鲁教版(五四制)九上1.2 反比例函数图像与性质 教案

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名称 鲁教版(五四制)九上1.2 反比例函数图像与性质 教案
格式 doc
文件大小 170.0KB
资源类型 教案
版本资源 鲁教版
科目 数学
更新时间 2021-08-31 15:57:24

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文档简介

【教学设计】反比例函数的图像与性质
课型:新授课
课时:1课时
教学目标:
知识与技能:
探索并理解反比例函数的“增减性”和“面积不变性”。
过程与方法:
通过探究活动,进一步培养数形结合的意识和能力。
情感态度与价值观:
感受分类、转化、数形结合等思想在函数中的应用,同时养成独立思考、合作交流等学习习惯。
教学重点难点:
重点:反比例函数的“增减性”和“k值几何意义”的探索。
难点:对增减性和k值几何意义的深层次理解。
教材的地位与作用:
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型。学生曾学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数已经有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后继学习(如二次函数等)会产生积极影响。
教法与学法指导:
教法:从师生互动出发,在整体设计中采用“问题引导—合作交流—探究性质”的模式安排教学。
学法:在“数形结合思想”的背景下,以问题为主线,引导全员参与,全过程参与,经历知识的形成与应用过程。以达到提高能力,主动发展的目的。
课前准备:多媒体,导学案.
教学过程:
一、明确学习目标
【设计意图】:
出示本节课的学习目标,让学生明白本节课的学习任务,做到目标贯通课堂,目标引领教学。
二、复习回顾:
1、观察k>0时,三个反比例函数的图像,发现共同之处。
【学生活动】:学生观察PPT上的图像并口答。
【设计意图】:
复习上节课所学,同时为探究k>0时的增减性做铺垫。
2、回顾一次函数的增减性
【学生活动】:学生根据PPT上的内容口答。
【设计意图】:
类比一次函数,自然过渡到需从k>0和k<0两方面去探索反比例函数的增减性,体现了数学中的分类讨论思想,顺势进入到下一个环节:以y=6/x为例,探索当k>0时,反比例函数的增减性。
三、合作探究
1、探究k>0时的增减性(以y=6/x为例)
x

