(共44张PPT)
1.4
两条直线的交点
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.会利用直线系方程解决相关问题.
课标要求
素养要求
通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系
///////
一个
平行
2.直线系方程
Ax＋By＋m＝0(m≠C)
Bx－Ay＋m＝0(m为参数)
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：
.
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：
.
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：该直线不包括直线l2)
自主检验
1.思考辨析，判断正误
√
///////
(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示.(???????)
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(??????)
(3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(
)
√
×
2.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为( )
A.(3，－5)
B.(－3，5)
C.(3，5)
D.(－3，－5)
C
3.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
A
∴交点坐标为(1，6).
由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，
则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
(0，1)
4.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.
∴该直线过定点(0，1).
解析 直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，
课堂互动
题型剖析
2
题型一 两直线位置关系的判定
///////
【例1】 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
由①×2－②得：1＝0矛盾，
∴方程组无解.
∴两直线无公共点，l1∥l2.
(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.
∴①和②可以化为同一方程，即l1与l2是同一直线，l1与l2重合.
判定两直线的位置关系有以下两种方法
(1)利用方程组解的个数判断.
(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①当A1B2－A2B1≠0时，两直线相交；②当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)时，两直线重合；③当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)时，两直线平行；④当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直.
思维升华
【训练1】 下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________.
①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.
解析 ①显然相交；②平行；③直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；④两直线平行.
①③
【例2】 当k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点P在第一象限？
题型二 直线交点的应用
///////
知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围.
思维升华
【训练2】 如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连接EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
证明 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b，0)，B(0，0)，E(－a，a)，F(b，－b).
即ax＋(a＋b)y－ab＝0.
因此BM⊥AC.
【例3】 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
题型三 过两直线交点的直线系方程的应用
///////
得P(0，2).
即4x＋3y－6＝0.
法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解.本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可.
思维升华
故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.
所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.
故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；
当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.
1.牢记1个关系
方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.
2.掌握2种方法
(1)两条直线相交的判定方法.
(2)经过两直线交点的直线系方程的设法.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
///////
一、选择题
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
B
2.直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是( )
B
3.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是( )
A.19x－9y＝0
B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0
D.3x＋19y＝0
D
4.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A.恒过定点(－2，3)
B.恒过定点(2，3)
C.恒过点(－2，3)和点(2，3)
D.都是平行直线
A
解析 (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
所以交点在第二象限.
二、填空题
6.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
－1
把(4，－2)代入直线ax＋2y＋8＝0，
可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.
7.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0垂直，且垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________.
－4
解得a＝10，
所以直线l1的方程为5x＋2y－1＝0.
由题意，可知(1，c)是两条直线的交点，将(1，c)代入直线l1，得c＝－2.
将(1，－2)代入直线l2，得b＝－12，
所以a＋b＋c＝－4.
8.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为
P(－1，2)，则直线l的方程为______________.
3x＋y＋1＝0
解析 设直线l与l1的交点为A(x0，y0).
即A(－2，5)，
三、解答题
9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
10.已知0能力提升
///////
11.(多选题)两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0
的交点在y轴上，那么k的值可以是( )
A.－24
B.－6
C.6
D.24
BC
∵两直线的交点在y轴上，
∴k＝±6(经检验知符合题意).
12.(多选题)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值为( )
A.1
B.2
C.－2
D.－1
AC
解析 由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.
∵直线x－y＋1＝0和直线2x＋y－4＝0不平行，
∴直线x－y＋1＝0和直线ax－y＋2＝0平行或直线2x＋y－4＝0和直线ax－y＋2＝0平行.
∵x－y＋1＝0的斜率为1，2x＋y－4＝0的斜率为－2，ax－y＋2＝0的斜率为a，
∴a＝1或a＝－2.
13.已知在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
解 设点C的坐标为(x，y)，
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
又点M是边AB的中点，
所以M(4，1)，
(2)求P的坐标.
解
因为B(7，1)，D(4，6)，
即5x＋3y－38＝0.
14.设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为_____________________________.
x－y－4＝0或x＋y－24＝0
所以两直线的交点坐标为(14，10).
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二 设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，
整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，
本节内容结束1.4 两条直线的交点
课标要求
素养要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.会利用直线系方程解决相关问题.
通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.
自主梳理
1.二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1，l2的公共点
一个
无数个
零个
直线l1，l2的位置关系
相交
重合
平行
2.直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m≠C).
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为参数).
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：该直线不包括直线l2)
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示.(√)
(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(√)
(3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(×)
提示 当m＝时两直线平行.
2.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为( )
A.(3，－5)
B.(－3，5)
C.(3，5)
D.(－3，－5)
答案 C
解析 由解得故交点为(3，5).
3.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
答案 A
解析 联立解得
∴交点坐标为(1，6).
由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，
则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
4.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.
答案 (0，1)
解析 直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，
由解得
∴该直线过定点(0，1).
题型一 两直线位置关系的判定
【例1】 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.
