培优课 借助几何性质解决圆中的最值问题
高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下.希望对学生有些启发.
类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
【例1】 已知圆C经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心C在直线y＝x上.
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离.
解 (1)点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为y＝－x＋3，
联立
解得圆心坐标为(2，1)，
∴r＝5－1＝4.
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16.
(2)圆的圆心为(2，1)，半径r＝4.
圆心到直线3x－4y＋23＝0的距离
d＝＝5.
则圆上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离为d＋r＝9.
思维升华 求圆上一点到直线距离的最值问题，常转化为求圆心到定直线的距离问题来解决.
类型二 “圆上一点到定点距离的最值”问题
【例2】 已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的一动点，求：
(1)x2＋y2的最小值；
(2)点P到直线x－y－2＝0的距离的最大值.
解 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆心为C(3，2)，半径r＝1，
(1)设z＝x2＋y2，则z的几何意义为圆上点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离d＝＝，
∴圆上的点到原点的最小距离为－1，
∴x2＋y2的最小值为14－2；
(2)圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝＜1，
∴直线和圆相交，
∴P到直线x－y－2＝0的距离d的最大值＋1.
思维升华 形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题的实质是两点间距离.涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决.
类型三 “过定点的弦长”问题
【例3】 已知直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0(t为参数)和圆C：x2＋y2－6x－8y＋16＝0.
(1)t∈R时，证明直线l与圆C总相交；
(2)直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值.
(1)证明 直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0可化为t(x－y)＋(3x－y－4)＝0，
令解得
∴直线l恒过定点A(2，2)，
把点(2，2)代入可得22＋22－12－16＋16＝－4＜0，
∴t∈R时，直线l与圆C总相交.
(2)解 直线l被圆C截得的弦长的最短时，弦心距最大，此时CA⊥l，
∵圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，圆心C(3，4)，半径为3，
∴CA的斜率为2，
∴l的斜率为－.
∵直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0的斜率为.
∴＝－.∴t＝－，
∵CA＝＝.
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2＝4.
思维升华 当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的
问题
【例4】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
(1)求的最大、最小值；
(2)求x－2y的最大、最小值.
解 法一 (1)设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，即|2－3k|≤，
平方得8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为；
(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴则圆心(－2，0)到直线的距离d＝＝≤1，即|b＋2|≤，
则－2－≤b≤－2，
即x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.
法二 (1)可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率.
令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，
此时＝1，
解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
(2)设b＝x－2y，即y＝x－，当y＝x－与圆相切时，纵截距－取得最值，从而b取得最值，此时＝1，解得b＝－2±.
故x－2y的最大值为－2＋，最小值为－2－.
思维升华 (1)解决此类问题的关键是利用几何意义进行求解.
(2)表示点A(x，y)和点B(a，b)连线的斜率，ax＋by往往转化为截距来解决.
尝试训练
1.圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4上的点到直线l：x－y＋2＝0的最近距离是________，最远距离是________.
答案 －2 ＋2
解析 由题意可知圆的圆心坐标为(2，－1)，半径为2.
所以圆心到直线的距离为：＝＞2.
圆上的点到直线的最近距离为：－2，
最远距离为：＋2.
2.已知圆C的圆心在直线x－y－1＝0上，且与直线2x＋y＝0相切，被直线x＋2y＝0截得的弦长为.
(1)求圆C的方程；
(2)若x，y满足圆C的方程，求x2＋y2＋4x＋2y的取值范围.
解 (1)设圆C的圆心为(a，a－1)，半径为R，
则有：
解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)∵x2＋y2＋4x＋2y＝(x＋2)2＋(y＋1)2－5，
设d＝，P(－2，－1)，
所以CP－R≤d≤CP＋R，
因为CP＝2，
所以≤d≤3，
所以0≤d2－5≤40，
从而x2＋y2＋4x＋2y的取值范围为[0，40].
3.已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值.
解 法一 设x＋y＝t，由题意知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，
∴d≤r，即≤，∴6－2≤t≤6＋2，
∴故x＋y的最小值为6－2，最大值为6＋2.
法二 设x＋y＝b，即y＝－x＋b.当y＝－x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝6±2.
故x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.(共20张PPT)
培优课 借助几何性质解决圆中的最值问题
高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下.希望对学生有些启发.
类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
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解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为y＝－x＋3，
解得圆心坐标为(2，1)，
∴r＝5－1＝4.
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16.
(2)求圆C上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离.
解 圆的圆心为(2，1)，半径r＝4.
则圆上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离为d＋r＝9.
求圆上一点到直线距离的最值问题，常转化为求圆心到定直线的距离问题来解决.
思维升华
【例2】 已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的一动点，求：
(1)x2＋y2的最小值；
类型二 “圆上一点到定点距离的最值”问题
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解 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆心为C(3，2)，半径r＝1，
(2)点P到直线x－y－2＝0的距离的最大值.
∴直线和圆相交，
形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题的实质是两点间距离.涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决.
思维升华
【例3】 已知直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0(t为参数)和圆C：x2＋y2－6x－8y＋16＝0.
类型三 “过定点的弦长”问题
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(1)t∈R时，证明直线l与圆C总相交；
证明 直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0可化为t(x－y)＋(3x－y－4)＝0，
∴直线l恒过定点A(2，2)，
把点(2，2)代入可得22＋22－12－16＋16＝－4＜0，
∴t∈R时，直线l与圆C总相交.
(2)直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值.
解 直线l被圆C截得的弦长的最短时，弦心距最大，此时CA⊥l，
∵圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，圆心C(3，4)，半径为3，
∴CA的斜率为2，
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
思维升华
【例4】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
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∵P(x，y)为圆C上任一点，
(2)求x-2x的最大、最小值.
解
法一
设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，
∵P(x，y)为圆C上任一点，
思维升华 (1)解决此类问题的关键是利用几何意义进行求解.
思维升华
1.圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4上的点到直线l：x－y＋2＝0的最近距离是________，
最远距离是________.
解析 由题意可知圆的圆心坐标为(2，－1)，半径为2.
尝试训练
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(1)求圆C的方程；
解 设圆C的圆心为(a，a－1)，半径为R，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)若x，y满足圆C的方程，求x2＋y2＋4x＋2y的取值范围.
解
∵x2＋y2＋4x＋2y＝(x＋2)2＋(y＋1)2－5，
所以CP－R≤d≤CP＋R，
从而x2＋y2＋4x＋2y的取值范围为[0，40].
3.已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值.
解 法一 设x＋y＝t，由题意知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，
法二 设x＋y＝b，即y＝－x＋b.当y＝－x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
本节内容结束
