1.2空间向量基本定理(共26张PPT)

(共26张PPT)
1.2
空间向量基本定理
一、复习回顾、提出问题
问题：空间中，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量
来表示呢？
平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数
，使
.
若
不共线，我们把
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
如图，设
是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点
，对于任意一个空间向量
，
能否用
表示呢？
O
i
j
p
P
k
二、探究新知
因此，如果
是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量
，存在唯一的有序实数组
，使得
.
我们称
分别为向量
在
上的分向量.
探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量
代替两两垂直的向量
，你能得出类似的结论吗？
空间向量基本定理
如果三个向量
不共面,那么对
任意一个空间向量
,存在唯一的有序实数组
,
使得
我们把
叫做空间的一个基底，
都叫做基向量.
所有空间向量组成的集合就是
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用
表示.
空间向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量
，均可以分解为三个向量
，使
，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
(1)构成空间的基底是唯一的吗？
(2)基底选定后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？
(3)基向量可以为零向量吗？
思考
答案：不唯一
答案：唯一
答案：不可以.因为零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面.
例1
如图1.2-2，
是四面体
的棱
的中点，
点
在线段
上，点
在线段
上，且
用向量
表示
.
分析：
是三个不共面的向量，它们
构成空间的一个基底
，
可以用
基底
表示出来.
三、巩固新知
解：
1.
已知向量
是空间的一个基底，从
中选哪一个向量，一定可以与向量
构成空间的另一个基底？
练习
解：向量
与
一定构成空间的一个基底.否则
与
共面，
即
与
共面，于是
与
共面，这与已知矛盾.
2.
已知
为空间的四个点，且向量
不构成空间的一个基底，那么点
是否共面？
解：共面
3.
如图，已知平行六面体
点
是侧面
的中心，且
用向量
表示下列向量：
解：
问题：怎样用向量的方法解决异面直线的垂直问题呢？
要证直线垂直，只要证直线的方向向量的数量积等于零.
利用向量数量积证明线线垂直的步骤：
1.找到所证直线的方向向量；
2.用已知向量表示所证向量；
3.结合数量积公式和运算律证数量积等于0；
4.将向量问题回归到几何问题。
1.空间向量基本定理及其意义
2.单位正交基底、空间向量正交分解
3.体会类比、转化的数学思想，所有空间向量间的运算转化为基向量间的运算,为几何问题代数化奠定了基础.
空间向量基本定理
如果三个向量
不共面,那么对任意一个空间向量
,存在唯一的有序实数组
,使得
我们把
叫做空间的一个基底，
都叫做基向量.
五、总结提升
教科书第15页习题1.2第1,2,3,4题
六、布置作业
谢
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