1.2.3 直线的一般式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.2.会进行直线方程的五种形式间的转化.
通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象，数学运算及逻辑推理素养.
自主梳理
1.直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示.
(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线.
2.直线的一般式方程
方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程.
直线的一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)直线x－y－3＝0的斜率为k＝1.(√)
(2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.(×)
提示 当A，B同时为零时，若C＝0，则方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；若C≠0，则方程无解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何图形.
(3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.(√)
(4)方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线.(√)
2.与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为( )
A.x－6＝0
B.y－6＝0
C.x＋y＝6
D.x－y＝6
答案 B
解析 直线与x轴平行，则斜率k＝0，又直线过点(0，6)，则直线方程为y－6＝0.
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.A≠0
B.B≠0
C.AB≠0
D.A2＋B2≠0
答案 D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4.直线2x＋y＋3＝0在y轴上的截距是________.
答案 －3
解析 令x＝0，得y＝－3.
题型一 直线的一般式方程
【例1】 根据下列条件求直线的一般式方程.
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
解 (1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，
由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，
整理可得2x－y＋1＝0，
所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
(2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4.
整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.
(3)由直线的两点式方程可得＝，
整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
(4)由直线的截距式方程可得＋＝1，
整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
思维升华 求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
【训练1】 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A.3x＋4y＋7＝0
B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0
D.3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A.
B.－5
C.
D.－3
答案 (1)B (2)D
解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项，其中B.y＝－x－，C.y＝－x＋14.
又y＝－x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，
所以只有B项满足要求.
(2)令y＝0，则x＝－3.
(3)已知直线x＋y－4＝0，求此直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
解 直线x＋y－4＝0在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为4，故所求三角形的面积为×4×4＝8.
题型二 直线一般式方程的应用
【例2】 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
解 (1)当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－.
(2)当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.
思维升华 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
【训练2】 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解 (1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝.
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1].
题型三 直线方程的实际应用
【例3】 一根铁棒在20
℃时，长10.402
5米，在40
℃时，长10.405
0米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25
℃时的长度.
解 这条直线经过两点(20，10.402
5)和(40，10.405
0)，根据直线的两点式方程，
得＝，
即l＝0.002
5×＋10.400
0，
当t＝25
℃时，l＝0.002
5×＋10.400
0
＝0.003
125＋10.400
0＝10.403
125.
即当t＝25
℃时，铁棒长为10.403
125米.
思维升华 在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样，故应因题而异，寻找解题的最佳方法.
【训练3】 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.
答案 10
解析 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
∴k2－k1＝，
故当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
1.牢记2个知识点
(1)二元一次方程与直线的关系.
(2)直线的一般式方程及其结构特征.
2.重点掌握2种方法
(1)求直线一般式方程的策略.
(2)一般式方程和其他几种形式方程之间的转化及应用.
3.注意1个易错点
直线Ax＋By＋C＝0表示一条直线时，A，B必不能同时为0
一、选择题
1.过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为( )
A.4x＋3y＋12＝0
B.4x＋3y－12＝0
C.4x－3y＋12＝0
D.4x－3y－12＝0
答案 C
解析 由截距式得直线方程为＋＝1，整理得4x－3y＋12＝0.
2.斜率为－3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )
A.3x＋y－6＝0
B.3x－y－6＝0
C.3x＋y＋6＝0
D.x＋3y－6＝0
答案 A
解析 由点斜式得直线方程为y＝－3(x－2)，
即3x＋y－6＝0.
3.斜率为，且在y轴上的截距为4的直线的一般式方程为( )
A.x－y＋4＝0
B.x－y＋4＝0
C.x＋y＋4＝0
D.x＋y－4＝0
答案 A
解析 由直线的斜截式方程可得y＝x＋4，化成一般式方程为x－y＋4＝0.
4.已知直线3x－3y＋10＝0，则此直线与两坐标轴围成的三角形的周长为( )
A.
B.
C.
D.10
答案 C
解析 此直线在x轴、y轴上的截距分别为－，，则三角形的周长为＋＋×＝.
5.直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝( )
A.－
B.3
C.－3
D.
答案 A
解析 由题意知，直线的斜率存在，倾斜角为45°，
则斜率k＝1，
∴
解得a＝－.
二、填空题
6.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________.
答案 2x－y＋1＝0
解析 直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)，整理可得直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
7.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l经过原点和第二、四象限，则A，B，C应满足________.
答案 AB>0且C＝0
解析 l过原点，则C＝0，
又l过第二、四象限，则－<0，即>0，即AB>0.
8.设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________.
答案
解析 ax＋by＝1可变形为ax＋(k－a)y＝1，a(x－y)＋ky－1＝0，
对于任何a∈R都成立，则
解得故直线ax＋by＝1恒过定点.
三、解答题
9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.
解 (1)由解得m＝2.
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.
(2)由题意知，m≠2，
由－＝1，解得m＝0.
10.直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线具有如下性质？
(1)与x轴垂直；(2)与y轴垂直；(3)与x轴和y轴都相交；(4)过原点.
解 (1)∵与x轴垂直的直线方程为x＝a，即x－a＝0，它缺少y的一次项，∴B＝0.故当B＝0且A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴垂直.
(2)类似于(1)可知：当A＝0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与y轴垂直.
(3)要使直线与x，y轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可知：当A≠0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴和y轴都相交.
(4)将x＝0，y＝0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0.
故当C＝0时，直线Ax＋By＋C＝0过原点.
