3.2.2 双曲线的几何性质
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的简单几何性质.2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等.3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.
1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养.2.借助性质的应用，提升数学运算素养.
自主梳理
1.双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴
x轴，y轴
对称中心
原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.等轴双曲线
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.
(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝；
②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)双曲线虚轴的两个端点不是双曲线的顶点.(√)
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(×)
提示 等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x.故错误.
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线.(√)
2.双曲线－＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由双曲线方程知a＝4，b＝3，∴c＝＝5，e＝＝.
3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
答案 D
解析 由题意知＝，设c＝5t(t>0)，则a＝3t，b＝4t，故所求渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
4.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 不妨设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，
∴tan
30°＝，
∴c＝b，
又a2＝c2－b2＝2b2，
∴a＝b.
∴e＝＝＝.
题型一 双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
解 双曲线的方程化为标准方程是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4,
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
【迁移】 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
思维升华 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
【训练1】 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
题型二 根据双曲线的几何性质求方程
【例2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 双曲线方程的求解方法
1.根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程.
2.以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论.
【训练2】 根据下列条件分别求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2).
解 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
由题意可知－＝λ，解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0，4＋k>0)，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去).
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 求双曲线的离心率
【例3】 (1)如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________.
(2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________.
答案 (1)(2，＋∞) (2)
解析 (1)如图，因为AO＝AF，F(c，0)，
所以xA＝.
又因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞).
(2)不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，
所以PF1＝4a，PF2＝2a，又F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos
30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝.
思维升华 求双曲线离心率的三种方法：
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解.
(2)若已知a，b，可直接利用e＝求解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
【训练3】 点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2分别是双曲线C1的左、右两个焦点，求双曲线C1的离心率.
解 ∵圆的半径r＝＝c，∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径，∴∠F1PF2＝90°.
又∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，
∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
在Rt△F1PF2中，F1F2＝2c，故PF1＝c，PF2＝c.
又∵点P在双曲线上，且在双曲线右支上，∴PF1－PF2＝c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.
1.牢记双曲线的9个性质
2.掌握研究双曲线几何性质的2种方法
(1)求双曲线的方法.
(2)求离心率的方法.
3.注意2个易错点
(1)忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.
(2)混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误.
一、选择题
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A.y＝±3x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
答案 C
解析 双曲线方程可化为标准方程：－＝1，∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 A
解析 依题意知，焦点在x轴上，c＝4，＝2，∴a＝2.
∴b2＝c2－a2＝12.故双曲线的方程为－＝1.
3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A.
B.2
C.
D.2
答案 D
解析 法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2，故选D.
4.(多选题)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为( )
A.
B.
C.
D.2
答案 AC
解析 当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，所以e＝；
当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
5.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，又一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a，
∴9(c2－a2)＝16a2，∴9c2＝25a2，∴3c＝5a，
∴e＝＝，
故选D.
二、填空题
6.若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
答案 4
解析 由题意可得，＝，得a2＝16，又a>0，所以a＝4.
7.已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________.
答案 (4，＋∞)
解析 ∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e>，e2>2，即>2，∴m>4.
8.两个正数a，b的和为5，积为6，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝________，渐近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 由
解得或
又a>b，∴a＝3，b＝2，
∴c＝，∴e＝＝.
渐近线方程为y＝±x.
三、解答题
9.已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
解 椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
∴＝3，∴a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
10.已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
解 椭圆方程化为标准方程＋＝1，可知c2＝64－16＝48.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)，
∴ 解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
11.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是－＝1.
12.(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
答案 ACD
解析 对于A，由双曲线C：x2－y2＝1，可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确.
对于B，由题意得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误.
对于C，F1(－，0)到渐近线y＝－x的距离为1，故C正确.
对于D，设P(x0，y0)，则·＝x＋y－2＝0.
又x－y＝1，所以解得x0＝±，y0＝±，
所以△PF1F2的面积为××2＝1，故D正确.故选ACD.
13.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(3，)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程.
解 (1)依题意，a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0
将点(3，)代入上式，得－＝1，
解得a2＝18(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
∵直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，
∴，
∴.(
)
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴EF＝·＝·.
又原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OEF＝d·EF＝××·＝.
又S△OEF＝2，即＝1，
∴k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(
).
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.
14.已知双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
解 (1)设双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，则c＝，又＝.
又∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝1，a2＝.
∴双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
由Δ>0，且3－k2≠0，得－设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝.
∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
∴＋1＝0，解得k＝±1.
故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点.(共51张PPT)
3.2.2 双曲线的几何性质
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等.
3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.
课标要求
素养要求
1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养.
2.借助性质的应用，提升数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.双曲线的简单几何性质
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
x轴，y轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
2a
2b
a
b
(1，＋∞)
2.等轴双曲线
(1)实轴和虚轴________的双曲线叫作等轴双曲线.
②等轴双曲线的渐近线方程为y＝_______，它们互相________.
等长
±x
垂直
1.思考辨析，判断正误
√
(1)双曲线虚轴的两个端点不是双曲线的顶点.(
)
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(
)
提示 等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x.故错误.
×
√
B
D
4.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角
为60°，则双曲线C的离心率为________.
解析 不妨设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，
课堂互动
题型剖析
2
题型一 双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
【迁移】 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
思维升华
【训练1】 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
【例2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
题型二 根据双曲线的几何性质求方程
解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
思维升华
【训练2】 根据下列条件分别求双曲线的标准方程：
题型三 求双曲线的离心率
(2，＋∞)
解析 如图，因为AO＝AF，F(c，0)，
解
不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，
所以PF1＝4a，PF2＝2a，又F1F2＝2c，
则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos
30°，
思维升华
∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径，∴∠F1PF2＝90°.
又∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，
∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
1.牢记双曲线的9个性质
2.掌握研究双曲线几何性质的2种方法
(1)求双曲线的方法.
(2)求离心率的方法.
3.注意2个易错点
(1)忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.
(2)混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
C
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A
D
AC
D
4
(4，＋∞)
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
11.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
B
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
ACD
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点.
本节内容结束