培优课 直线中的对称问题
对称问题是解析几何中比较典型、高考中常考的热点问题.
对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.
本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
类型一 点关于点的对称问题
【例1】 求点A(2，4)关于点B(3，5)对称的点C的坐标.
解 由题意知，B是线段AC的中点，
设点C(x，y)，由中点坐标公式有
解得故C(4，6).
思维升华 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.
熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
类型二 点关于直线的对称问题
【例2】 求点A(1，3)关于直线l：x＋2y－3＝0的对称点A′的坐标.
解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为(x，y)，则AA′的中点B的坐标为，kAA′＝.
由题意可知，
解得
故所求点A′的坐标为.
思维升华 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；(2)两点的中点在已知直线上.
类型三 直线关于某点对称的问题
【例3】 求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线方程.
解 法一
由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x＋11y＋c＝0.
由点到直线的距离公式，得＝，
即|11＋c|＝27，得c＝16(即为已知直线，舍去)或c＝－38.
故所求对称直线方程为2x＋11y－38＝0.
法二
在直线2x＋11y＋16＝0上取一点A(－8，0)，
则点A(－8，0)关于P(0，1)的对称点为B(8，2).
由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x＋11y＋c＝0.
将B(8，2)代入，解得c＝－38.
故所求对称直线方程为2x＋11y－38＝0.
思维升华 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.
我们往往利用平行直线系去求解.
类型四 直线关于直线的对称问题
【例4】 求直线l1：x－y－1＝0关于直线l2：x－y＋1＝0对称的直线l的方程.
解 根据分析，可设直线l的方程为x－y＋c＝0，在直线l1：x－y－1＝0上取点M(1，0)，则易求得M关于直线l2：x－y＋1＝0的对称点为N(－1，2)，
将N的坐标代入方程x－y＋c＝0，
解得c＝3，
故所求直线l的方程为x－y＋3＝0.
【例5】 求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：x＋2y＋1＝0对称的直线l的方程.
解 由题意知直线l1与l2相交，由解得
即交点为P(1，－1).
在直线l1上任取一点A(0，－2)，则点A关于直线l2对称的点A′(x，y)满足
解得A′.
由直线的两点式得＝，
即直线l的方程为7x－y－8＝0.
思维升华 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：
(1)两直线平行；(2)两直线相交.
对于(1)，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于(2)，其一般解法为先求交点，再转化为点关于直线对称问题，利用两点式写出直线方程.
尝试训练
1.已知直线l：2x＋y－2＝0.试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l对称的点的坐标；
(2)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，
则线段PP′的中点M在对称轴l上，且PP′⊥l.
∵直线l的斜率为－2，
∴
解得
即点P(－2，－1)关于直线l对称的点的坐标为.
(2)设直线l关于点A(1，1)对称的直线为l′，则直线l上任一点Q(x1，y1)关于点A的对称点Q′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.
由得
将Q(x1，y1)的坐标代入直线l的方程得2x＋y－4＝0.
∴直线l关于点A(1，1)对称的直线l′的方程为2x＋y－4＝0.
2.已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程.
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴P′点坐标为(－2，7).
(2)由得交点.
取直线x－y－2＝0上一点B(0，－2)，
设点B关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为B′(x0，y0)，
则解得
故所求直线过点与(－3，－1)，
斜率k＝＝－7，
∴所求直线方程为y＋＝－7，
即7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，故可设l′为y＝3x＋b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
＝，
即|b＋7|＝10，
解得b＝－17或b＝3(舍去)，
∴直线l′的方程为y＝3x－17，
即对称直线的方程为3x－y－17＝0.(共19张PPT)
培优课 直线中的对称问题
对称问题是解析几何中比较典型、高考中常考的热点问题.
对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.
本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
类型一 点关于点的对称问题
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【例1】 求点A(2，4)关于点B(3，5)对称的点C的坐标.
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.
熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
思维升华
【例2】 求点A(1，3)关于直线l：x＋2y－3＝0的对称点A′的坐标.
类型二 点关于直线的对称问题
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点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；(2)两点的中点在已知直线上.
思维升华
【例3】 求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线方程.
类型三 直线关于某点对称的问题
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即|11＋c|＝27，得c＝16(即为已知直线，舍去)或c＝－38.
故所求对称直线方程为2x＋11y－38＝0.
法二
在直线2x＋11y＋16＝0上取一点A(－8，0)，
则点A(－8，0)关于P(0，1)的对称点为B(8，2).
由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x＋11y＋c＝0.
将B(8，2)代入，解得c＝－38.
故所求对称直线方程为2x＋11y－38＝0.
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.
我们往往利用平行直线系去求解.
思维升华
【例4】 求直线l1：x－y－1＝0关于直线l2：x－y＋1＝0对称的直线l的方程.
类型四 直线关于直线的对称问题
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解 根据分析，可设直线l的方程为x－y＋c＝0，在直线l1：x－y－1＝0上取点M(1，0)，则易求得M关于直线l2：x－y＋1＝0的对称点为N(－1，2)，
将N的坐标代入方程x－y＋c＝0，
解得c＝3，
故所求直线l的方程为x－y＋3＝0.
【例5】 求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：x＋2y＋1＝0对称的直线l的方程.
即交点为P(1，－1).
即直线l的方程为7x－y－8＝0.
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：
(1)两直线平行；(2)两直线相交.
对于(1)，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于(2)，其一般解法为先求交点，再转化为点关于直线对称问题，利用两点式写出直线方程.
思维升华
1.已知直线l：2x＋y－2＝0.试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l对称的点的坐标；
解 设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，
∵直线l的斜率为－2，
尝试训练
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(2)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
解
设直线l关于点A(1，1)对称的直线为l′，则直线l上任一点Q(x1，y1)关于点A的对称点Q′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.
将Q(x1，y1)的坐标代入直线l的方程得2x＋y－4＝0.
∴直线l关于点A(1，1)对称的直线l′的方程为2x＋y－4＝0.
2.已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
解 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
∴P′点坐标为(－2，7).
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
取直线x－y－2＝0上一点B(0，－2)，
设点B关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为B′(x0，y0)，
即7x＋y＋22＝0.
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程.
解 设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，故可设l′为y＝3x＋b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
即|b＋7|＝10，
解得b＝－17或b＝3(舍去)，
∴直线l′的方程为y＝3x－17，
即对称直线的方程为3x－y－17＝0.
本节内容结束
