人教版2019必修一 1.1 集合的概念同步提升练习
一、单选题
1．若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．以实数x，﹣x，|x|， ， 为元素所组成的集合最多含有（ ）
A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素
3．（2020高一上·南充月考）给定 对于 ,如果 ,那么 是 的一个“好元素”，由 的 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）个
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
4．（2020高一上·遵义月考）设集合 ， ，已知 且 ,则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高一上·贵州月考）已知集合 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．3或0 C．3 D．2或0
6．（2020高一上·重庆月考）下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组 的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2020高一上·江西月考）下列说法中正确的是（ ）
A．联合国所有常任理事国(共5个）组成一个集合
B．宜丰二中年龄较小的学生组成一个集合
C． 与 是不同的集合
D．由 组成的集合有六个元素
8．（2020高一上·上海考）直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B． 或
C．
D．
二、多选题
9．（2020高一上·河北期中）下列说法错误的是（ ）
A．在直角坐标平面内，第一 三象限的点的集合为
B．方程 的解集为
C．集合 与 是相等的
D．若 ，则
10．（2020高一上·沧县月考）已知集合 ， ， ，若 ，则满足条件的实数 可能为（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．1
11．（2020高一上·瑞安月考）下列选项中是集合 中的元素是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019高一上·如东月考）已知集合 中有且仅有一个元素，那么a的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．0
三、填空题
13．（2020高一上·浙江期中）已知集合 ，若 ，则 .
14．（2020高一上·遵义月考）设集合A中有n个元素，定义|A|=n，若集合 ，则|P|= .
15．（2020高一上·天津月考）集合 ，若集合 中只有一个元素，则由实数 的值组成的集合为 .
16．（2019高一上·分宜月考）设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈ .
四、解答题
17．（2019高一上·天津月考）已知 ，且 ，求x的值
18．（2019高一上·白城期中）若集合A={x∈R|ax2 +ax+1=0}其中只有一个元素，求实数a的值
19．（2018高一上·定远期中）设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则 ∈A(a≠1)．
求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
20．（2018高一上·上海期中）设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 .
（1）若 ，试证明 中还有另外两个元素；
（2）集合 是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若 中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于
所有元素的积，求集合 .
21．已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0}．
（1）A= ，求实数a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值和集合A；
（3）求集合M={a∈R|A≠ }．
22．（2020高一上·台州期末）设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ．
（1）若 ，则 中至少还有几个元素？
（2）集合 是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若 中元素个数不超过 ，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】根据集合元素的互异性，
在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，
故△ABC一定不是等腰三角形；
选D．
【分析】 根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．.
2．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】解答：由题意可知：
， ，
并且|x|=±x
所以，以实数x，﹣x，|x|， ， 为元素所组成的集合最多含有x，﹣x两个元素．
故选：A．
分析： 本题考查的是元素与稽核的关系问题．在解答时首先要考虑好几何元素的特征特别是互异性，然后利用指数运算的法则对所给实数进行化简，即可获得问题的解答．
3．【答案】A
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）故不含“好元素”的集合共有
{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6种可能
故答案为：A．
【分析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，列举可得．
4．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】当 时，可得 或 ，
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ， 符合题意；
当 ，可得 或 ，
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，不合题意.
综上所述： .
故答案为：D.
【分析】由 或 解出 的值，再验证集合中元素的互异性.
5．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题意，知 ，可得（1）当 时， ，不满足集合元素的互异性，舍去；（2）当 ，解得 或 ，①当 是不满足元素的互异性，舍去，②当 时，此时集合 ，符合题意.
故答案为：C
【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】∵x3=x的解为-1，0，1，
∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；
实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组 的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；
故答案为：C．
【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．
7．【答案】A
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】年龄较小不确定，所以B选项错误；
与 是相同的集合，C不符合题意；
由 组成的集合有4个元素，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据集合中的元素的性质逐一判断可得选项.
