1.1.2空间向量的数量积运算(共36张PPT)

(共36张PPT)
1.1.2
空间向量的数量积运算
平面向量及其线性运算
空间向量及其线性运算
推
广
平面向量的数量积运算
空间向量的数量积运算
问题1
你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？
追问(1)
学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？
夹角
数量积的定义
运算律
应用
追问(2)
什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？
平面向量的夹角
两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做
＝a
，
＝b
，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0
≤〈a，b〉≤
π.
如果〈a，b〉＝
，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
.
b
a
.
O
α
A
B
空间向量的夹角
两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做
＝a
，
＝b
，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0
≤〈a，b〉≤
π.
如果〈a，b〉＝
，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
.
b
a
.
O
α
A
B
两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：
a
·
b＝|a||b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
追问(3)
平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
空间向量的数量积
已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（inner
product），记作a
·
b
.
即
a
·
b＝|a||b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
追问(3)
平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
空间向量的数量积的性质
①
若a，b是非零向量，a⊥b
?
a
·
b＝0；
②
a
·
a＝a
2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2
.
③若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.
④
若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______
⑤|a·b|≤|a|·|b|
证明空间中的垂直关系
求空间中线段的长度
追问(3)
平面向量的数量积有哪些性质？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的性质吗？
|a|·|b|
－|a|·|b|
求向量的夹角
追问(4)
平面向量的数量积运算有哪些运算律？
平面向量的数量积运算律
①
(λa)·b＝λ(a·b)，
λ∈R；
②
a·b＝b·a（交换律）;
③
a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
追问(4)
类比平面向量，你能得出空间向量的数量积运算有哪些运算律？
空间向量的数量积运算律
①
(λa)
·b＝λ(a·b)，
λ∈R；
②
a·b＝b·a（交换律）;
③
a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
追问(5)
在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？
b
a
A
B
A1
D
C
B1
b
a
.
O
N
M
M1
＝|a|cos〈a，b〉
平面向量的投影
两个非零向量a，b，
＝a，
＝b，过A和B分别做
所在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到
，称上述变换为向量a向向量b的投影，
叫向量a在向量b上的投影向量.
b
a
A
B
A1
D
C
B1
b
a
.
O
α
a
c
追问(5)
在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？
空间向量的投影向量
将空间向量a，b
，平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即:
c
=|a|cos〈a，b〉
，
向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
问题2
空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算、实数的乘法运算的区别.你能回答以下问题吗？
追问(1)
由a·b＝0，能否得到a＝0或
b＝0？
不一定！
因为
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，
所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0.
即a＝0或b＝0或a⊥b.
追问(2)
对于三个均不为零的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c.
对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
不一定！
由a·b
=
a·c，有a·(b－c）＝0.
从而有b＝c或a⊥(b－c）.
追问(3)
对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则
或
.那么对于向量a，b，若a·b＝k，能写成
或
吗？
不能！因为没有定义向量的除法运算.
k
k
追问(4)
对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc).对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？
不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.
向量的数量积运算没有结合律.
问题3
用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题？
追问
空间向量的数量积运算可以解决哪些问题？
平面向量数量积的应用
空间向量数量积的应用
（1）求线段长度(距离)：
（2）求夹角：
（3）证明垂直：
把所求线段看成一个向量的模，并用已知向量表示所求向量，再用数量积运算求该向量的模；
a⊥b
?
a
·
b＝0.
cos
〈a，b〉＝
;
问题4
如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB
=
5，
AD
=
3，AA'=
7，∠BAD
=
60°，∠BAA'=
∠DAA'=
45°.
求：
(1)
；(2)
AC'的长（精确到0.1）.
追问(1)
如何计算
？它们的长度，夹角是多少？
AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3，
∠BAD
=
60°.
解：(1)
追问(2)
为了求AC'的长，应该用哪些向量表示
？为什么？如何表示？
可以根据已知条件与平行四边形法则，用
来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算.
(2)
先用已知向量表示所求向量，
再由数量积运算求模长，
是立体几何中求线段长度的常用向量方法.
问题5
如右图，m，n是平面α内的两条相交直线.
如果l⊥m，
l⊥n，
求证：
l⊥平面α;
m
n
l
α
追问(1)
直线和平面垂直的定义是什么？
m
n
l
α
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则
直线l垂直于平面α
.
追问(2)
如何用向量方法证明l和平面α内任意一条直线垂直？
m
n
l
α
在平面α内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g
上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的
充要条件知，g可由m，n的线性组合表示.
由已知l⊥m，
l⊥n，通过数量积运算，得到l⊥g，从而l⊥g，
从而l⊥平面α.
g
m
g
n
l
m
n
l
α
g
m
g
n
l
证明：
在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m，n相交，所以m，n不共线.
因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝xm
+yn.
因为l⊥m，
l⊥n，所以l⊥m，
l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0.
于是l·g＝l·xn＋
l·ym＝xl·n＋yl·m＝0，
所以l⊥g.
即l⊥g，所以l⊥平面α.
在表示直线上取非零向量，用向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法.
m
n
l
α
g
m
g
n
l
练习
A
B
A1
C1
B1
C
（1).如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1
中,若AB=
BB1,则AB1与C1B所成角的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
B
问题6
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
1
空间向量的数量积运算
(1)
空间向量数量积运算的定义；
(2)
空间向量数量积运算的运算律；
(3)
空间向量数量积运算的应用.
2
类比平面向量的研究方法
类比
猜想
证明或转化
推广
课后作业
用投影向量证明空间向量数量积运算的分配律;
2.
教材P9-10，习题1.1第4，7，10题.