11.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示
B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
答案 ABC
解析 A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，
当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，
与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；
当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x＝x1，
与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的.
B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，
即直线过原点O(0，0).
C说法正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行.
D说法显然错误.
12.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.
答案 2x＋3y＋4＝0
解析 由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.
13.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
(1)证明 将直线l的方程整理为y－＝a，∴l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限.
(2)解 当a＝0时，直线l的方程为5y－3＝0，不符合题意，故要使l不经过第二象限，需a>0且l在y轴上的截距不大于零，即∴a≥3.
综上，a的取值范围为[3，＋∞).
14.一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300
m和700
m，且两村相距500
m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？
解 如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700).设B点在y轴上的射影为H，则x＝BH＝＝300，故点B(300，700)，
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省.(共41张PPT)
1.2.3 直线的一般式方程
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.
2.会进行直线方程的五种形式间的转化.
课标要求
素养要求
通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象，数学运算及逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.直线与二元一次方程的关系
///////
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程
表示.
一条直线
(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示
.
2.直线的一般式方程
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)
方程
作直线的一般式方程.
点睛
直线的一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
√
///////
(1)直线x－y－3＝0的斜率为k＝1.(
)
(2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.(
)
×
提示 当A，B同时为零时，若C＝0，则方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；若C≠0，则方程无解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何图形.
(3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.(
)
(4)方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线.(
)
√
√
2.与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为( )
A.x－6＝0
B.y－6＝0
C.x＋y＝6
D.x－y＝6
解析 直线与x轴平行，则斜率k＝0，又直线过点(0，6)，则直线方程为y－6＝0.
B
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.A≠0
B.B≠0
C.AB≠0
D.A2＋B2≠0
D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
－3
4.直线2x＋y＋3＝0在y轴上的截距是________.
解析 令x＝0，得y＝－3.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 直线的一般式方程
///////
【例1】 根据下列条件求直线的一般式方程.
解 因为k＝2，且经过点A(1，3)，
由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，
整理可得2x－y＋1＝0，
所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.`
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
思维升华
A.3x＋4y＋7＝0
B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0
D.3x＋4y－42＝0
所以只有B项满足要求.
B
D
【例2】 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
题型二 直线一般式方程的应用
///////
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
思维升华
【训练2】 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
解 ①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
∵l在两坐标轴上的截距相等，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解
直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，
∴a的取值范围为(－∞，－1].
【例3】 一根铁棒在20
℃时，长10.402
5米，在40
℃时，长10.405
0米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25
℃时的长度.
题型三 直线方程的实际应用
///////
解 这条直线经过两点(20，10.402
5)和(40，10.405
0)，根据直线的两点式方程，
即当t＝25
℃时，铁棒长为10.403
125米.
在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样，故应因题而异，寻找解题的最佳方法.
思维升华
【训练3】 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租
20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间
t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示，当打出电话
150分钟时，这两种方式电话费相差________元.
解析 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
10
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
1.牢记2个知识点
(1)二元一次方程与直线的关系.
(2)直线的一般式方程及其结构特征.
2.重点掌握2种方法
(1)求直线一般式方程的策略.
(2)一般式方程和其他几种形式方程之间的转化及应用.
3.注意1个易错点
直线Ax＋By＋C＝0表示一条直线时，A，B必不能同时为0
课堂小结
分层训练
素养提升
3
///////
一、选择题
1.过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为( )
C
A.4x＋3y＋12＝0
B.4x＋3y－12＝0
C.4x－3y＋12＝0
D.4x－3y－12＝0
2.斜率为－3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )
A
A.3x＋y－6＝0
B.3x－y－6＝0
C.3x＋y＋6＝0
D.x＋3y－6＝0
解析 由点斜式得直线方程为y＝－3(x－2)，
即3x＋y－6＝0.
A
4.已知直线3x－3y＋10＝0，则此直线与两坐标轴围成的三角形的周长为( )
C
5.直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝( )
A
解析 由题意知，直线的斜率存在，倾斜角为45°，
则斜率k＝1，
二、填空题
6.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为
.
2x－y＋1＝0
解析 直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)，整理可得直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
7.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l经过原点和第二、四象限，则A，B，C应满足___________________.
AB>0且C＝0
解析 l过原点，则C＝0，
8.设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________.
解析 ax＋by＝1可变形为ax＋(k－a)y＝1，a(x－y)＋ky－1＝0，
三、解答题
9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.
(2)由题意知，m≠2，
10.直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线具有如下性质？
(1)与x轴垂直；(2)与y轴垂直；(3)与x轴和y轴都相交；(4)过原点.
解 (1)∵与x轴垂直的直线方程为x＝a，即x－a＝0，它缺少y的一次项，
∴B＝0.故当B＝0且A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴垂直.
(2)类似于(1)可知：当A＝0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与y轴垂直.
(3)要使直线与x，y轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可知：
当A≠0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴和y轴都相交.
(4)将x＝0，y＝0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0.
故当C＝0时，直线Ax＋By＋C＝0过原点.
能力提升
///////
11.(多选题)下列说法中正确的是(
)
A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示
B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
ABC
解析 A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，
当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，
与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；
当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x＝x1，
与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的.
B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，
即直线过原点O(0，0).
D说法显然错误.
12.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.
2x＋3y＋4＝0
13.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
综上，a的取值范围为[3，＋∞).
14.一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300
m和700
m，且两村相距500
m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？
解 如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，
令y＝0得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省.
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