8．【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】直角坐标平面中除去两点 、 ，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线 ；
选项中除去的是 或除去 或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项 ，则 且 ，即除去两点 ，符合题意；
选项 ，则任意点 都不能 ，即不能同时排除 ， 两点．
故答案为：C
【分析】直角坐标平面中除去两点 ，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
9．【答案】B,C,D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】对A，因为 或 ，
所以集合 表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，A符合题意；
对B，方程 的解集为 ，B不符合题意；
对C，集合 表示直线 上的点，
集合 表示函数 中x的取值范围，
故集合 与 不相等，C不符合题意；
对D， ，所以 ，
D不符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用集合的定义对选项逐一判断即可得出结论。
10．【答案】A,C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：由题意得， 或 ，
若 ，即 ，
或 ，
检验：当 时， ，与元素互异性矛盾，舍去；
当 时， ，与元素互异性矛盾，舍去．
若 ，即 ，
或 ，
经验证 或 为满足条件的实数 ．
故答案为：AC．
【分析】根据集合元素的互异性 必有 或 ，解出后根据元素的互异性进行验证即可．
11．【答案】A,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：集合
、当 时， 时， ， ， ， ， 相同，满足题意．
、当 ， 时， ， ， ， ， 不相同，不满足题意．
、当 ， 时， ， ， ， ； 不相同，不满足题意．
、当 ， 时， ， ， ， ， 相同，满足题意．
故答案为：AD．
【分析】利用选项回代验证，求出 是相同的整数即可．
12．【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：∵集合A＝{x|x∈R|（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0}中有且仅有一个元素，
∴方程（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0有且只有一个实数根；
∴①当a2﹣1＝0，a+1≠0时，a＝1；
②当a2﹣1≠0，
（a+1）2﹣4×（a2﹣1）＝0
解得，a＝﹣1（舍去）或a ；
∴a＝1或 ．
故答案为：BC
【分析】若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，从而可得结果．
13．【答案】1或2
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由 ， ，
若 ， ， ，
此时 ，符合题意；
若 ，则 ， ，
当 时， ，不符题意，
当 时， ，符合题意，
综上可得： 或 ，
故答案为：1或2。
【分析】利用元素与集合间的关系结合元素的互异性，从而找出满足要求的a的值。
14．【答案】8
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 或 或 或 ，
所以 或 或 或 或 或 或 或 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：8
【分析】根据集合中元素的性质列式可求出集合中的所有元素，进而可得结果.
15．【答案】{0,1}
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】当 时，方程 可化为 ，解得 ，满足题意；
当 时，要使集合 中只有一个元素，
则方程 有两个相等的实数根，
所以 ，解得 ，此时集合 ，满足题意.
综上所述， 或 ，即实数 的值组成的集合为{0,1}.
故答案为：{0,1}.
【分析】分 和 两种情况，分别讨论集合 ，进而可求出答案.
16．【答案】Q
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】根据已知可设：a=3k1，b=3k2+1，c=3k3﹣1，k1，k2，k3∈Z；
∴a+b﹣c=3（k1+k2﹣k3）+2=3（k1+k2﹣k3﹣1）﹣1；
k1+k2﹣k3﹣1∈Z；
可设k1+k2﹣k3﹣1=k，k∈Z；
∴a+b﹣c=3k﹣1，k∈Z；
∴a+b﹣c所在集合为{x|x=3k﹣1，k∈Z}=Q．
故答案为：Q.
【分析】由元素和集合的关系可设a=3k1，b=3k2+1，c=3k3﹣1，k1，k2，k3∈Z，从而可得到a+b﹣c=3（k1+k2﹣k3﹣1）﹣1，而k1+k2﹣k3﹣1∈Z，这样即可写出a+b﹣c所在集合．
17．【答案】解：当 时，即 或
经检验当 或 时， ，不满足集合中元素的互异性.
当 时，即 或
经检验当 时，
当 时，
综上， 或
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】分别讨论 ， 两种情况结合集合中元素的互异性，求解即可.
18．【答案】由题：当 时，方程ax2 +ax+1=0无解，不合题意，舍去；
当 ，方程ax2 +ax+1=0为二次方程，集合A={x∈R|ax2 +ax+1=0}其中只有一个元素，
即 ，解得 或 （不合题意，舍去）
所以 ，此时 符合题意.
故答案为：
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】此集合为方程ax2 +ax+1=0的解集，分类讨论：方程为一次方程和二次方程分别讨论.
19．【答案】（1）解：若a∈A，则 ∈A.
又∵2∈A，∴ ＝－1∈A.
∵－1∈A，∴ ＝ ∈A.
∵ ∈A，∴ ＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1， .
（2）解：若A为单元素集，则a＝ ，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠ ，∴集合A不可能是单元素集
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）根据集合A满足的条件，将2代入逐一求解，即可求出A中另外两个元素；
（2）采用反证法，假设A为单元素集，得出矛盾，即可证明集合A不可能是单元素集.
