章末检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.
2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
答案 D
解析 ∵y2＝8x的焦点是(2，0)，
∴双曲线
－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，所以a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形，
因为在Rt△OBF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，所以cos
60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.
4.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
A.
B.
C.
D.2
答案 C
解析 设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，所以x0＝4－1＝3，所以y0＝2，
所以P(3，2)，F(1，0)，
所以直线PF的斜率k＝＝.故选C.
5.已知动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.抛物线
答案 D
解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
6.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.(0，1)∪(1，＋∞)
C.[1，5)∪(5，＋∞)
D.(0，1)∪(1，5)
答案 C
解析 直线y＝kx＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴＋≤1，解得m≥1，又m≠5，故选C.
7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则可令F(c，0)，B(0，b)，直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，
所以－·＝－1，即b2＝ac，
所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，所以e＝或e＝(舍去).
8.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A.5
B.6
C.7
D.8
答案 D
解析 法一 过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，
由消y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，
所以或
不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，
所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.
法二 过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为
y＝(x＋2)，
由消y得x2－5x＋4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，
根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.
易知F(1，0)，
所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是( )
A.(－∞，－2)
B.(3，＋∞)
C.(－6，－2)
D.(－3，＋∞)
答案 BC
解析 焦点在x轴上，则标准方程中a2>a＋6，解得a>3或a<－2.
又a2>0，a＋6>0，得a>－6，所以a>3或－6
10.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若AF＝3BF，则l的方程可以为( )
A.y＝－(x－1)
B.y＝－(x－1)
C.y＝(x－1)
D.y＝(x－1)
答案 AD
解析 由抛物线方程y2＝4x知焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0>y2，则由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∵AF＝3BF，∴y1＝－3y2，
由解得y2＝－＝－，∴y1＝2.
∴m＝＝，
∴直线l的方程为x＝y＋1，即y＝(x－1).
由对称性知这样的直线有两条.
即y＝±(x－1).
11.方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题正确的是( )
A.曲线C不可能为圆
B.若1C.若曲线C为双曲线，则t<1或t>4
D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1答案 CD
解析 显然当t＝时，曲线为x2＋y2＝，方程表示一个圆，
而当1当t<1或t>4时，方程表示双曲线；
而当1t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C，D正确.
12.已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2，2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得PA＋PF＝8，则m的值可以为( )
A.6＋2
B.6＋4
C.24
D.25
答案 BCD
解析 设椭圆的左焦点为F′，则F′(－2，0)，由点A在椭圆内部得＋<1，结合m>4，解得m>6＋2，根据椭圆的定义及PA＋PF＝8得|PA－PF′|＝|8－2|，又当P，F′，A三点共线时|PA－PF′|最大，从而|8－2|≤AF′＝2，解得9≤m≤25，综上，6＋2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为____________.
答案 y2＝16x
解析 ∵双曲线的方程为－＝1，∴右顶点为(4，0).
设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)，
则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________.
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝知，＝.
∵△ABF2的周长为AB＋BF2＋AF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，
∴a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
15.设集合A＝，B＝，则A∩B的子集的个数是________.
答案 4
解析 ∵集合A＝是椭圆＋＝1上的点构成的点集，
B＝是函数y＝2x的图象上的点构成的集合，且(0，1)在椭圆内，
∴两曲线有两个交点，
∴A∩B有两个元素，
∴A∩B的子集的个数是22＝4.
16.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，则该双曲线的渐近线方程为________；若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝________(本题第一空2分，第二空3分).
答案 y＝±3x 2
解析 由双曲线方程，知a＝1，b＝3，c＝.
该双曲线的渐近线方程为y＝±3x.由F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，且·＝0，O为坐标原点，得|＋|＝2||＝||＝F1F2＝2.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
解 设PF1的中点为M，连接F2M.由PF2＝F1F2，故F2M⊥PF1，即F2M＝2a.
在Rt△F1F2M中，F1M＝＝2b，
故PF1＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即4x±3y＝0.
18.(12分)若抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，求m的取值范围.
解 设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，AB的中点为M(x，y)，则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在两点关于它对称.
当m≠0时，由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x1，,y＝x2))得＝＝＝－，
所以y＝－，所以M的坐标为.
因为M在抛物线内，则有>，
得－综上所述，m的取值范围为(－，).
19.(12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
(2)过点(4，0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B不同两点，试探究是否总有⊥？请说明理由.
解 (1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，
所以条件④不适合题意.
当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时适合题意.
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
(2)由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消x得，y2－4ty－16＝0，
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，
所以·＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，
所以⊥.
综上所述，无论l如何变化，总有⊥.
20.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
解 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)由(1)知双曲线方程为－＝1，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).
∵点M在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
21.(12分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，AB＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以AB＝AF＋BF＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝＋2＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
当圆心为(3，2)时，r2＝(3＋1)2＝16；当圆心为(11，－6)时，r2＝(11＋1)2＝144.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
22.(12分)已知椭圆G：＋＝1
(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积.
解 (1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由
消y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1则x0＝＝－，
y0＝x0＋m＝；
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.
所以A(－3，－1)，B(0，2).所以AB＝3.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝AB·d＝.(共33张PPT)
章末检测卷(三)
（时间：120分钟
满分：150分）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A.1
B.2
C.4
D.8
C
解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.
D
解析 ∵y2＝8x的焦点是(2，0)，
A
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形，
因为在Rt△OBF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，
4.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
C
解析 设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
所以x0＝4－1＝3，
所以P(3，2)，F(1，0)，
5.已知动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.抛物线
D
解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
C
A.(1，＋∞)
B.(0，1)∪(1，＋∞)
C.[1，5)∪(5，＋∞)
D.(0，1)∪(1，5)
解析 直线y＝kx＋1过定点(0，1)，
只需该点落在椭圆内或椭圆上，
7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
D
D
A.5
B.6
C.7
D.8
易知F(1，0)，
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
BC
A.(－∞，－2)
B.(3，＋∞)
C.(－6，－2)
D.(－3，＋∞)
解析 焦点在x轴上，则标准方程中a2>a＋6，解得a>3或a<－2.
又a2>0，a＋6>0，得a>－6，所以a>3或－610.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若AF＝3BF，则l的方程可以为( )
AD
解析 由抛物线方程y2＝4x知焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0>y2，
则由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∵AF＝3BF，∴y1＝－3y2，
CD
方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C，D正确.
BCD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
y2＝16x
4
∴两曲线有两个交点，
∴A∩B有两个元素，
∴A∩B的子集的个数是22＝4.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
解 设PF1的中点为M，连接F2M.由PF2＝F1F2，故F2M⊥PF1，即F2M＝2a.
故PF1＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
18.(12分)若抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，求m的取值范围.
解 设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，
AB的中点为M(x，y)，则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在两点关于它对称.
19.(12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
解 (1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，
所以条件④不适合题意.
当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时适合题意.
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
(2)由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2).
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，
解 ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵点M在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3.
21.(12分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，AB＝8.
(1)求l的方程；
解 由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解
由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积.
解
设直线l的方程为y＝x＋m.
消y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1消y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.
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