解 (1)由方程组得
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
(2)解方程组
由①×2－②得：1＝0矛盾，
∴方程组无解.
∴两直线无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组由①×2得4x－6y＋10＝0，
∴①和②可以化为同一方程，即l1与l2是同一直线，l1与l2重合.
思维升华 判定两直线的位置关系有以下两种方法
(1)利用方程组解的个数判断.
(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①当A1B2－A2B1≠0时，两直线相交；②当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)时，两直线重合；③当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)时，两直线平行；④当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直.
【训练1】 下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________.
①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.
答案 ①③
解析 ①显然相交；②平行；③直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；④两直线平行.
题型二 直线交点的应用
【例2】 当k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点P在第一象限？
解 当k＝－时，l1与l2平行，不符合题意.
当k≠－时，由得
∵点P在第一象限，∴∴∴当思维升华 已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围.
【训练2】 如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连接EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
证明 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b，0)，B(0，0)，E(－a，a)，F(b，－b).
直线AF的方程是＝，即(a＋b)x＋by－ab＝0.
直线EC的方程是＝，
即ax＋(a＋b)y－ab＝0.
解方程组
得
即M点的坐标为
故kBM＝，又kAC＝＝－，
所以kBM·kAC＝－1.
因此BM⊥AC.
题型三 过两直线交点的直线系方程的应用
【例3】 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解 法一 解方程组
得P(0，2).
∵kl3＝，且l⊥l3，
∴kl＝－.
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
思维升华 两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解.本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可.
【训练3】 求经过两条直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程.
解 法一 由
解得即两直线的交点为(3，2).
由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为＋＝1.
所以
解得或
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
法二 易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×≠，
所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.
故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.
由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
·＝，
所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.
解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；
当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.
故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
1.牢记1个关系
方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.
2.掌握2种方法
(1)两条直线相交的判定方法.
(2)经过两直线交点的直线系方程的设法.
一、选择题
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由得故交点为.
2.直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是( )
A.
B.－
C.2
D.－2
答案 B
解析 由方程组得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，
代入直线x＋ky＝0得k＝－.
3.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是( )
A.19x－9y＝0
B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0
D.3x＋19y＝0
答案 D
解析 由方程组
解得
∴两直线的交点为，
∴所求直线的斜率为＝－，
∴所求直线的方程为y＝－x，
即3x＋19y＝0.
4.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A.恒过定点(－2，3)
B.恒过定点(2，3)
C.恒过点(－2，3)和点(2，3)
D.都是平行直线
答案 A
解析 (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
由得
5.当0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 B
解析 由方程组
得两直线的交点坐标为.
因为00，
所以交点在第二象限.
二、填空题
6.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
答案 －1
解析 由解得
把(4，－2)代入直线ax＋2y＋8＝0，可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.
7.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0垂直，且垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________.
答案 －4
解析 由l1⊥l2，可得－·＝－1，
解得a＝10，
所以直线l1的方程为5x＋2y－1＝0.
由题意，可知(1，c)是两条直线的交点，将(1，c)代入直线l1，得c＝－2.
将(1，－2)代入直线l2，得b＝－12，
所以a＋b＋c＝－4.
8.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，则直线l的方程为________.
答案 3x＋y＋1＝0
解析 设直线l与l1的交点为A(x0，y0).
由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，且满足
即解得即A(－2，5)，
所以直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
三、解答题
9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
解 由方程组
解得所以交点坐标为.
又因为所求直线斜率为k＝－，
所以所求直线方程为y＋＝－，即27x＋54y＋37＝0.
10.已知0解 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8(0＜k＜4)，故四边形面积最小时，k＝.
11.(多选题)两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0
的交点在y轴上，那么k的值可以是( )
A.－24
B.－6
C.6
D.24
答案 BC
解析 联立两条直线的方程，得
解得x＝.
∵两直线的交点在y轴上，
∴＝0，
∴k＝±6(经检验知符合题意).
12.(多选题)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值为( )
A.1
B.2
C.－2
D.－1
答案 AC
解析 由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.
∵直线x－y＋1＝0和直线2x＋y－4＝0不平行，
∴直线x－y＋1＝0和直线ax－y＋2＝0平行或直线2x＋y－4＝0和直线ax－y＋2＝0平行.
∵x－y＋1＝0的斜率为1，2x＋y－4＝0的斜率为－2，ax－y＋2＝0的斜率为a，
∴a＝1或a＝－2.
13.已知在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求P的坐标.
解 (1)设点C的坐标为(x，y)，
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
则解得即C(10，6).
又点M是边AB的中点，
所以M(4，1)，
所以直线CM的方程为＝，
即5x－6y－14＝0.
(2)因为B(7，1)，D(4，6)，
所以直线BD的方程为＝，
即5x＋3y－38＝0.
由得
即点P的坐标为.
14.设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________.
答案 x－y－4＝0或x＋y－24＝0
解析 法一 由
得
所以两直线的交点坐标为(14，10).
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二 设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，
整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，
由题意，得＝±1，
解得λ＝－1或λ＝－，
所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