-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6

y=6/x

-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1

观察函数列表,并思考:(1)x的值是怎样变化的?一直变大。(2)y值是怎样变化的,从-1,-1.2,-1.5,-2,是变小了,教师追问:是一直在变小吗?显然不是。然后教师问学生,我可以这样描述k>0时反比例函数的增减性吗?我说,当k>0时,y随x的增大而减小。显然是不行的。教师追问:那应该如何来描述呢?
【设计意图】:先让学生单纯的从“数”(即函数列表)的角度观察随x值的增大,y值的变化情况,学生容易发现:随x值的增大,y值并不是一直在变小的,让学生明白不能将增减性简单描述为:当k>0时,y随x的增大而减小。教师适时追问“那应该怎样来描述呢?”这一问引发学生继续思考,激发探索的欲望。
引导学生继续观察函数列表,找到出现问题的地方,将问题处用一条虚线隔开,先观察间隔线左侧部分,教师提出问题:随x值的增大,y值怎样变化?并引导学生发现这部分点位于第三象限内,然后再观察间隔线右侧的部分,提问:随x值的增大,y值怎样变化?并引导学生发现这部分点位于第一象限内。紧接着,师生来共同来观察一下图像走势,引导学生发现:在第一象限和第三象限内,图像走势都是下降的,说明函数值y都在变小。最后由学生总结归纳k>0时反比例函数的增减性。
【设计意图】:将函数列表:“一分为二”进行分析,意在向学生暗示:在整个定义域内,随x值的增大,y值并不是一直在变小的,但是在每个象限内,随x值的增大,y值是一直在变小的。从而揭示:描述反比例函数的增减性时,务必要注意“在每一象限内”这一条件。观察图像走势,意在渗透数形结合的思想,我们研究函数需从“数与形”两方面着手,因为“数无形不直观,形无数不入微”。
在第一象限内的图像上任取两点A和B,观察随x值的增大,y值的变化情况
【设计意图】:此环节意在让学生对增减性有一个更直观的认识,
很明显,借助于图像的直观性,容易得到:当x1y2。
2、探究k<0时的增减性
类比探讨k>0时的增减性所思考的问题,由学生自主探索,合作交流、归纳总结。
【设计意图】:师生共同分析了k>0时的增减性,对于k<0时的增减性由学生小组合作探究,意在提高学生的探索分析、合作学习和解决问题的能力。
3、归纳总结
学生总结概括反比例函数的增减性,教师提醒学生注意:(1)这里分k>0和k<0两种情况,体现了数学中的分类思想。(2)k的正负、函数增减性、图像走势这三者存在一定的关系,可以说只要知道其中一个,就可以得到另外两个,三者之间存在数与形的相互转化。(3)在描述增减性时,尤其要注意“在每一象限内”这一条件。
4、探究渐进性
探索完反比例函数的增减性,思考:反比例函数的图像可能与x轴、y轴相交吗?为什么?学生会猜想到不相交,教师追问:为什么不相交,你能解释一下吗?继续思考:既然不相交,那么反比例函数的图像走势是怎样的呢?学生大胆猜想,教师予以补充。
【设计意图】:让学生思考不相交的理由,意在使学生明白回归表达式的必要性,从表达式y=k/x(k≠0)中可以分析出x≠0且y≠0,这样就可以从“数”的角度分析出图像不可能与坐标轴相交,从而进一步增强学生的数形结合意识,培养分析问题的能力。这时紧接着引出下一个问题:既然不相交,那么反比例函数的图像走势应该是怎样的呢?引发学生的进一步思考,从而牢牢地把握着学生的思维动向。
5、例题讲解
例2
若反比例函数的图像经过点A(-3,6).
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)在这个函数的图像上任取点A(a,m)和点B(b,n),若a>b>0,那么m和n有怎样的大小关系?
【学生活动】:学生独立思考,完成学案,让有能力的学生讲解展示。
【设计意图】:本题是反比例函数增减性的实际应用,让学生讲解,给学生以自由的空间、充分展示才能的平台。
6、变式训练:讨论:(1)若把例题中的条件”a>b>0”改为”a(2)若把条件”a>b>0”改为”a>0>b”呢?
【学生活动】:完成例题后,学生小组合作,讨论交流并展示。
【设计意图】:例题学生讲解,并由教师补充说明后,此时学生已经具备一定的分析能力,变式训练这部分内容让学生积极参与到小组交流中,使学生养成独立思考、合作交流的学习习惯。
7、探究k值的几何意义
再次引导学生观察y=6/x的列表及图像,从表达式中可以直接读出k值,从列表中也可以计算出k值,即k=xy.(k值等于列表中每一对x与y的乘积)。接着引发学生思考:从表达式和函数列表,我们很容易得到k值,那么k值在图像上又代表着什么呢?也就是k有怎样的几何意义?
【设计意图】:在探究k的几何意义之前,先引导学生观察表达式和函数列表,从而得到k的代数意义,在此基础上再来研究函数图像,探究几何意义,这样过渡自然,同时也激发了学生探索的兴趣。由“数”分析到“形”,从而将数形有机地结合起来,进一步增强学生的数形结合意识,从而更好地感受数形结合在函数中的应用。
在探究k的几何意义时,引导学生分析得到k=xy,即k值等于列表中每一对x与y的乘积,也就是图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积。教师适时提出问题:如何构造坐标的乘积呢?紧接着追问:构造常见的几何图形,比如说矩形,可以吗?我们来试试看。构造出矩形后,提出问题:如何表示矩形的面积?
【设计意图】:这里没有直接给出要研究的矩形,而是通过k=xy这一代数式,一步步引导学生将k值转化到研究图像上点的坐标问题,使学生亲身经历知识的生成与发展,符合学生的认知规律,同时,问题串的形式也可以将学生的思维牢牢把握住。
四、巩固练习:
1.已知点(-6,y1),(-4,y2)在反比例函数的图像上,试比较y1与y2的大小.
2.已知点(4,y3),(6,y4)在反比例函数的图像上,试比较y3与y4的大小.
3.已知点(-4,y5),(6,y6)在反比例函数的图像上,试比较y5与y6的大小.
4.已知点P(3,2),Q(-2,a)都在反比例函数
的图像上.过点P分别作两坐标轴
的垂线,垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作两坐标轴的垂线,垂线与两坐标
轴围成的矩形面积为S2.求a,S1,S2的值.
【学生活动】:学生独立思考,完成学案,让有能力的学生讲解展示。
【设计意图】:通过练习进一步理解掌握反比例函数的增减性和面积不变性,巩固本节课所学知识。
五、拓展提升:
已知点(x1,y1),(x2,y2)都在反比例函数
的图像上,且x1>x2,
比较y1与y2的大小.
【学生活动】:学生独立思考,完成学案,让有能力的学生讲解展示。
【设计意图】:
知识延伸,提高学生的探索分析、自主学习和解决问题能力,并体验分类、转化以及数形结合的数学思想。
六、诱导反思、归纳总结:
通过本节课的学习:你们有哪些收获呢?还有哪些疑惑?(学生归纳总结,教师予以补充)
【知识收获】:1、理解并掌握了反比例函数的“增减性”
2、了解了k的几何意义
【思想方法】:数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法。
【设计意图】:
引导学生小结本节重要的知识和思想方法,对探究过程中众多的发散思维进行有效的整合、归纳和系统化。
七、布置作业,落实目标:
必做:《伴你学》本课时内容。
选做:《伴你学》本课时拓展提升。
【设计意图】:
巩固本节课所学,养成课后复习的良好习惯。分层作业,让不同层次的学生都能得到发展。
板书设计:
§1.2反比例函数的图像与性质(2)
一、合作探究1、增减性2、面积不变性……
电子白板
教学反思:
本节课主要探索反比例函数的增减性,由复习一次函数的增减性引入课题,导入自然。整节课,始终以渗透数形结合思想为主线,将教学重点定位在知识形成过程的探索上,努力激发学生强烈的求知和探索欲望,把学生带入数学探索的过程之中,让学生去解决问题、发现性质。掌握反比例函数的主要性质,建立初步的函数模型思想,发展抽象思维,激发学生对数学学习的好奇心与求知欲,学生能积极参与数学学习活动;积极交流合作,体验数学活动充满着探索与创造。
教学中务必给学生创造独立思考与合作交流的机会,留给学生充足的思考与交流空间,教师不要急于下结论,让学生亲身经历知识发生与发展的过程。
A
B
x1
x2
y1
y2