1.2矩形的性质与判定（1）课件 2021-2022学年北师大版数学九年级上册（24张）

(共24张PPT)
第2节
矩形的性质与判定（1）
第一章
特殊平行四边形
平行四边形的定义？
回顾旧知识
菱形的定义？
它们之间的关系是？
导入新课
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，你能发现他们有什么共同特征。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.
矩形
矩形是特殊的平行四边形.
即：
∠A=90°
ABCD
ABCD是矩形.
学习新课
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
四边形
平行四边形
矩形
矩形
矩形与四边形、平行四边形的关系
（2）矩形是轴对称图形码？如果是，它有几条对称轴？
具有平行四边形的所有性质
(3)你认为矩形还有哪些特殊的性质？
想一想
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
边…角…对角线…
答：矩形是轴对称图形。它有2条对称轴.
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
矩形的特殊性质
角：
对角线：
边：
猜想1：矩形的四个角都是直角
已知：四边形ABCD是矩形，
∠C=90°
求证：
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=
90°
∠B=∠D（
）
AB//CD（
）
∴∠B+∠C=180
°
∴∠B=180
°
－∠C=90°
∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
探究1
定理证明
已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC
=
BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC
=
∠DCB
=
90°
又∵AB
=
DC
，
BC
=
CB
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC
=
BD
猜想2：矩形的对角线相等
探究2
定理证明
定理:矩形的四个角是直角
定理：矩形的对角线相等
矩形的性质
A
B
C
D
知识要点
矩形的对边平行且相等
角
对角线
边
矩形的对角线互相平分
矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角
对称性
矩形是轴对称图形，
也是中心对称图形.
几何语言？
A
B
C
D
O
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形特殊性质的推论
直角三角形的一个性质
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，那么BO是Rt
△
ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
O
C
B
A
D
D
证明:
延长BO至D，使OD=BO
连结AD、DC
∵AO=OC,
BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC=90°
∴
ABCD是矩形
∴AC=BD
1
2
1
2
∴BO=
BD=
AC
已知：在Rt△ABC中∠ABC=90°，BO是AC上的中线。
求证:
BO
=
AC
定理证明
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∵在Rt△ABC中,
BO是斜边AC上的中线，
∴
BO=
AC.
几何语言
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
试一试
已知：如图：CD平分AB，且CD=AD=BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：
∵AD=CD，∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∵在Rt△ABC中,
BO是斜边AC上的中线，
∴
BO=
AC.
几何语言
真命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
例1如图，
在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
例题讲解
例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝
DE·AB＝
×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
当堂练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
(
)
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为
(
)
A.13
B.6
C.6.5
D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是
(
)
A.20
°
B.40°
C.80
°
D.10°
A
C
C
如图，在矩形
ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6
，OA=4，求BD与AD的长。
随堂练习P13
A
B
C
D
O
解：
∵
四边形ABCD是矩形
∠ABC=
90°
∴
在Rt△ABD中，
由勾股定理得：
∴
AD=2√7
∴BD=AC=2OA=8
课后作业
1.一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是450，求这个矩形的各边长。
习题1.4
解：
由图知：AC=BD=6，
∠ACB=
450
∵四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=
900
∵
AC=
6
∴
⊿
ABC是等腰直角三角形
∴
AB2+
BC2
=AC2
∵
∠ACB=
450
∴
AB=BC=CD
=DA=3√2
2.一个矩形的两条对角线的一个夹角是600，对角线长为15，求这个矩形较短边的长。
习题1.4
解：
由图知：AC=BD=15，
∠AOB=
600
∵四边形ABCD是矩形
∴
OA=OB
∵
AC=BD=
15
∴
⊿
AOB是等边三角形
∵
∠AOB=
600
∴
AB=CD
=7.5
∴
OA=OB=OC
=OD=7.5
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质：
具有平行四边形的一切特征.
四个角都是直角.
对角线相等.
课堂小结
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（真命题）