1.2.2 直线的两点式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.掌握直线方程的截距式，并会应用.
通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.
自主梳理
1.直线的两点式方程
已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则其方程＝(x1≠x2且y1≠y2)称为直线的两点式方程.
2.直线的截距式方程
若直线过点A(a，0)，B(0，b)，其中a叫作直线在x轴上的截距，b叫作直线在y轴上的截距，则直线方程＋＝1(a≠0，b≠0)称为直线的截距式方程.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(√)
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)适用的范围相同.(×)
提示 方程＝成立的前提是y1≠y2且x1≠x2.
(3)过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示.(×)
提示 因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式来表示.
2.过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
答案 B
3.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝0
答案 A
4.直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为________.
答案 －1
解析 由方程知直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－5，故4＋(－5)＝－1.
题型一 直线的两点式方程
【例1】 已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.
解 直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝，整理，得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程.
直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1.
思维升华 利用两点式求直线方程
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
【训练1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.
解 ∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点的横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，
故AB边所在直线的方程为x＝2.
由A(2，－1)，C(4，1)，
可得直线AC的两点式方程为＝，
即x－y－3＝0.故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0.
同理得直线BC的两点式方程为＝，
即x＋2y－6＝0.
故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0.
题型二 直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
又l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
因为l过点A(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，
直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
【迁移1】 若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过点A(－3，－4)，所以＋＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
由于l过(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，
解得k＝.
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
【迁移2】 若将例2中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解 (1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过(3，4)，∴＋＝1，解得a＝7，
∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为
y＝kx，又l过(3，4)，∴4＝k·3，
解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
思维升华 零截距的重要性
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况.
【训练2】 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.无数多条
答案 B
解析 当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－x，
当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，
∴
∴或
即直线方程为＋＝1或＋＝1，
∴满足条件的直线共有3条.故选B.
题型三 直线方程的综合应用
【例3】 已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
解 如图，过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，
整理得5x＋3y－6＝0.
这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，
即.过A(－5，0)，M的直线的方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
这就是BC边上中线所在直线的方程.
思维升华 直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
【训练3】 如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形的边AB，BC所在的直线方程分别为________，正方形的对称轴所在直线的方程为________.
答案 x＋y－2＝0，x－y＋2＝0 y＝±x，y＝0，x＝0.
解析 如题图，由正方形ABCD的边长为4知A(2，0)，B(0，2)，C(－2，0)，∠AOM＝45°，∠AOP＝135°.
由截距式方程，得直线AB的方程为＋＝1，
即x＋y－2＝0，
直线BC的方程为＋＝1，
即x－y＋2＝0.
由点斜式方程得，直线MN的方程为y＝x.
直线PQ方程为y＝－x.
由A，C在x轴上得直线AC的方程为y＝0.
由B，D在y轴上，得直线BD的方程为x＝0.
1.牢记2个直线方程
(1)两点式方程.
(2)截距式方程.
2.掌握2种规律方法
(1)求直线的两点式方程的策略.
(2)直线的截距式方程应用的注意点.
3.注意1个易错点
易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况.
一、选择题
1.经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为( )
A.5x＋3y－25＝0
B.5x－3y－25＝0
C.3x－5y－25＝0
D.5x－3y＋25＝0
答案 B
解析 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为：
＝，整理，得5x－3y－25＝0.
故选B.
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A.1
B.－1
C.－2或－1
D.－2或1
答案 A
解析 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴＝2，解得a＝1，故选A.
3.经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为( )
A.2
B.－3
C.－27
D.27
答案 D
解析 由两点式得直线方程为＝，
即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
4.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0
D.2x－y－12＝0
答案 A
解析 由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.
5.(多选题)下列命题不正确的是( )
A.过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程可以写成＝
B.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C.若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
答案 ABD
解析 当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；
当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；
设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.
令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；
若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误.
二、填空题
6.已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________.
答案 3x－4y－12＝0
解析 由于A(2，－1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，
又直线在y轴上的截距是－3，
∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
7.斜率为－且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l在x轴上的截距是________.
答案 3或－3
解析 l的斜率为－，设l的方程为y＝－x＋b，
则l在x，y轴上的截距分别为b，b，
∴··|b|＝6，
∴b＝±4，则直线l在x轴上的截距为3或－3.
8.过点P(3，2)，且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________.
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
解析 当直线过原点时，斜率等于＝，故直线的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，把P(3，2)代入直线的方程得m＝5，
故求得的直线方程为x＋y－5＝0，
综上，满足条件的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
三、解答题
9.求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.