20．【答案】（1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A， ∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为 ，
（2）解： ， ， ，且 ， ， ，故集合 中至少有3个元素，∴不是双元素集合
（3）解：由 ， ，可得 ，所有元素积为1，∴ ， 、 、 ，∴ .
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；
（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；
（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.
21．【答案】（1）解：若A= ，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2﹣3x+2=0无实数解，则a≠0，且△=9﹣8a＜0，解得a＞
（2）解：若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分为两种情况：
①a=0时，方程为﹣3x+2=0，x= ，A={ }；
②a≠0时，则△=9﹣8a=0，解得a= ，A={ }
（3）解：若A≠ ，当a=0时满足，当a≠0，△=9﹣8a≥0，解得a≤ ；
综上所述，M=（﹣∞， ]
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）若A= ，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2﹣3x+2=0无实数解，（2）若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分为两种情况，（3）集合M={a∈R|A≠ }则集合A中至少有一个元素，即方程至少有一个解，分a=0和a≠0进行讨论．
22．【答案】（1）解： ， ．
， ．
， ．
中至少还有两个元素为-1， ；
（2）解：不是双元素集合．理由如下：
， ， ，
由于 且 ， ，则 ，
则 ，可得 ，由 ，即 ，可得 ，
故集合 中至少有3个元素，所以，集合 不是双元素集合．
（3）解：由（2）知 中有三个元素为 、 、 （ 且 ），
且 ，
设 中有一个元素为 ，则 ， ，且 ，
所以， ，且集合 中所有元素之积为 .
由于 中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设 或 ，解得 （舍去）或 或 ．
此时， ， ， ，
由题意得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 或 ，
所以， ．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）利用设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ，结合已知条件 ， 再利用元素与集合的关系，从而求出集合A中至少还有两个元素。
（2）利用设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ，结合双元素集合的定义，从而结合元素与集合的关系，进而推出集合 中至少有3个元素，所以，集合 不是双元素集合。
（3） 由（2）知 中有三个元素为 、 、 （ 且 ），且 ， 设 中有一个元素为 ， 再利用若 （ 且 ），则 ，所以 ，且集合 中所有元素之积为 ，由于 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设 或 ，解得 （舍去）或 或 ，此时， ， ， ，由题意得 ，从而求出m的值，进而求出集合A。
1 / 1人教版2019必修一 1.1 集合的概念同步提升练习
一、单选题
1．若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】根据集合元素的互异性，
在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，
故△ABC一定不是等腰三角形；
选D．
【分析】 根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．.
2．以实数x，﹣x，|x|， ， 为元素所组成的集合最多含有（ ）
A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】解答：由题意可知：
， ，
并且|x|=±x
所以，以实数x，﹣x，|x|， ， 为元素所组成的集合最多含有x，﹣x两个元素．
故选：A．
分析： 本题考查的是元素与稽核的关系问题．在解答时首先要考虑好几何元素的特征特别是互异性，然后利用指数运算的法则对所给实数进行化简，即可获得问题的解答．
3．（2020高一上·南充月考）给定 对于 ,如果 ,那么 是 的一个“好元素”，由 的 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）个
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
【答案】A
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）故不含“好元素”的集合共有
{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6种可能
故答案为：A．
【分析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，列举可得．
4．（2020高一上·遵义月考）设集合 ， ，已知 且 ,则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】当 时，可得 或 ，
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ， 符合题意；
当 ，可得 或 ，
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，不合题意.
综上所述： .
故答案为：D.
【分析】由 或 解出 的值，再验证集合中元素的互异性.
5．（2020高一上·贵州月考）已知集合 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．3或0 C．3 D．2或0
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题意，知 ，可得（1）当 时， ，不满足集合元素的互异性，舍去；（2）当 ，解得 或 ，①当 是不满足元素的互异性，舍去，②当 时，此时集合 ，符合题意.
故答案为：C
【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.
6．（2020高一上·重庆月考）下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组 的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】∵x3=x的解为-1，0，1，
∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；
实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组 的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；
故答案为：C．
【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．
7．（2020高一上·江西月考）下列说法中正确的是（ ）
A．联合国所有常任理事国(共5个）组成一个集合
B．宜丰二中年龄较小的学生组成一个集合
C． 与 是不同的集合
D．由 组成的集合有六个元素
【答案】A
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】年龄较小不确定，所以B选项错误；
与 是相同的集合，C不符合题意；
由 组成的集合有4个元素，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据集合中的元素的性质逐一判断可得选项.
