2021_2022学年新教材高中数学新题型专练：集合与常用逻辑用语(word含解析)

集合与常用逻辑用语
(25分钟　50分)
一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是(　　)
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
2．(2021·南通高一检测)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．?x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
3．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A
B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
4．(2021·南京高一检测)有限集合S中元素的个数记为card(S)，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是(　　)
A．A∩B＝?的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B.A?B的必要条件是card(A)≤card(B)
C．AB的充分不必要条件是card(A)≤card(B)－1
D.A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)
5．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(　　)
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1或m＞9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}
D．当m＝3时，方程的两实数根之和为0
二、双空题(每小题5分，共15分，其中第一空3分，第二空2分)
6．设U＝{x|－5≤x<－2，或2{－3，3，4}，则UA＝________，UB＝________．
7．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________.
8．(2021·南京高一检测)已知集合A＝{x|－3＜x≤6}，B＝{x|b－3＜x＜b＋7}，M＝{x|－4≤x＜5}，全集U＝R.
(1)A∩M＝________；
(2)若B∪(UM)＝R，则实数b的取值范围为________．
三、结构不良性试题
9．(10分)在①A∩B＝{3}，②A∩B＝{6}，③A∩B＝{3，6}这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合B存在，求a的值；若问题中的集合B不存在，说明理由．
问题：是否存在集合B，使得A＝{1，3，a2＋3a－4}，B＝{0，6，a2＋4a－2，a＋3}，且________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案：
一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是(　　)
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
【解析】选BCD.根据集合中的元素的互异性可知a，b，c，d互不相等，所以以这四个元素为边长的四边形不可能为平行四边形、菱形、矩形．
2．(2021·南通高一检测)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．?x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
【解析】选AC.选项A，C，D中的命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，符合题意；选项B中的命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，不符合题意；由x2－x＋＝2≥0知?x∈R，x2－x＋<0是假命题，其否定为真命题；
由x2＋2x＋2＝2＋1≥0知?x∈R，x2＋2x＋2＝0是假命题，其否定为真命题；当x＝－1时，x3＋1＝0，所以选项D中的命题是真命题，其否定是假命题．
3．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A
B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
【解析】选ABC.由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．
4．(2021·南京高一检测)有限集合S中元素的个数记为card(S)，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是(　　)
A．A∩B＝?的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B.A?B的必要条件是card(A)≤card(B)
C．AB的充分不必要条件是card(A)≤card(B)－1
D.A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)
【解析】选AB.A∩B＝?即集合A与集合B没有公共元素，A正确；A?B即集合A中的元素都是集合B中的元素，B正确；AB可得集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，C错误；A＝B即集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D错误．
5．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(　　)
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1或m＞9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}
D．当m＝3时，方程的两实数根之和为0
【解析】选BC.对于A，若x2＋(m－3)＋m＝0有实数根，则Δ＝(m－3)2－4m≥0，得m≤1或m≥9，故A错误，对于B，由题意得解得0＜m≤1，故B正确，对于C，若x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根，则Δ＝(m－3)2－4m＜0，得1＜m＜9，又{m|1＜m＜9}?{m|m＞1}，故C正确，
对于D，当m＝3时，方程为x2＋3＝0，无实数根，故D错误．
二、双空题(每小题5分，共15分，其中第一空3分，第二空2分)
6．设U＝{x|－5≤x<－2，或2{－3，3，4}，则UA＝________，UB＝________．
【解析】方法一：在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，
所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，
所以UA＝{－5，－4，3，4}，UB＝{－5，－4，5}．
方法二：可用Venn图表示
则UA＝{－5，－4，3，4}，UB＝{－5，－4，5}．
答案：{－5，－4，3，4}　{－5，－4，5}
7．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________.
【解析】由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
答案：不是　(答案不唯一)
8．(2021·南京高一检测)已知集合A＝{x|－3＜x≤6}，B＝{x|b－3＜x＜b＋7}，M＝{x|－4≤x＜5}，全集U＝R.
(1)A∩M＝________；
(2)若B∪(UM)＝R，则实数b的取值范围为________．
【解析】(1)因为A＝{x|－3＜x≤6}，M＝{x|－4≤x＜5}，所以A∩M＝{x|－3＜x＜5}．
(2)因为M＝{x|－4≤x＜5}，全集U＝R.
所以UM＝{x|x＜－4或x≥5}，
为使B∪(UM)＝R，结合图形可知：
b－3＜－4且b＋7≥5，解得－2≤b＜－1.
答案：(1){x|－3＜x＜5}　(2)－2≤b＜－1
三、结构不良性试题
9．(10分)在①A∩B＝{3}，②A∩B＝{6}，③A∩B＝{3，6}这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合B存在，求a的值；若问题中的集合B不存在，说明理由．
问题：是否存在集合B，使得A＝{1，3，a2＋3a－4}，B＝{0，6，a2＋4a－2，a＋3}，且________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①：
因为A∩B＝{3}，所以a2＋4a－2＝3或a＋3＝3.
(1)若a2＋4a－2＝3，解得a＝1或－5；
当a＝1时，A＝{1，3，0}，B＝{0，6，3，4}，则A∩B＝{0，3}≠{3}舍去；
当a＝－5时，A＝{1，3，6}，B＝{0，6，3，－2}，则A∩B＝{3，6}≠{3}舍去；
(2)若a＋3＝3，所以a＝0，此时A＝{1，3，－4}，B＝{0，6，－2，3}，所以A∩B＝{3}符合题意；
综上所述：当A∩B＝{3}时，集合B存在，此时a＝0.
选择条件②：
因为A∩B＝{6}，所以a2＋3a－4＝6，
解得a＝2或－5；当a＝2时，B＝{0，6，10，5}，
则A∩B＝{6}符合题意；
当a＝－5时，B＝{0，6，3，－2}，则A∩B＝{3，6}≠{3}舍去；
当A∩B＝{6}时，集合B存在，此时a＝2.
选择条件③：因为A∩B＝{3，6}，所以a2＋3a－4＝6，解得a＝2或－5，
当a＝2时，B＝{0，6，10，5}，则A∩B＝{6}≠{3，6}舍去；当a＝－5时，B＝{0，6，3，－2}，则A∩B＝{3，6}符合题意；
当A∩B＝{3，6}时，集合B存在，此时a＝－5.
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