章末复习提升
要点一 直线方程的求法及应用
求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.
【例1】 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2).
(1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.
解 (1)∵A(0，1)，B(3，2)，
∴kAB＝＝，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，
∴C(2，1)，
∴kBC＝＝1，
∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
【训练1】 已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
解 (1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为，
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.
由求得
故点C的坐标为.
(2)设B(m，n)，则M.
把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，
可得
求得故点B.
再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0.
要点二 两条直线的位置关系
解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性.
【例2】 (1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行；
(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
答案 (1)－1 (2)
解析 (1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.
因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，
解得a＝.
所以当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
【训练2】 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________；
(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________.
答案 (1)－3 (2)－
解析 (1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，
∴2a－3(a＋1)＝0，
∴a＝－3.
(2)kAC＝＝－，kBC＝＝1－y.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
∴－(1－y)＝－1，∴y＝－.
要点三 距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合.三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
类型
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
AB＝
点到直线的距离
P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
d＝(A2＋B2≠0)
两平行直线的距离
l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)
d＝
【例3】 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
解 当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.
解得k＝±－6，∴y＝x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则
＝3，解得a＝13或a＝1，
∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或
x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
【训练3】 已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程.
解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，
设所求直线的方程为－＝1，即x－y－a＝0.
由题意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去).
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
要点四 对称问题
1.关于点的对称问题
(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则：P是线段AB的中点，并且
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：
①l1上任意一点关于点P的对称点M′必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；
②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；
③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
2.关于直线的对称问题
(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线.
①直线AB与直线l垂直；
②线段AB的中点在直线l上；
③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等.
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则
①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；
②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
【例4】 已知直线l：y＝－x＋1，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
∴解得
即P′点的坐标为.
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立.
由
得
把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
【训练4】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.
解 (1)设A′(x，y)，则
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在m′上.
设M′(a，b)，
则
解得∴M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3).
又∵m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0，
即为所求直线方程.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0，即为所求直线方程.(共25张PPT)
章末复习提升
网络构建
要点聚焦
内容索引
网络构建
形成体系
1
要点聚焦
类型突破
2
要点一 直线方程的求法及应用
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求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.
【例1】 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2).
(1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；
解 ∵A(0，1)，B(3，2)，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.
解
∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，
∴C(2，1)，
∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
【训练1】 已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标.
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，
即2x＋y－13＝0.
(2)直线BC的方程.
把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，
解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性.
要点二 两条直线的位置关系
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【例2】 (1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行；
－1
解析 直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
解析
直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.
因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，
【训练2】 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________；
(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________.
解析 (1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，
∴2a－3(a＋1)＝0，
∴a＝－3.
－3
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合.三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
要点三 距离问题
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∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
1.关于点的对称问题
要点四 对称问题
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(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：
①l1上任意一点关于点P的对称点M′必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；
②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；
③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
2.关于直线的对称问题
(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线.
①直线AB与直线l垂直；
②线段AB的中点在直线l上；
③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等.
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则
①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；
②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
解 设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
解
直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立.
把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
解
设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.
将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
【训练4】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
解
在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在m′上.
设M′(a，b)，
又∵m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0，
即为所求直线方程.
(3)直线l关于点A（
－1，－2)对称的直线l′方程.
解
设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0，即为所求直线方程.
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