8．（2020高一上·上海考）直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B． 或
C．
D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】直角坐标平面中除去两点 、 ，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线 ；
选项中除去的是 或除去 或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项 ，则 且 ，即除去两点 ，符合题意；
选项 ，则任意点 都不能 ，即不能同时排除 ， 两点．
故答案为：C
【分析】直角坐标平面中除去两点 ，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
二、多选题
9．（2020高一上·河北期中）下列说法错误的是（ ）
A．在直角坐标平面内，第一 三象限的点的集合为
B．方程 的解集为
C．集合 与 是相等的
D．若 ，则
【答案】B,C,D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】对A，因为 或 ，
所以集合 表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，A符合题意；
对B，方程 的解集为 ，B不符合题意；
对C，集合 表示直线 上的点，
集合 表示函数 中x的取值范围，
故集合 与 不相等，C不符合题意；
对D， ，所以 ，
D不符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用集合的定义对选项逐一判断即可得出结论。
10．（2020高一上·沧县月考）已知集合 ， ， ，若 ，则满足条件的实数 可能为（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．1
【答案】A,C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：由题意得， 或 ，
若 ，即 ，
或 ，
检验：当 时， ，与元素互异性矛盾，舍去；
当 时， ，与元素互异性矛盾，舍去．
若 ，即 ，
或 ，
经验证 或 为满足条件的实数 ．
故答案为：AC．
【分析】根据集合元素的互异性 必有 或 ，解出后根据元素的互异性进行验证即可．
11．（2020高一上·瑞安月考）下列选项中是集合 中的元素是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：集合
、当 时， 时， ， ， ， ， 相同，满足题意．
、当 ， 时， ， ， ， ， 不相同，不满足题意．
、当 ， 时， ， ， ， ； 不相同，不满足题意．
、当 ， 时， ， ， ， ， 相同，满足题意．
故答案为：AD．
【分析】利用选项回代验证，求出 是相同的整数即可．
12．（2019高一上·如东月考）已知集合 中有且仅有一个元素，那么a的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．0
【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：∵集合A＝{x|x∈R|（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0}中有且仅有一个元素，
∴方程（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0有且只有一个实数根；
∴①当a2﹣1＝0，a+1≠0时，a＝1；
②当a2﹣1≠0，
（a+1）2﹣4×（a2﹣1）＝0
解得，a＝﹣1（舍去）或a ；
∴a＝1或 ．
故答案为：BC
【分析】若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，从而可得结果．
三、填空题
13．（2020高一上·浙江期中）已知集合 ，若 ，则 .
【答案】1或2
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由 ， ，
若 ， ， ，
此时 ，符合题意；
若 ，则 ， ，
当 时， ，不符题意，
当 时， ，符合题意，
综上可得： 或 ，
故答案为：1或2。
【分析】利用元素与集合间的关系结合元素的互异性，从而找出满足要求的a的值。
14．（2020高一上·遵义月考）设集合A中有n个元素，定义|A|=n，若集合 ，则|P|= .
【答案】8
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 或 或 或 ，
所以 或 或 或 或 或 或 或 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：8
【分析】根据集合中元素的性质列式可求出集合中的所有元素，进而可得结果.
15．（2020高一上·天津月考）集合 ，若集合 中只有一个元素，则由实数 的值组成的集合为 .
【答案】{0,1}
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】当 时，方程 可化为 ，解得 ，满足题意；
当 时，要使集合 中只有一个元素，
则方程 有两个相等的实数根，
所以 ，解得 ，此时集合 ，满足题意.
综上所述， 或 ，即实数 的值组成的集合为{0,1}.
故答案为：{0,1}.
【分析】分 和 两种情况，分别讨论集合 ，进而可求出答案.
16．（2019高一上·分宜月考）设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈ .
【答案】Q
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】根据已知可设：a=3k1，b=3k2+1，c=3k3﹣1，k1，k2，k3∈Z；
∴a+b﹣c=3（k1+k2﹣k3）+2=3（k1+k2﹣k3﹣1）﹣1；
k1+k2﹣k3﹣1∈Z；
可设k1+k2﹣k3﹣1=k，k∈Z；
∴a+b﹣c=3k﹣1，k∈Z；
∴a+b﹣c所在集合为{x|x=3k﹣1，k∈Z}=Q．
故答案为：Q.
