2.3 圆与圆的位置关系
课标要求
素养要求
1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
圆与圆的位置关系
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<
d
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程联立方程组的公共解的个数进行判断.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(×)
提示 只有一组实数解时可能外切也可能内切.
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(×)
提示 当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交.
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)
提示 只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程.
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(√)
2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
答案 B
解析 圆心距d＝＝.由于3－23.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是( )
A.
B.
C.5
D.
答案 D
解析 由题意可知＝2r，∴r＝.
4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线y＝的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.
题型一 两圆的位置关系
角度1 判断两圆的位置关系
【例1】 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
(2)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A.1或3
B.4
C.0
D.2
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由得两交点分别为(0，0)，(－a，a).
∵圆M截直线所得线段的长度为2，
∴＝2，
又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0，2)，半径为r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1，1)，半径为r2＝1，
∴MN＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1∴两圆相交.
(2)由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝，
∴C1C2＝＝.
则r1－r2故这两个圆的公切线共2条.
角度2 已知两圆位置关系求参数
【例2】 当a分别为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)外离？
解 将两圆方程化为标准方程，则
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2；
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.
【训练1】 圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案 C
解析 圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径等于3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径等于2.
两圆的圆心距等于＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C.
题型二 两圆相切问题
【例3】 已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________.
答案 (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
思维升华 处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
【训练2】 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A.21
B.19
C.9
D.－11
答案 C
解析 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，
∴两圆圆心距d＝＝5，
又两圆半径分别为1，，则d＝r1＋r2，
即5＝1＋，解得m＝9.
题型三 与两圆相交有关的问题
【例4】 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆的位置关系.
解 将两圆方程配方化为标准方程，得
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5.
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又∵C1C2＝2，r1＋r2＝5＋，
r1－r2＝5－，
∴r1－r2∴两圆相交.
【迁移1】 在例3的条件下，求公共弦所在直线方程.
解 将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
【迁移2】 在例3的条件下，求公共弦的长度.
解 法一 圆C1的圆心为(1，－5)，其到公共弦所在直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，
∴公共弦长l＝2eq
\r(r－d2)＝2＝2.
法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组
解得或
所以AB＝＝2，
即公共弦长为2.
思维升华 处理两圆相交的有关问题的方法
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
【训练3】 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长.
解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1，1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
所以所求弦长为2＝.
1.掌握1个知识点
圆与圆的位置关系.
2.重点掌握2种方法
(1)圆与圆的位置关系的判断方法.
(2)求两圆公共弦长的方法.
3.重视1个易错点
判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而漏解.
一、选择题
1.圆C1：x2＋y2＝9和C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A.外离
B.相交
C.内切
D.外切
答案 B
解析 圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径r2＝4，圆心距C1C2＝＝5.
因为r1－r2＜C1C2＜3＋4＝r1＋r2，所以两圆相交.
2.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是( )
A.x＋y＋2＝0
B.x＋y－2＝0
C.5x＋3y－2＝0
D.不存在
答案 A
解析 由
①－②得x＋y＋2＝0.
3.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为( )
A.2
B.－5
C.2或－5
D.不确定
答案 C
解析 两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3，2，
由题意得＝3＋2，
解得m＝2或－5.
4.(多选题)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
答案 AB
解析 两圆的圆心距为d＝＝，两圆的半径之和为r＋4，
因为所以两圆不可能外切或外离，故选AB.
5.(多选题)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是( )
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
答案 CD
解析 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，又由两圆内切，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
二、填空题
6.已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________.
答案 x＋y－3＝0
解析 ∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，
∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.
7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________.
答案 a2＋b2>3＋2
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1.因为两圆外离，所以>＋1，即a2＋b2>3＋2.
8.圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是________.
答案 (0，2)∪
解析 整理圆C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圆C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，
∴C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(－1，2m)，半径为3.
∵两圆相交，
∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差的绝对值，即1<<5，解得：0三、解答题
9.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长.
解 联立方程，可得
解得或
∴两个圆的交点是A(－2，6)，B(4，－2)，
∴AB＝＝10.
10.已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且AB＝2，求直线l的方程.
解 (1)由于圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，表示以C1(2，1)为圆心，半径等于的圆.
C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，表示以C2(－1，1)为圆心，半径等于4的圆.由于两圆的圆心距等于＝3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交.
(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件.
当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，
由弦长公式可得圆心到直线l的距离d＝＝2，
再由点到直线的距离公式可得d＝2＝，解得k＝0或k＝.
故直线l的方程为y＝3或4x－3y－15＝0.
11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离C1C2等于( )
A.4
B.4
C.8
D.8
答案 C
解析 因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.
设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，
则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x，
即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根，
即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根.
所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.
所以C1C2＝|x1－x2|＝·＝8.
12.已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1，2)，则点Q的坐标为________.
答案 (－2，－1)
解析 由两圆的方程，可知它们的圆心坐标分别为(－1，1)，(2，－2)，则过两圆圆心的直线方程为＝，即y＝－x.根据两圆相交的几何性质，可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故点P与点Q关于直线y＝－x对称.
又P(1，2)，所以Q(－2，－1).
13.已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；
(3)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求实数m的值.
