠0，因此图像不可能与y轴相交；又因为k≠0.所以y≠0，图像也不可能与x轴相交。
4、教师利用多媒体演示图像的准确做法，同时说明两点：
①x的值最好取一对对互为相反数的值，因为这样y的值也是互为相反数——所描的点将是关于原点对称的；
②y的值尽量凑整，或者是便于描点的分数。例如，……
这两个要求，看起来是对数值的要求，实质上是为了将图像画得更准确；也就是说“数”为“形”服务——这也是“数形结合”思想在解决问题过程中的细微之处的灵活运用。
5、议一议：
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流。
学生容易总结出：
①、在列表时，自变量的取值应取绝对值相等而符号相反时的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；
②、列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；
③、在连线时要用“光滑”的曲线，不能用折线。
④、图象具有无限延伸性，但不与坐标轴相交。（点动画）
（多媒体汇总出4条注意事项）
设计说明：通过展示几种典型的错误作图，引导学生交流讨论，分析并发现问题、归纳总结出作反比例函数图象时要特别注意的几个问题。这样设计，通过自我尝试、发现问题、纠正错误的过程，以及学生自主探究、合作交流、反馈评价，培养学生团结协作的情感和勇于探索、创新的精神；而生动形象的多媒体表现形式，更激发了学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生对数学的兴趣。。
通过设置图象与坐标轴能否相交的问题,加深了学生对反比例函数的记忆，培养了学生思维的灵活性和深刻性。
6、做一做
请同学们动手用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象。
（多媒体演示正确图象，让学生对照参考；组长负责检查评价）
7、想一想
反比例函数的图像有什么共同特征？它们之间有什么关系？
根据学生回答情况，引导归纳出：
1、形状：反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线组成的，并指出这两支曲线称为双曲线。
2、位置：反比例函数y=4/x的图象位于第一、三象限内，而y=-4/x的图象位于第二、四象限内。
反思：位置与？的值有关？学生应该能够回答出：k的值；当k＞0时，图像位于一、三象限；当k＜0时，图像位于二、四象限。
3、增减性：，
引导学生首先从图像上观察分析（多媒体演示——形），再从表中的数值观察分析——“数”的角度，体现“数形结合”的一致性。
质疑：为什么说在“每一象限内”？
多媒体演示：取不同的分支上的两点？
4、两个图像之间的关系：关于x轴、y轴对称；
5、每个图像自身的对称性：（多媒体动画演示）
（1）中心对称：①观察表中数值——数。
②多媒体演示——形数形结合
（2）轴对称：①先让学生动手操作②多媒体演示③观察表中数值
对称轴的直线表达式？
设计说明：通过对反比例函数图象的观察、分析、归纳，初步感知双曲线的特征，为下一步总结反比例函数的性质埋下伏笔。
设计说明：多媒体演示，既增强了直观性，同时也使同学们从中感悟图形美。
8、观察函数与的图像，：刚才所找的结论是否成立？观察分析，合作交流，分组讨论。小组代表发言。
（三）：概括总结
形成体系
完成下表（在前面的表格的基础上补充，照着正比例函数的栏目）
函
数
正比例函数
反比例函数
图
象
解析式
y=kx(k≠0)
y=k/x(k≠0)
自变量取值范围
全体实数
x≠0的一切实数
图象的位置
k>0时,在一、三象限
k>0时,在一、三象限
k<0时,在二、四象限
k<0时,在二、四象限
性
质
k>0时,y随x增大而增大
k>0时,y随x增大而减小
k<0时,y随x增大而减小
k<0时,y随x增大而增大
点击：数形结合，再点击——“形帮数”
（四）、内化知识
点击：A组：
1、flash里的小试牛刀那两道题
2、flash里的拓展训练里的第（3）题
3、反比例函数上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若x1<
x2，则y1和y2有怎样的关系？
再点击：在第3题后出现——分类讨论（这四个字醒目些）
B组：（选做题）：
在反比例函数
(a为常数)的图象上有
A(-3，y1)、B(-1，y2)、C(2，y3)三点，则函数值y1、y2、y3的大小关系是________。
（五）、探索提升
点击：k的几何意义
在一个反比例函数（k＞0）的图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与
S2有什么关系？为什么？
动画显示
点击：若在反比例函数的图像上任取一点，过这一点分别作x轴y轴的平行线，设与坐标轴围成的矩形面积为S，则S与k之间有何关系？
（在上图中连线即可）
点击：S=|k|
（分类讨论思想——k＞0，k＜0）
点击：若将这一点与原点连接，则所得的三角形的面积又如何表示？点击：S=|k|
（6）
畅谈收获（知识方面、能力方面、情感方面）
我学会了……
使我感触最深的是……
我感到收获最大的是……
（7）
课后延伸
1、下列函数中，其图象图象第一、三象限的有
；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有
（1）
（2）（3）
（4）
2、若y=(a-1)xa是反比例函数，则它的解析式为
,它的图象在第
象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而
3、若点A(7,
y1)，点B(5,
y2)在双曲线上，则y1与y2的大小关系是
在此基础上做变式训练。
（1）若A(7,
y1)，点B(5,
y2)呢？
（2）若A(7,
y1)，点B(5,
y2)呢？
（3）若A(7,
y1)，点B(5,
y2)呢？