解 (1)当横截距、纵截距都是零时，
设所求的直线方程为y＝kx，
将(－2，3)代入y＝kx中，得k＝－，
此时，直线方程为y＝－x，
即3x＋2y＝0.
(2)当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程式为＋＝1，
将(－2，3)代入所设方程，解得a＝2，
此时，直线方程为x＋2y－4＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.
10.求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
解 过A，B两点的直线的两点式方程是＝.
化为点斜式为：y＋1＝－(x－4)，
斜截式为：y＝－x＋，
截距式为：＋＝1.
11.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.
假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合.
12.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(－∞，－1)∪
答案 D
解析 设直线l的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.
13.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，求xy的最大值.
解 由直线方程的截距式知直线AB的方程为＋＝1，
则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3，当且仅当y＝2时“＝”成立，
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
14.直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
解 (1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).
因为直线l过点P，
所以＋＝1，①
又OA＝a，OB＝b，AB＝，所以a＋b＋＝12.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).
由题意知，消去b，得a2－6a＋8＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.(共42张PPT)
1.2.2
直线的两点式方程
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.
2.掌握直线方程的截距式，并会应用.
课标要求
素养要求
通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.直线的两点式方程
///////
已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则其方程
=________(x1≠x2且y1≠y2)称为直线的两点式方程.
2.直线的截距式方程
若直线过点A(a，0)，B(0，b)，其中a叫作直线在x轴上的截距，b叫作直线在y轴上的截距，则直线方程___________________称为直线的截距式方程.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
√
///////
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(
)
×
(3)过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示.(
)
提示 因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式来表示.
×
2.过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( )
B
3.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为( )
A
－1
解析 由方程知直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－5，故4＋(－5)＝－1.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 直线的两点式方程
///////
【例1】 已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.
直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行
于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1.
利用两点式求直线方程
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
思维升华
【训练1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.
解 ∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点的横坐标相同，
即x－y－3＝0.故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0.
∴直线AB与x轴垂直，
故AB边所在直线的方程为x＝2.
由A(2，－1)，C(4，1)，
即x＋2y－6＝0.
故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0.
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
题型二 直线的截距式方程
///////
解得a＝－1.
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
【迁移1】 若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
由于l过(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
【迁移2】 若将例2中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过(3，4)，∴4＝k·3，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
零截距的重要性
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况.
思维升华
【训练2】 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.无数多条
B
∴满足条件的直线共有3条.故选B.
【例3】 已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
题型三 直线方程的综合应用
///////
整理得5x＋3y－6＝0.
这就是BC边所在直线的方程.
即x＋13y＋5＝0.
这就是BC边上中线所在直线的方程.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
思维升华
【训练3】 如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原
点，对角线在坐标轴上，则正方形的边AB，BC所在的直
线方程分别为_____________________________，正方形的
对称轴所在直线的方程为___________________________.
由点斜式方程得，直线MN的方程为y＝x.
直线PQ方程为y＝－x.
由A，C在x轴上得直线AC的方程为y＝0.
由B，D在y轴上，得直线BD的方程为x＝0.
1.牢记2个直线方程
(1)两点式方程.
(2)截距式方程.
2.掌握2种规律方法
(1)求直线的两点式方程的策略.
(2)直线的截距式方程应用的注意点.
3.注意1个易错点
易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
///////
一、选择题
1.经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为( )
B
A.5x＋3y－25＝0
B.5x－3y－25＝0
C.3x－5y－25＝0
D.5x－3y＋25＝0
解析 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为：
故选B.
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A.1
B.－1
C.－2或－1
D.－2或1
A
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
3.经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为( )
A.2
B.－3
C.－27
D.27
D
即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
4.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0
D.2x－y－12＝0
A
5.(多选题)下列命题不正确的是(
)
ABD
当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；
设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.
令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；
若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误.
二、填空题
6.已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为______________________.
3x－4y－12＝0
解析 由于A(2，－1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，
又直线在y轴上的截距是－3，
3或－3
∴b＝±4，则直线l在x轴上的截距为3或－3.
8.过点P(3，2)，且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程是
_______________________.
2x－3y＝0或x＋y－5＝0
故求得的直线方程为x＋y－5＝0，
即2x－3y＝0.
综上，满足条件的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
三、解答题
9.求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.
解 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y＝kx，
即3x＋2y＝0.
将(－2，3)代入所设方程，解得a＝2，
此时，直线方程为x＋2y－4＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.
10.求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
能力提升
///////
A
假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合.
12.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
D
13.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，求xy的最大值.
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
本节内容结束