解 (1)把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得：
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
若方程C表示圆，则5－m>0，
解得m<5；
所以m的取值范围为(－∞，5).
(2)把圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0化为标准方程得：(x－4)2＋(y－6)2＝16，圆心坐标为(4，6)，半径为4，
则两圆心间的距离d＝＝5，
因为两圆的位置关系是外切，
所以d＝R＋r，
即4＋＝5，解得m＝4.
(3)因为圆心C的坐标为(1，2)，则圆心C到直线l的距离d＝＝＝，
所以()2＝＋d2，
即5－m＝1，解得m＝4.
14.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是( )
A.(－3，－1)∪(1，3)
B.(－3，－3)
C.[－1，1]
D.(－3，－1]∪[1，3)
答案 A
解析 到原点的距离为的点的轨迹为圆C1：x2＋y2＝2，因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离为转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为C1(0，0)，r1＝，C(a，a)，
r＝2，
∴r－r1∴<|a|<3，
解得实数a的取值范围是(－3，－1)∪(1，3)，选A.(共45张PPT)
2.3 圆与圆的位置关系
1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.
3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.
课标要求
素养要求
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
圆与圆的位置关系
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2
的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<
dd＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程联立方程组的公共解的个数进行判断.
相交
内切或外切
外离或内含
1.思考辨析，判断正误
×
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(
)
提示 只有一组实数解时可能外切也可能内切.
×
×
√
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(
)
提示 当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交.
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(
)
提示 只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程.
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(
)
2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
B
3.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是( )
D
1
课堂互动
题型剖析
2
题型一 两圆的位置关系
角度1 判断两圆的位置关系
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
B
又a>0，∴a＝2.
即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0，2)，半径为r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1，1)，半径为r2＝1，
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1∴两圆相交.
(2)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A.1或3
B.4
C.0
D.2
解析
由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，
D
则r1－r2故这两个圆的公切线共2条.
角度2 已知两圆位置关系求参数
【例2】 当a分别为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)外离？
解 将两圆方程化为标准方程，则
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2；
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.
思维升华
【训练1】 圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径等于3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径等于2.
C
【例3】 已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是____________________________________________.
题型二 两圆相切问题
解析 设圆C的半径为r，
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
思维升华
【训练2】 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A.21
B.19
C.9
D.－11
解析 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，
C
【例4】 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆的位置关系.
题型三 与两圆相交有关的问题
解 将两圆方程配方化为标准方程，得
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴r1－r2∴两圆相交.
【迁移1】 在例3的条件下，求公共弦所在直线方程.
解 将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
【迁移2】 在例3的条件下，求公共弦的长度.
解 法一 圆C1的圆心为(1，－5)，
处理两圆相交的有关问题的方法
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
思维升华
解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1，1)，
1.掌握1个知识点
圆与圆的位置关系.
2.重点掌握2种方法
(1)圆与圆的位置关系的判断方法.
(2)求两圆公共弦长的方法.
3.重视1个易错点
判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而漏解.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.圆C1：x2＋y2＝9和C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A.外离
B.相交
C.内切
D.外切
B
解析 圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径r1＝3；
圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，
因为r1－r2＜C1C2＜3＋4＝r1＋r2，
所以两圆相交.
2.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是( )
A.x＋y＋2＝0
B.x＋y－2＝0
C.5x＋3y－2＝0
D.不存在
A
①－②得x＋y＋2＝0.
3.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为( )
A.2
B.－5
C.2或－5
D.不确定
C
解析 两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3，2，
解得m＝2或－5.
4.(多选题)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
AB
所以两圆不可能外切或外离，故选AB.
5.(多选题)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是( )
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
CD
二、填空题
6.已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为______________.
x＋y－3＝0
解析 ∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，
∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.
7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________.
8.圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则
实数m的取值范围是___________________________.
解析 整理圆C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圆C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，
∴C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(－1，2m)，半径为3.
∵两圆相交，
∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差的绝对值，
三、解答题
9.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长.
解 由于圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，
C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，
表示以C2(－1，1)为圆心，半径等于4的圆.
大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交.
解
当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件.
当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，
故直线l的方程为y＝3或4x－3y－15＝0.
11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离C1C2等于( )
C
解析 因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，
所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.
设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，
即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根，
即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根.
所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.
12.已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1，2)，则点Q的坐标为___________.
(－2，－1)
解析 由两圆的方程，可知它们的圆心坐标分别为(－1，1)，(2，－2)，
即y＝－x.根据两圆相交的几何性质，可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故点P与点Q关于直线y＝－x对称.
又P(1，2)，所以Q(－2，－1).
13.已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
解 把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得：
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
若方程C表示圆，则5－m>0，
解得m<5；
所以m的取值范围为(－∞，5).
(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；
解
把圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0化为标准方程得：(x－4)2＋(y－6)2＝16，圆心坐标为(4，6)，半径为4，
因为两圆的位置关系是外切，
所以d＝R＋r，
A.(－3，－1)∪(1，3)
B.(－3，－3)
C.[－1，1]
D.(－3，－1]∪[1，3)
A
∴r－r1解得实数a的取值范围是(－3，－1)∪(1，3)，选A.
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