章末复习提升
要点一 求圆的方程
求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题.
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般方程中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.
【例1】 若圆C和圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)点，求圆C的方程.
解 由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
则
解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【训练1】 已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程.
解 (1)由解得两直线交点为(2，1)，
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l过点(2，1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则
解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
要点二 点与圆的位置关系
(1)将点M(x0，y0)的坐标代入圆的标准方程C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的左侧，若左右两边相等，则点M在圆上；若左边大于右边，则点M在圆外；若左边小于右边，则点M在圆内.
(2)将圆的一般方程C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)化为标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求得点M(x0，y0)与圆心C(a，b)的距离d，若d＝r，则点M在圆上；若d>r，则点M在圆外；若d【例2】 求过A(1，4)，B(3，2)两点，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的位置关系.
解 法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆心在y＝0上，
∴b＝0，
∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.
又∵该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，则(1－a)2＋16＝r2，
(3－a)2＋4＝r2，解得a＝－1，r2＝20，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
又点P(2，4)到圆心(－1，0)的距离
d＝＝＝5>，
∴点P在圆外.
法二 ∵圆过A(1，4)，B(3，2)两点，
∴圆心必在线段AB的垂直平分线l上.
又∵kAB＝＝－1，故l的斜率为1.
又AB的中点为(2，3)，
∴线段AB的垂直平分线l的方程为x－y＋1＝0.
又∵圆心在直线y＝0上，故圆心为C(－1，0)，
∴半径长r＝AC＝＝＝2，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
又点P(2，4)到圆心(－1，0)的距离
d＝＝＝5>，
∴点P在圆外.
【训练2】 已知圆心为C(1，1)的圆经过点A(4，5)，求圆C的标准方程，并判断点P(3，4)，Q(－3，－4)与此圆的位置关系.
解 ∵圆C的圆心为C(1，1)，半径长r＝＝5，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝25.
∵PC＝＝∴点P的圆内.
∵QC＝＝>r＝5，
∴点Q在圆外.
要点三 直线与圆的位置关系
圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路.
【例3】 有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程.
解 设圆心为C，则CA⊥l.
又设直线CA与圆的另一个交点为P.
∵CA⊥l，∴直线CA的斜率为－，故直线CA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0.
解方程组
得
即点P的坐标为(7，3).
∵圆心C为AP的中点，
∴圆心C的坐标为，半径长CA＝，
∴所求圆的标准方程为(x－5)2＋＝.
【训练3】 已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的弦AB的长为4，求l的方程.
解 由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，
∴圆C的圆心为C(－2，6)，半径r＝4.
如图所示，
AB＝4，设D是线段AB的中点，连接CD，则CD⊥AB，
AD＝2，AC＝4.
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离CD＝＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0，
又∵直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，易知也满足题意.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
要点四 圆与圆的位置关系
解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.
【例4】 已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
(1)证明 圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，
∴C1(2，－1)，C2(0，1)，两圆的半径长均为.
∵C1C2＝＝2∈(0，2)，
∴两圆相交.
(2)解 将两圆方程相减得出两圆公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.
【训练4】 分别求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且满足下列条件的圆的方程.
(1)过原点；
(2)面积最小.
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.①
(1)因为所求的圆过原点，所以1＋4λ＝0，即λ＝－，
故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.
(2)当半径r最小时，圆面积也最小.
把方程①化为标准形式，得[x＋(1＋λ)]2＋＝＋.
所以当λ＝时，r2＝＋取得最小值，r＝，
所以所求圆的方程为＋＝.(共23张PPT)
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要点一 求圆的方程
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求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题.
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般方程中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.
解 由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l过点(2，1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(1)将点M(x0，y0)的坐标代入圆的标准方程C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的左侧，若左右两边相等，则点M在圆上；若左边大于右边，则点M在圆外；若左边小于右边，则点M在圆内.
(2)将圆的一般方程C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)化为标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求得点M(x0，y0)与圆心C(a，b)的距离d，若d＝r，则点M在圆上；若d>r，则点M在圆外；若d要点二 点与圆的位置关系
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【例2】 求过A(1，4)，B(3，2)两点，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的位置关系.
解 法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆心在y＝0上，
∴b＝0，
∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.
又∵该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，则(1－a)2＋16＝r2，
(3－a)2＋4＝r2，解得a＝－1，r2＝20，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
∴点P在圆外.
法二 ∵圆过A(1，4)，B(3，2)两点，
∴圆心必在线段AB的垂直平分线l上.
又AB的中点为(2，3)，
∴线段AB的垂直平分线l的方程为x－y＋1＝0.
又∵圆心在直线y＝0上，故圆心为C(－1，0)，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
∴点P在圆外.
【训练2】 已知圆心为C(1，1)的圆经过点A(4，5)，求圆C的标准方程，并判断点P(3，4)，Q(－3，－4)与此圆的位置关系.
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝25.
∴点Q在圆外.
圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路.
要点三 直线与圆的位置关系
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【例3】 有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程.
解 设圆心为C，则CA⊥l.
又设直线CA与圆的另一个交点为P.
则直线PB的方程为x－2y－1＝0.
即点P的坐标为(7，3).
∵圆心C为AP的中点，
解 由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，
∴圆C的圆心为C(－2，6)，半径r＝4.
如图所示，
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0，
又∵直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，易知也满足题意.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.
要点四 圆与圆的位置关系
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【例4】 已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证：两圆相交；
证明 圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，
∴两圆相交.
解 将两圆方程相减得出两圆公共弦所在直线的方程，
即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
【训练4】 分别求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且满足下列条件的圆的方程.
(1)过原点；
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.①
(2)面积最小.
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