【分析】由元素和集合的关系可设a=3k1，b=3k2+1，c=3k3﹣1，k1，k2，k3∈Z，从而可得到a+b﹣c=3（k1+k2﹣k3﹣1）﹣1，而k1+k2﹣k3﹣1∈Z，这样即可写出a+b﹣c所在集合．
四、解答题
17．（2019高一上·天津月考）已知 ，且 ，求x的值
【答案】解：当 时，即 或
经检验当 或 时， ，不满足集合中元素的互异性.
当 时，即 或
经检验当 时，
当 时，
综上， 或
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】分别讨论 ， 两种情况结合集合中元素的互异性，求解即可.
18．（2019高一上·白城期中）若集合A={x∈R|ax2 +ax+1=0}其中只有一个元素，求实数a的值
【答案】由题：当 时，方程ax2 +ax+1=0无解，不合题意，舍去；
当 ，方程ax2 +ax+1=0为二次方程，集合A={x∈R|ax2 +ax+1=0}其中只有一个元素，
即 ，解得 或 （不合题意，舍去）
所以 ，此时 符合题意.
故答案为：
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】此集合为方程ax2 +ax+1=0的解集，分类讨论：方程为一次方程和二次方程分别讨论.
19．（2018高一上·定远期中）设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则 ∈A(a≠1)．
求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
【答案】（1）解：若a∈A，则 ∈A.
又∵2∈A，∴ ＝－1∈A.
∵－1∈A，∴ ＝ ∈A.
∵ ∈A，∴ ＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1， .
（2）解：若A为单元素集，则a＝ ，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠ ，∴集合A不可能是单元素集
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）根据集合A满足的条件，将2代入逐一求解，即可求出A中另外两个元素；
（2）采用反证法，假设A为单元素集，得出矛盾，即可证明集合A不可能是单元素集.
20．（2018高一上·上海期中）设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 .
（1）若 ，试证明 中还有另外两个元素；
（2）集合 是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若 中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于
所有元素的积，求集合 .
【答案】（1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A， ∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为 ，
（2）解： ， ， ，且 ， ， ，故集合 中至少有3个元素，∴不是双元素集合
（3）解：由 ， ，可得 ，所有元素积为1，∴ ， 、 、 ，∴ .
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；
（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；
（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.
21．已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0}．
（1）A= ，求实数a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值和集合A；
（3）求集合M={a∈R|A≠ }．
【答案】（1）解：若A= ，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2﹣3x+2=0无实数解，则a≠0，且△=9﹣8a＜0，解得a＞
（2）解：若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分为两种情况：
①a=0时，方程为﹣3x+2=0，x= ，A={ }；
②a≠0时，则△=9﹣8a=0，解得a= ，A={ }
（3）解：若A≠ ，当a=0时满足，当a≠0，△=9﹣8a≥0，解得a≤ ；
综上所述，M=（﹣∞， ]
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）若A= ，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2﹣3x+2=0无实数解，（2）若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分为两种情况，（3）集合M={a∈R|A≠ }则集合A中至少有一个元素，即方程至少有一个解，分a=0和a≠0进行讨论．
22．（2020高一上·台州期末）设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ．
（1）若 ，则 中至少还有几个元素？
（2）集合 是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若 中元素个数不超过 ，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合 ．
【答案】（1）解： ， ．
， ．
， ．
中至少还有两个元素为-1， ；
（2）解：不是双元素集合．理由如下：
， ， ，
由于 且 ， ，则 ，
则 ，可得 ，由 ，即 ，可得 ，
故集合 中至少有3个元素，所以，集合 不是双元素集合．
（3）解：由（2）知 中有三个元素为 、 、 （ 且 ），
且 ，
设 中有一个元素为 ，则 ， ，且 ，
所以， ，且集合 中所有元素之积为 .
由于 中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设 或 ，解得 （舍去）或 或 ．
此时， ， ， ，
由题意得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 或 ，
所以， ．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）利用设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ，结合已知条件 ， 再利用元素与集合的关系，从而求出集合A中至少还有两个元素。
（2）利用设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ，结合双元素集合的定义，从而结合元素与集合的关系，进而推出集合 中至少有3个元素，所以，集合 不是双元素集合。
（3） 由（2）知 中有三个元素为 、 、 （ 且 ），且 ， 设 中有一个元素为 ， 再利用若 （ 且 ），则 ，所以 ，且集合 中所有元素之积为 ，由于 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设 或 ，解得 （舍去）或 或 ，此时， ， ， ，由题意得 ，从而求出m的值，进而求出集合A。
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